1.4.2利用空间向量研究距离、夹角问题（2）同步练习（含解析）

1.4.2利用空间向量研究距离、夹角问题（2）
一、单选题
1. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
2. 在各棱长均相等的直三棱柱中，已知M是的中点，N是棱AC的中点，则异面直线与BN所成角的正切值为( )
A. B. 1 C. D.
3. 四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，且，，平面ABCD且，则PB与平面PCD所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
4. 如图，长方体中，，点分别是的中点，则异面直线与GF所成角的余弦值是( )
A. B. C. D. 0
5. 如图，在正方体中，二面角的平面角等于( )
A. B. C. D.
6. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则二面角的正弦值为( )
A. B. C. D. 1
7. 如图，在三棱锥中，平面平面BCD，与均为等腰直角三角形，且，，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成的角，则线段PA长的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知长方体，，，E为线段AB上一点，且，则与平面所成的角的正弦值为( )
A. B. C. D.
9. 如图，在三棱锥中，三条棱DA、DB、DC两两垂直，且，M、N分别是棱BC、AD的中点，则异面直线AM与BN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
10. 已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面的中心，则下列选项正确的是( )
A.
B. 直线PA与平面所成角的大小为
C. 异面直线PA与所成角的余弦值为
D. 二面角的正弦值为
二、多选题
11. 如图，在直三棱柱中，，，点D，E分别是线段BC，上的动点不含端点，且则下列说法正确的是( )
A. 平面
B. 该三棱柱的外接球的表面积为
C. 异面直线与所成角的正切值为
D. 二面角的余弦值为
三、填空题
12. 正方体的棱长为2，点M和N分别是和的中点，则异面直线AM和CN所成角的余弦值为__________.
13. 已知正四棱锥的侧棱与底面所成角为，M为PA的中点，连接DM，则DM与平面PAC所成角的大小是___________.
14. 将边长为1的正方形及其内部绕旋转一周形成圆柱，如图，，，其中与C在平面的同侧，则异面直线与所成角的大小是__________.
15. 将边长为a的正方形沿对角线BD折叠成三棱锥，折后，则二面角的余弦值为__________.
16. 如图，在矩形ABCD中，，，E，F分别是边AB，CD的中点，将正方形ADFE沿EF折到位置，使得二面角大小为，则异面直线与CE所成角的余弦值为__________.
17. 如图，已知E是棱长为2的正方体的棱BC的中点，F是棱的中点，则点D到面的距离__________，直线DE与面所成的角的正弦值__________.
18. 在底面是直角梯形的四棱锥中，，，平面ABCD，，，则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值是_________.
19. 在正三棱柱中，已知，D在棱上，且，则AD与平面所成的角的正弦值为__________，平面ACD与平面ABC所成二面角的余弦值为__________.
四、解答题
20. 在棱长为2的正方体中，E，F分别为，CD的中点．
求；
求直线EC与AF所成角的余弦值；
求二面角的余弦值．
如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，M，N分别为的中点，
证明：；
求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.
22. 已知分别是正方体的棱BC和CD的中点，求：
与EF所成角的大小；
与平面所成角的余弦值.
23. 如图，在四棱锥中，面ABCD，，且，，，，，N为PD的中点．
求证：平面
在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在说明理由．
求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】D
解： 设直线AM与CN所成的角为，
在正方体中，，
则
，
所以
故选

2.【答案】C
解：各棱长均相等的直三棱柱中，
设棱长为2，
以A为原点，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
则，， ，，
，，
设异面直线与BN所成角为，
则，
，
异面直线与BN所成角的正切值为
故选

3.【答案】B
解：依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP
为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，则，
，，，
从而，，，
设平面PCD的法向量为，
即，
不妨取，则，，
所以平面PCD的一个法向量为，
所以PB与平面PCD所成角的正弦值
，，
故选

4.【答案】D
解：解法一：以DA，DC，所在直线方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则可得，，，，
，，
设异面直线与GF所成角的为，
则，，
解法二：平面，，
，
，
，
，
由勾股定理知，
又，AE、，
平面ABGE，
又平面ABGE，
，
异面直线与GF所成角的余弦值是
故选：

5.【答案】B
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为1，
则，，，
，，
设平面的法向量
则，
取，得，
平面ABD的法向量，
设二面角的平面角为
则，
，
二面角的平面角等于
故选

6.【答案】C
解：取BD的中点N，连接MN，
则平面BCD，
作，H为垂足，连接MH，可知平面MHN，
则，所以是二面角的平面角.
不妨设，根据题意可知
，，
，
故选

7.【答案】B
解：以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
设，，
则，
则
，
异面直线PQ与AC成的角，
，
，，
又，，
则，解得，
，
线段PA长的取值范围是
故选：

8.【答案】A
解：以D为原点，DA，DC，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
与平面所成的角的正弦值为：
故选：

9.【答案】D
解：以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA为z轴，构造空间直角坐标系，
设，则，，，，
则，，
所以，，
设异面直线与所成角为，
所以，
故选

10.【答案】D
解：如图所示，连接，并延长交于点D，
根据题意，可知：点D为的中点，
底面，
，
，
解得，故A错误；
延长到，使得，连接，则，
分别以，，为x，y，z轴建立空间坐标系，如图，
则，，，，
，，
，，，
为正三角形，P为底面的中心，
，
侧棱与底面垂直，底面，
，
又，、平面，
平面，故为平面的一个法向量，
故直线PA与平面所成角的正弦值为 ；
故直线PA与平面所成角为，故B错误；
异面直线PA与所成角的余弦为 ，故C错误；
设平面ABP的法向量为，
，
，
令，得，
设平面ACP的法向量为，
，
，
令，得，
则
，
则二面角的正弦值为，故D正确.
故选

11.【答案】AD
解：在直三棱柱中，四边形是矩形，
因为，所以，
因为不在平面内，平面，
所以平面，A项正确；
因为，所以，
因为，所以，
所以，
连接，，设其交点为O，连接OA，，，，
由直棱柱的性质知平行四边形是矩形，
，
又平面ABC，平面，
则平面平面，
又平面平面，，
则平面，
又平面，则，
则是直角三角形，又O为的中点，则，
同理，在直角三角形中，，
综上所述，，
则O为直三棱柱外接球的球心，
则是三棱柱外接球的直径，
所以三棱柱外接球的表面积为，所以B项错误；
因为，所以异面直线与所成角为.
在中，，，
所以，所以C项错误；
二面角即二面角，
以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图，则，
，，，
设平面的法向量，
，即，
令可得；
设平面的一个法向量为，
则，即，
令可得，
故二面角的余弦值为，所以D项正确．
故选

12.【答案】
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设异面直线AM和CN所成角为，
则
异面直线AM和CN所成角的余弦值为
故答案为：

13.【答案】
解：设底面正方形的边长为a，由已知可得正四棱锥的高为，建立如图所示空间直角坐标系，
则平面PAC的法向量为，，，
，，，
所以〈，〉，
与平面PAC所成角的正弦值为
所以DM与平面PAC所成角为
故答案为

14.【答案】
解：如图所示，建立空间直角坐标系．
，，，
，
，
设异面直线与所成角为
又
所以
故答案为：

15.【答案】
解：取BD中点O，在中，，，
，
，
又是正方形ABCD的对角线，
，
又，平面BCD，平面BCD，
平面BCD，
则OC，OA，OD两两互相垂直，
如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
是平面BCD的一个法向量，
，，
设平面ABC的法向量，
则，，
即，
所以，且，
令，则，，
解得，
从而，
易知二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为
故答案为

16.【答案】
解：在矩形ABCD中，，，E，F分别是边AB，CD的中点，
将正方形ADFE沿EF折到位置，使得二面角大小为，
以E为原点，在平面中，过E作EB的垂线为x轴，EB为y轴，EF为z轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，
设异面直线与CE所成角为，
则，
异面直线与CE所成角的余弦值为
故答案为

17.【答案】

解：连接DF，根据正方体的性质，不妨以D点为原点，分别以DA，DC，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
由图可知，，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
，
，
取，
，
平面的法向量为，
则
易知与所成角或其补角的余角是直线DE与面所成的角，
，且，
故答案为 .

18.【答案】
解：如图所示，建立空间直角坐标系，
则依题意可知，，，，
可知是平面SAB的一个法向量．
设平面SCD的一个法向量，
因为，，
所以即
令，则有，，所以
设平面SCD与平面SAB所成的锐二面角为，则
故平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值是

19.【答案】
解：取AC的中点E，BE为x轴，BE的垂线为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系．
在正三棱柱中，，D在棱上，且，
则，，，
正三棱柱中，E为AC中点，
故，且由正三棱柱的性质可得，
而，且AC，平面，
故平面，
故平面的法向量可以为：，
又，
则AD与平面所成的角的正弦值为：
连接DE，因为，，且，BE，平面BDE，
所以平面
又平面BDE，所以
所以是平面ACD与ABC所成二面角的平面角，且为锐角．
在中，，，所以
所以
故答案为：；

20.【答案】解：在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，
，，
直线EC与AF所成角的余弦值为
平面ABCD的一个法向量为，
设平面AEF的一个法向量为，
，，
，令，则，，
则
由图知二面角为锐二面角，其余弦值为
21.【答案】解：
证明：
在中，，，，由余弦定理可得，
则，
，
由题意可知，且，
平面PDM，
平面PDM，而，
，又，
由，，而DC与DM相交，平面ABCD，
平面ABCD，
，
，
取AD中点为E，连接ME，则ME，DM，PM两两垂直，以点M为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
，，
又N为PC中点，
，，
由得平面PDM，可得可作为平面PDM的一个法向量，
从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为：

22.【答案】解：以分别为轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2a，
则，
所以，
设与EF所成角的大小为，
则
，
因为
所以
所以与EF所成角的大小等于
设平面的法向量为，与平面所成角为，
因为，
所以，
所以，
令得：，，
又因为
所以
，
所以，即与平面所成角的余弦值为
23.【答案】解：过A作于点E，则，以A为原点，AE、AB、AP所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
为PD的中点，
，，
设平面PBC的法向量为，则，
令，则，，，
，即，
又平面PBC，平面
假设线段PD上存在一点M，设，，，
，，
由知，平面PBC的法向量为，
直线CM与平面PBC所成角的正弦值为，
，
化简得，即，
，，
故
由知，，，
设平面PAD的法向量为，则，
令，则，，，
，
由图可知平面PAD与平面PBC所成二面角为锐角，
故平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为
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