1.4.1利用空间向量研究直线、平面的位置关系（2）同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 1.4.1利用空间向量研究直线、平面的位置关系（2）同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 752.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-26 10:25:32 | ||
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文档简介
1.4.1利用空间向量研究直线、平面的位置关系（2）
一、单选题
1. 已知向量，，分别是直线、 的方向向量，若，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2. 若两条不重合直线和的方向向量分别为，，则和的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 不确定
3. 设是直线l的方向向量，是平面的法向量，则直线l与平面( )
A. 垂直 B. 平行或在平面内 C. 平行 D. 在平面内
4. 直线l的方向向量，平面的法向量为，若直线平面，则x的值为( )
A. B. C. D.
5. 已知向量，分别是平面，的法向量，若，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6. 若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7. 已知平面的一个法向量是，，则下列向量可作为平面的一个法向量的是( )
A. B. C. D.
8. 已知点，，，若存在点D，使得，，则点D的坐标为 ( )
A. B. 或
C. D. 或
9. 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，M在EF上，且平面BDE，则M点的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题
10. 已知直线l在平面外，且是直线l的方向向量，是平面的法向量，则直线l与平面的位置关系为__________
11. 已知直线a，b的方向向量分别为和，若，则__________.
12. 已知为平面的一个法向量，为直线l的方向向量.若，则__________.
13. 已知向量，分别是两个不同平面，的法向量，可得向量与的数量关系是__________，进而得到平面与的位置关系是__________.
三、解答题
14. 如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，且它们所在的平面不共面，M，N分别是AC，BF的中点，
求证：
如图所示，直角梯形ABCD中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面
求证：平面
16. 如图所示，平面ABC，点C在以AB为直径的圆O上，点E为线段PB的中点，点M在上，且，
证明：平面平面
17. 如图所示，ABCD为矩形，平面ABCD，，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点．求证：
平面PAD；
平面平面
18. 如图，在平行六面体中，E，F，G分别是，，的中点．
求证：；
求证：平面平面
答案和解析
1.【答案】D
解：，
存在实数k使得
，解得，
故选
2.【答案】A
解：两条不重合直线和的方向向量分别为，，
，即与共线，
和的位置关系是直线，
故选：
3.【答案】B
解：
或
故选
4.【答案】D
解：线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，
直线l的方向向量，
平面的法向量为，
直线平面，
，
，
解得
故选
5.【答案】A
解：，
，
存在实数使得
，
解得，
故选
6.【答案】D
解：平面，
这两个平面的法向量共线．
只有D中的，满足条件.
故选
7.【答案】D
解：平面的一个法向量是，，
设平面的法向量为，
则，
对比四个选项可知，只有D符合要求，
故选：
8.【答案】A
解：由已知，，，
设，则，，
由，，则 ， ，
则存在实数t，k，满足，
则必有且成立，
解得，，，，，满足条件，
故点D的坐标为时，
即，
故选
9.【答案】B
解：如图，
设M点的坐标为，，连接OE，
则，又，，
，，
平面BDE，平面ACEF，平面平面，
，，
解得，点的坐标为，
故选
10.【答案】平行
解：因为直线l的方向向量为，
平面的法向量为，
则，
所以，
又因为直线l在平面外，
所以，
故答案为平行.
11.【答案】
解：直线a，b的方向向量分别为和，且，
，解得：
故答案为
12.【答案】
解：由题意可得： ，
解得
故答案为
13.【答案】
平行
解：向量，分别是两个不同平面，的法向量，
可得向量与的数量关系是，
进而得到平面与的位置关系是平行．
故答案为：，平行．
14.【答案】证明 ，N分别是AC，BF的中点，
又四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，
，
又
，
，
，
，
不在MN上，
15.【答案】证明：因为四边形EDCF为矩形，
所以，又平面平面ABCD，平面平面，平面EDCF，
所以平面ABCD，
则取D为原点，DA所在直线为x轴，过点D且平行于直线AB的直线为y轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面ABE的一个法向量为，
不妨设，则，
又，，
又平面ABE，平面
16.【答案】证明：在平面ABC内，过点A作AB的垂线
平面ABC，AB，平面ABC， 所以，
以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，另设，所以，
又AB为圆O的直径，且，，故
而，且，
四边形ACOM为平行四边形，故C与M关于y轴对称，
，，，，
设平面PAC的法向量为，
则，即
令，则，
设平面MOE的法向量为，
则，即
令，则，
，即平面PAC的法向量与平面MOE的法向量平行，
平面平面
17.【答案】证明：如图以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设，，，则，
因为M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点，
所以，，，
所以
因为平面PAD的一个法向量为，且，即
又MN不在平面PAD内，
故平面
，，
又QN不在平面PAD内，
所以平面
由平面PAD，
又因为，
所以平面平面
18.【答案】证明：把作为空间的一组基底．
因为，，
所以
所以
由知，又平面，平面，
所以平面
因为，，
所以所以
又平面，平面，
所以平面
又，所以平面平面
第1页，共1页
一、单选题
1. 已知向量，，分别是直线、 的方向向量，若，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2. 若两条不重合直线和的方向向量分别为，，则和的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 不确定
3. 设是直线l的方向向量，是平面的法向量，则直线l与平面( )
A. 垂直 B. 平行或在平面内 C. 平行 D. 在平面内
4. 直线l的方向向量，平面的法向量为，若直线平面，则x的值为( )
A. B. C. D.
5. 已知向量，分别是平面，的法向量，若，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6. 若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7. 已知平面的一个法向量是，，则下列向量可作为平面的一个法向量的是( )
A. B. C. D.
8. 已知点，，，若存在点D，使得，，则点D的坐标为 ( )
A. B. 或
C. D. 或
9. 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，M在EF上，且平面BDE，则M点的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题
10. 已知直线l在平面外，且是直线l的方向向量，是平面的法向量，则直线l与平面的位置关系为__________
11. 已知直线a，b的方向向量分别为和，若，则__________.
12. 已知为平面的一个法向量，为直线l的方向向量.若，则__________.
13. 已知向量，分别是两个不同平面，的法向量，可得向量与的数量关系是__________，进而得到平面与的位置关系是__________.
三、解答题
14. 如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，且它们所在的平面不共面，M，N分别是AC，BF的中点，
求证：
如图所示，直角梯形ABCD中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面
求证：平面
16. 如图所示，平面ABC，点C在以AB为直径的圆O上，点E为线段PB的中点，点M在上，且，
证明：平面平面
17. 如图所示，ABCD为矩形，平面ABCD，，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点．求证：
平面PAD；
平面平面
18. 如图，在平行六面体中，E，F，G分别是，，的中点．
求证：；
求证：平面平面
答案和解析
1.【答案】D
解：，
存在实数k使得
，解得，
故选
2.【答案】A
解：两条不重合直线和的方向向量分别为，，
，即与共线，
和的位置关系是直线，
故选：
3.【答案】B
解：
或
故选
4.【答案】D
解：线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，
直线l的方向向量，
平面的法向量为，
直线平面，
，
，
解得
故选
5.【答案】A
解：，
，
存在实数使得
，
解得，
故选
6.【答案】D
解：平面，
这两个平面的法向量共线．
只有D中的，满足条件.
故选
7.【答案】D
解：平面的一个法向量是，，
设平面的法向量为，
则，
对比四个选项可知，只有D符合要求，
故选：
8.【答案】A
解：由已知，，，
设，则，，
由，，则 ， ，
则存在实数t，k，满足，
则必有且成立，
解得，，，，，满足条件，
故点D的坐标为时，
即，
故选
9.【答案】B
解：如图，
设M点的坐标为，，连接OE，
则，又，，
，，
平面BDE，平面ACEF，平面平面，
，，
解得，点的坐标为，
故选
10.【答案】平行
解：因为直线l的方向向量为，
平面的法向量为，
则，
所以，
又因为直线l在平面外，
所以，
故答案为平行.
11.【答案】
解：直线a，b的方向向量分别为和，且，
，解得：
故答案为
12.【答案】
解：由题意可得： ，
解得
故答案为
13.【答案】
平行
解：向量，分别是两个不同平面，的法向量，
可得向量与的数量关系是，
进而得到平面与的位置关系是平行．
故答案为：，平行．
14.【答案】证明 ，N分别是AC，BF的中点，
又四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，
，
又
，
，
，
，
不在MN上，
15.【答案】证明：因为四边形EDCF为矩形，
所以，又平面平面ABCD，平面平面，平面EDCF，
所以平面ABCD，
则取D为原点，DA所在直线为x轴，过点D且平行于直线AB的直线为y轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面ABE的一个法向量为，
不妨设，则，
又，，
又平面ABE，平面
16.【答案】证明：在平面ABC内，过点A作AB的垂线
平面ABC，AB，平面ABC， 所以，
以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，另设，所以，
又AB为圆O的直径，且，，故
而，且，
四边形ACOM为平行四边形，故C与M关于y轴对称，
，，，，
设平面PAC的法向量为，
则，即
令，则，
设平面MOE的法向量为，
则，即
令，则，
，即平面PAC的法向量与平面MOE的法向量平行，
平面平面
17.【答案】证明：如图以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设，，，则，
因为M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点，
所以，，，
所以
因为平面PAD的一个法向量为，且，即
又MN不在平面PAD内，
故平面
，，
又QN不在平面PAD内，
所以平面
由平面PAD，
又因为，
所以平面平面
18.【答案】证明：把作为空间的一组基底．
因为，，
所以
所以
由知，又平面，平面，
所以平面
因为，，
所以所以
又平面，平面，
所以平面
又，所以平面平面
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