1.4.1利用空间向量研究直线、平面的位置关系（3）同步练习（含解析）

1.4.1利用空间向量研究直线、平面的位置关系（3）
一、单选题
1. 两平面，的法向量分别为，，若，则的值是.( )
A. B. 6 C. D.
2. 已知空间三点，，，在直线OA上有一点H满足，则点H的坐标为( )
A. B. C. D.
3. 设直线，的方向向量分别为，，若，则m等于( )
A. B. 2 C. 6 D. 10
4. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则( )
A. B. C. D. l与斜交
5. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，则平面与的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交且不垂直 C. 相交且垂直 D. 不确定
7. 已知，，若，，且面ABC，则 ( )
A. B. C. D.
8. 我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．今有“阳马”，，E，F分别为棱PB，PD的中点．以下四个结论：
①平面AEF；②平面PAC；③平面平面AEF；④平面平面
其中正确的是( )
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
二、多选题
9. 已知为直线l的方向向量，分别为平面的法向量不重合，那么下列说法中正确的有( )
A. B. C. D.
10. 已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，，，，下列结论中正确的是( )
A. B.
C. 是平面ABCD的法向量 D.
三、填空题
11. 若平面的法向量是，平面的法向量是且，则实数x的值是__________
12. 如图所示，在正方体中，O是底面正方形ABCD的中心，M是的中点，N是的中点，则直线ON，AM的位置关系是__________.
13. 直线l的方向向量为，则__________，若平面的法向量为，则直线l与平面的位置关系__________填“平行”或“垂直”
14. 如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为__________.
四、解答题
15. 如图，在三棱锥中，，D为BC的中点，平面ABC，垂足O落在线段AD上.已知，，，
求证：
若点M是线段AP上一点，且，求证：平面平面
16. 如图，已知三棱柱，侧面底面ABC，若三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面ABC所成的角为，问在线段上是否存在一点P，使得平面平面若存在，求与的比值，若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
解：平面，的法向量分别为，
，
，
故选

2.【答案】B
解： 由已知设，
则，
因为，
所以，
所以，
即H的坐标为
故选

3.【答案】D
解：，
，解得
实数m的值为
故选

4.【答案】B
解：直线l的方向向量为，平面的法向量为，
，
故选：

5.【答案】C
解：因为直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，
所以存在实数，使得，
所以，
解得，
故选

6.【答案】C
解：由题意可得，
故两个平面的法向量垂直，故平面和平面的位置关系为垂直，
故选：C

7.【答案】D
解：，，，
，解得，，
，且面ABC，
，
解得，，
故选：

8.【答案】D
证明：因为“阳马”，
平面
又平面ABCD，平面ABCD，
，
建立如图空间直角坐标系，
令，
则，
，F分别为棱PB，PD的中点，
，
①
，
所以PB与平面AEF不垂直，①错误；
②
，，
所以
又，，
，②正确；
，
令平面AEF的法向量为，
则，即，
取，则，
故
同理可得平面PBD，平面PCD法向量分别为，
③，，
平面PBD与平面AEF不垂直.③错误;
④，，
平面平面PCD，④正确.
故选

9.【答案】BC
解：因为为直线l的方向向量，分别为平面的法向量不重合，
A.或，故错误；
B.正确；
C.正确；
D.或，故错误，
故选

10.【答案】ABC
解：因为，
所以，，
又，AB，平面ABCD，
所以平面ABCD，
故是平面ABCD的一个法向量，
又平面ABCD，
进而 ，
所以D错误，
故选

11.【答案】或4
解：由得：，
，
解得或，
故答案为或

12.【答案】垂直
解：以A为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
设正方体的棱长为1，则，，，，
，
与AM垂直．
故答案为垂直.

13.【答案】
垂直
解：，，
，
又，
，
因此
故答案为：；垂直．

14.【答案】
解：以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意，，
，，，设，，
，，，
平面，
，即，
，解得
线段的长为
故答案为

15.【答案】证明：如图所示，以O为坐标原点，以射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系
则，，，，
于是，，
所以，
所以，即
由知，又，且点M在线段AP上，
所以，又，
所以，
则，
所以，即，
又根据的结论知，又，
所以平面BMC，于是平面
又平面AMC，故平面平面
16.【答案】解：取BC的中点O，以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
假设在线段上存在点P，设，
则，，
，，，
设平面的法向量，
则，即
令，则，，
设平面的法向量，
则，即，
令，则，，
要使平面平面，
则，即，
，，
，，
第13页，共14页