第一章 空间向量与立体几何 章末检测（含解析）

空间向量与立体几何章末检测（2）
一、单选题
1. 已知O为坐标原点，向量，点，若点E在直线AB上，且，则点E的坐标为( )
A. B. C. D.
2. 如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则( )
A. B.
C. D.
3. 如图，正方体的棱长为a，对角线和相交于点O，则( )
A. B.
C. D.
如图，正方体的棱长为1，点P，Q分别在直线AB，上，M是线段PQ的一个三等分点靠近点若，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
5. 如图所示，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
6. 如下图，在正方体中，M为棱的中点，设AM与平面的交点为O，则( )
A. 三点，O，B共线，且
B. 三点，O，B不共线，且
C. 三点，O，B共线，且
D. 三点，O，B不共线，且
7. 在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是( )
A. 点P可以是棱的中点 B. 线段MP的最大值为
C. 点P的轨迹是正方形 D. 点P轨迹的长度为
8. 在棱长为2的正方体中，点E在棱上，，点G是棱CD的中点，点F满足，当平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为时，经过三点的截面的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下列命题是真命题的有( )
A. 直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
B. 直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 平面，的法向量分别为，，则
D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
10. 如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点．下列选项中正确的有( )
A. B.
C. 直线AO与BC所成的角的余弦值 D. 平面ABC与平面不垂直
11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是( )
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线AP与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
12. 已知图1中，A，B，C，D是正方形EFGH各边的中点，分别沿着AB，BC，CD，DA把，，，向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD垂直，再顺次连接EFGH，得到一个如图2所示的多面体，则( )
A. 是正三角形
B. 平面平面CGH
C. 直线CG与平面AEF所成角的正切值为
D. 当时，多面体的体积为
三、填空题
13. 已知点A，B，C的坐标分别是，，，点P的坐标为，若，，则点P的坐标为__________.
14. 空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则平面的一个法向量为__________，直线l与平面所成角的正弦值为__________.
15. 如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，，则顶点D到平面的距离是__________.
16. 在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，，，平面平面ABCD，，点E为DC上的动点，平面BSE与平面ASD所成的二面角为为锐角，则当取最小值时，三棱锥的体积为__________.
四、解答题
17. 已知空间中三点，，，设，
若，且，求向量；
已知向量与互相垂直，求k的值；
求的面积．
18. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．
，与平面ABCD所成的角为，
如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，平面ABCD，且，PD的中点

在线段AB上是否存在一点G，使得平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由．
若__________，求二面角的余弦值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，
求PD与平面PCE所成角的正弦值；
在棱AB上是否存在一点F，使得平面平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．
20. 如图①，平行四边形PBCD中，A为PD的中点，，连接AB，将沿AB折起，得到四棱锥，如图②，点E在线段PA上，若平面
求证：；
若二面角的平面角为，求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值．
21. 如图所示，四棱锥中，菱形ABCD所在的平面，，点E 分别是 的中点，M是线段PD上的点.
求证：平面平面PAD；
当时，是否存在点M，使直线EM与平面ABF所成角的正弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.
22. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，四边形ACEF为矩形，平面平面ABCD，，点M在线段EF上运动，且
当时，求异面直线DE与BM所成角的大小；
设平面MBC与平面ECD所成二面角的大小为，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
解：点E在直线AB上，
，
且，
，
，
故点E的坐标为，
故选

2.【答案】B
解：因为，可得，
根据空间向量的运算法则，可得
又由，，，
所以
故选

3.【答案】C
解：以，，为一组基底，则
选项A：，故错误；
选项B：，故错误；
选项C：，故正确；
选项D：，故错误；
故选：C

4.【答案】B
解：以点为原点，为x轴，为y轴，为z轴建系，
可设，，
所以，
所以可得，
所以点，
所以
，
因为，，
所以，
所以的取值范围为，
故选

5.【答案】A
解：如图，
设，，，棱长均为1，
则，，，
，，
，
，
，
，
异面直线与所成角的余弦值为，
故选

6.【答案】A
解：以正方体的顶点D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为1，
则，，，，
设点，
，，
又与共线，，
，
即，
解得：，
点，
，
又，
，
，O，B三点共线，且
故选

7.【答案】D
解：在正方体中，
以点D为坐标原点，分别以DA，DC，方向为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为该正方体的棱长为1，M，N分别为，的中点，
则，
所以，
设，
则，
因为，
所以，即，
当时，，
当时，，
取，
连接EF，FG，GH，HE，
则，
所以四边形EFGH为矩形，
则，即，
又，平面EFGH，
所以平面EFGH，
又，
所以M为EG的中点，
则平面EFGH，
所以为使，必有点P在正方体的表面上运动，
所以点P的轨迹为四边形EFGH，
因此点P不可能是棱的中点，故A错误；
又，
所以，
则点P的轨迹不是正方形，且矩形EFGH的周长为，故C错误，D正确；
因为点M为EG中点，
则点M为矩形EFGH的对角线交点，
所以点M到点E和点G的距离相等，且最大，
所以线段MP的最大值为，故B错误.
故选

8.【答案】B
解：以D为原点，DA，DC，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系
则有，
设平面EFG的法向量为，则有
取，可得，易知平面ABCD的一个法向量为
所以有，
解得：，所以F为靠近B的四等分点，根据面面平行性质可作出截面如下
连接EF，过G作交与Q，连接QE
过F作交BC于M，连接GM，则五边形EQGMF为所求截面如图1所示
图
画出截面图图
因为F为F为靠近B的四等分点，，所以，，
，，所以，即Q与F在同一水平面上，
，因为，易知M为BC中点，
连接QF，将其分割为一个等腰三角形和一个等腰梯形
图二
在三角形EFQ中，，
在等腰梯形QMFG中，
其面积为
综上可得截面面积为
故选

9.【答案】AD
解：对于A，，，
，
，
直线l与m垂直，A正确；
对于B，，，
，
，
或，B错误；
对于C，，，
不共线，所以与不平行，故C错误；
对于D，点，，，
，向量是平面的法向量，
，即，则，D正确.
故选

10.【答案】AC
解：A中，
，故A正确；
设，
则，
，
B中，
故，故B错误；
C中，由，
，
，
，故C正确；
D中，取BC的中点E，连接AE，则，
，，
且
，又，BC，平面，
平面，
平面ABC，
平面平面
故D错误，
故选

11.【答案】ABD
解：在选项A中，
，，，
且，平面
平面，平面，
，
同理，，
，且 ， 平面，
直线平面，故A正确;
在选项B中，
，平面，平面，
平面，点P在线段上运动，
到平面的距离为定值，又的面积是定值，
三棱锥的体积为定值，故B正确;
在选项C中，
，异面直线AP与所成角为直线AP与直线的夹角.
易知为等边三角形，
当P为的中点时，；
当P与点或C重合时，直线AP与直线的夹角为
故异面直线AP与所成角的取值范围是，故C错误;
在选项D中，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，，则，，
，
由A选项正确：可知是平面的一个法向量，
直线与平面所成角的正弦值为：
，
当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.
故选

12.【答案】AC
解：因为E，F在平面ABCD的射影分别为AD，AB中点，
所以在图2中，，由图1可知，，故A正确；
对于B和C，可建立如图空间直角坐标系，
设，
则有 ，，，，，
可知，，，
设平面CGH的法向量，
则，即，
令，则，，，
同理可得，平面AEF的一个法向量，
平面CGH的一个法向量，，
所以平面AEF和平面CGH不相互垂直，所以B错误；
记直线CG与平面AEF所成角为，
，
所以，故C正确；
对于D，当时，下底面面积为4，上底面面积为2，高为1，
所以所求多面体的体积为，故D错误．
故选

13.【答案】
解：，，，，
，，
，，
，
，
点P的坐标为
故答案为

14.【答案】

解：平面的方程为，平面的法向量可取
平面的法向量为，平面的法向量为，
设两平面的交线的方向向量为，
由取，
则直线l与平面所成角的大小为，
故答案为；

15.【答案】
解：如图，以 O为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则点B到平面的距离①，
点C到平面的距离②，
由①②可得，，
所以点D到平面的距离
故答案为

16.【答案】
解：平面平面 ABCD，，
平面平面，平面ASD，则平面ABCD，
平面ABCD，所以，又，
所以以建立如图空间直角坐标系，
设，
所以，
因为，，又，且SD、AD均在平面ASD内，所以平面ASD，
所以易得 是平面ASD的一个法向量，
而 ，
设平面 BSE的法向量为，
所以，取，则，
所以，
当取最小值时，最大，
又，
故时，最大，
所以三棱锥的体积，
故答案为

17.【答案】解：，由于，
设，
故，
解得，
故为或；
，
，
由于与垂直，，
则；
依题意，，，
故由余弦定理得，，
所以，
故三角形面积为
18.【答案】解：在线段AB上存在中点G，使得平面PCG，
证明如下：设PC的中点为H，连接FH，
则且，
又，
所以
故四边形AGHF为平行四边形，则，
又平面PGC，平面PGC，
所以平面
选择①
由题意可知，AB、AD、AP彼此两两垂直，
故以AB、AD、AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
因为，
则，，，，，，
所以，，
设平面FAC的法向量为，
则，即，
令，可得，
平面ACD的法向量为，
设二面角的平面角为，且为锐角，
则，
即二面角的余弦值为
选择②：
因为平面ABCD，取BC中点E，连结AE，取AD的中点M，连接FM，CM，
则，且，
所以平面ABCD，
则FC与平面ABCD所成的角为，故，
在直角三角形FCM中，，
又因为，故，
所以，所以AE，AD，AP彼此两两垂直，
故以AE、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
因为，
所以，，，，，，，
所以，，
设平面FAC的法向量为，
则，即，
令，可得，
平面ACD的法向量为，
设二面角的平面角为，为锐角，
则，
即二面角的余弦值为
选择③
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
取BC中点E，连接AE，
因为底面ABCD是菱形，，所以是正三角形，
又E是BC的中点，所以，
所以AE、AD、AP彼此两两垂直，
故以AE、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
因为，
所以，，，，，，，
所以，，
设平面FAC的法向量为，
则，即，
令，求得，
平面ACD的法向量为，
设二面角的平面角为，为锐角，
则，
即二面角的余弦值为
19.【答案】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，
设平面PCE的一个法向量为，
所以，可得
令，则，所以
设PD与平面PCE所成角为，则
，
所以PD与平面PCE所成角的正弦值是
依题意，可设，，
则，，
设平面DEF的一个法向量为，
则
令，则，
所以
因为平面平面PCE，
所以，
解得，
则
所以
20.【答案】证明：连接AC交BD于F，连接EF，
因为平面BDE，平面PAC，平面平面，
所以，所以，
又因为，且，所以，
所以，故；
解：取AD的中点O，连接PO，过O作交BC于G，
在中，，，
由余弦定理可得，
所以 ，
所以，，所以就是二面角的平面角，
所以，又因为，
所以为等边三角形，所以
又，，，所以平面PAD，
因为，所以平面PAD，
所以OP，OD，OG两两互相垂直，以OG为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设平面PBC的一个法向量为，
则，所以，
令，得，
设平面PCD的一个法向量为，
则，所以，
令，得，
设平面PBC与平面PCD夹角为，为锐角，
则，
所以平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为
21.【答案】证明：因为ABCD为菱形，且，所以为等边三角形，
又E为BC的中点，所以，
因为，所以，
又平面ABCD，平面ABCD，
所以，因为，PA，平面PAD，
所以平面PAD，又平面AEM，
所以平面平面PAD；
解：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
设，则，
所以，
故，设，，
所以，
因为，
所以，解得，
所以，
又，
设平面ABF的法向量为，
则有，即，
令，则，故，
因为直线EM与平面ABF所成角的正弦值为，
所以，
化简得：，则
故存在点M满足题意，此时
22.【答案】解：在中，，，，则，
所以，即
因为四边形ACEF为矩形，所以，
因为平面平面ABCD，平面平面，平面ACEF，
所以平面
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
当时，，所以
所以，，
所以，
所以，
即异面直线DE与BM所成角的大小为
平面ECD的一个法向量，
设，
由，
得即，
所以，
设平面MBC的法向量，
因为，即，
取，则，，
所以平面MBC的一个法向量，
因为，所以
因为，所以
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