1.4.2利用空间向量研究距离、夹角问题（1）同步练习（含解析）

1.4.2利用空间向量研究距离、夹角问题（1）
一、单选题
1. 若平面的一个法向量为，，，，，则点A到平面的距离为( )
A. 1 B. C. D.
2. 已知直线l的方向向量为，点在直线l上，则点到直线l的距离为( )
A. B. C. D.
3. 已知平面的法向量为，点在平面内，且点到平面的距离为，则( )
A. B. C. 或 D.
4. 已知，，，，，那么点M到平面ABC的距离为( )
A. B. C. D.
5. 如图，正方体的棱长为1，O是平面的中心，则点O到平面的距离是( )
A. B. C. D.
已知正方体的棱长为1，E、F分别为棱、的中点，P为棱BC上的一点，且，则点P到平面AEF的距离为( )
A. B. C. D.
7. 已知是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱的中点，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线AC与之间的距离是( )
A. B. C. D.
9. 如图，在正方体中，，点P在平面内，，则点P到距离的最小值为( )
A. B. C. D. 3
10. 在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，在平面内存在点G使得，则直线AD到平面EFG的距离为
A. B. C. D.
二、多选题
11. 已知正方体的棱长为1，点E，O分别是，的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是( )
A. 点A到直线BE的距离是
B. 点O到平面的距离为
C. 平面与平面间的距离为
D. 点P到直线AB的距离为
三、填空题
12. 设正方体的棱长为2，则点到平面的距离是__________.
13. 如图，在长方体中，，，点E为AB的中点，则点B到平面的距离为__________ .
14. 在空间直角坐标系中，点为平面ABC外一点，其中若平面ABC的一个法向量为，点P到平面ABC的距离为__________.
15. 如图，已知P为外一点， 平面ABC，垂足为O，若PA，PB，PC两两垂直，且，则点P到平面ABC的距离是__________.
16. 是正四棱锥，是正方体，其中，，则到平面PAD的距离为__________.
17. 在空间直角坐标系中，四面体ABCD的顶点分别为，则点D到平面ABC的距离为__________.
四、解答题
18. 如图，五面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD，，，M为BC中点．
求证：平面BDE；
若平面平面ABCD，求点F到平面BDE的距离．
如图，正方体的棱长为4，M，N，E，F分别为，，，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离．
20. 如图，长方体中，点M在棱上，两条直线MA，MC与平面ABCD所成角均为，AC与BD交于点
求证：；
当时，求点到平面AMC的距离．
答案和解析
1.【答案】B
解：，平面的一个法向量为，
故点A到平面的距离为，
故选：

2.【答案】D
解：由题在上的投影长度为，
所以点P到直线l的距离为，
故选

3.【答案】C
解：由已知得，平面的法向量为，
故点P到平面的距离
解得或
故选

4.【答案】A
解：因为，，，
所以，
设平面ABC的法向量为，
则有，即，
令，则，，
所以，
所以点M到平面ABC的距离为
故选：

5.【答案】C
解：以 D为坐标原点，分别以DA， DC，所在直线为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则有，，，
，，
因为O为的中点，
所以，
即，，
设平面的法向量为，
则有，即，
取，则
所以点O到平面的距离
故选

6.【答案】B
解：正方体的棱长为1，E、F分别为棱、的中点，
P为棱BC上的一点，且，
以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，
，
，，
，
设平面AEF的法向量，
则，
取，得，
点P到平面AEF的距离：
故选：

7.【答案】A
解：以A为原点，以垂直AC的直线为x轴，以AC为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，
是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱的中点，
，，，
，
，，，
设平面的法向量，
，
，
到平面的距离
故选

8.【答案】D
解：以D为原点O建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，
所以，
设CA和的公垂线的方向向量为，
则有，即，
所以，
又，
所以异面直线AC与之间的距离
故选：

9.【答案】B
解；建立如图所示空间直角坐标系，
则平面 的方程为，
又点P在平面内，且，则P的轨迹满足：
设，则，
，
点P到距离
，
，，
，设，则，
则，
当时，
此时，即
故选：

10.【答案】B
解：如图所示：
以 A点为坐标原点， AB、 AD、所在直线分别为 x， y， z轴建立空间直角坐标系，
由题意可得，，，，，，，，，，
设，则，
，，，
故，，
设面 EFG的法向量为，
则
令，则，，
面EFG的一个法向量为，
点A到面EFG的距离
，
，，
又面 EFG，面 EFG，
面EFG，
到面EFG的距离即为 A到面 EFG的距离，为
故选

11.【答案】BC
解：如图，建立空间直角坐标系，
则，，
，，，，
所以
设，则，
故A到直线BE的距离，故A错．
易知，
平面的一个法向量，
则点O到平面的距离，故B对．
设平面的法向量为，
则，所以，
令，得，
所以
所以点到平面的距离
因为平面平面，
所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，
所以平面与平面间的距离为，故C对．
因为，所以，
又，则，
所以点P到AB的距离，故D错．
故选

12.【答案】
解：如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
，
，，
设平面的一个法向量，
令，则，
点到平面的距离
故答案为

13.【答案】
解：在长方体中，，，
点E为AB的中点，
以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，
，
，，
，
设平面的法向量，
则，
取，得，
点B到平面的距离：
故答案为：

14.【答案】
解：，，，
而为平面ABC的一个法向量，
，即
平面ABC的一个法向量为，
又，，
点P到平面ABC的距离为
故答案为：

15.【答案】
解：由题意，四面体ABCD中，PA，PB，PC两两垂直，且，
以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
所以，，，，
，，，
设平面ABC的法向量，
则，
取，得，
点P到平面ABC的距离为
故答案为：

16.【答案】
解：以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
根据题意得正四棱锥的高为，所以
则，
设平面PAD的法向量是，
所以由
可得
取，得，
因为，
所以到平面PAD的距离
故答案为；

17.【答案】
解：因为四面体四个顶点分别为，
，，，
所以，，
设平面ABC的法向量为
所以，
不妨令，则，解得
平面ABC的法向量为
所以顶点D到平面ABC的距离为
故答案为

18.【答案】证明：取BD中点N，连接MN，
因为且，且，
所以且，
则四边形EFMN为平行四边形，所以，
因为平面BDE，平面BDE，
所以平面
以AD中点为坐标原点，OA，OM，OE为x，y，z轴构建空间直角坐标系，
，，，
可得，，，
设平面BDE的法向量
，不妨取，
则平面BDE的法向量，
则F到平面BDE的距离
19.【答案】解：如图所示，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，
，
，，
又，，
平面平面EFBD，
设平面AMN的一个法向量为，
则，则可取，
，
平面AMN与平面EFBD的距离为

20.【答案】证明：平面ABCD，
、BC分别为MA、MC在平面ABCD内的射影．
则，分别为直线MA、MC与平面ABCD所成的角，
故，
，
四边形ABCD为正方形．
又平面ABCD，平面ABCD，
，而，故平面
而平面
解：如图所示，建立空间直角坐标系．
，，，
，
，，，
设平面AMC的法向量为，
则，可得，可得
点到平面AMC的距离
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