2.3.3点到直线的距离公式 同步练习（含解析）

2.3.3点到直线的距离公式
一、单选题
1. 点到直线的距离为，则b等于( )
A. 0或4 B. 4 C. 0 D.
2. 已知点，到经过点的直线l的距离相等，则l的方程为( )
A.
B.
C. 或
D. 以上都不对
3. 已知直线过定点M，点在直线上，则的最小值是( )
A. B. C. D.
4. 正方形ABCD的中心为点，AB边所在的直线方程是，则CD边所在的直线的方程为
A. B. C. D.
5. 已知点，，，则的面积为( )
A. 3 B. 2 C. 1 D.
6. 设m，，若直线l：与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则面积的最小值为( )
A. B. 2 C. 3 D. 4
7. 已知a，b，c为直角三角形中的三边长，c为斜边长，若点在直线l：上，则的最小值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
8. 若动点，分别在直线：，：上移动，则的中点P到原点的距离的最小值是( )
A. B. C. D.
9. 在平面直角坐标系xOy中，直线：与直线：相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题
10. 已知直线，则下列结论正确的是( )
A. 直线l的倾斜角是
B. 若直线则
C. 点到直线l的距离是2
D. 过与直线l平行的直线方程是
三、填空题
11. 过两直线和的交点，并与原点的距离等于1的直线共有__________条.
12. 点在直线上，则的最小值是__________.
13. 已知x，y满足，求的最小值____.
14. 已知点在直线上运动，则的最小值是__________.
四、解答题
15. 已知直线和直线的交点为
求过点P且与直线平行的直线方程；
若直线与直线垂直，且P到的距离为，求直线的方程．
16. 在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，
，
求BC边上的高所在的直线方程；
求的面积．
17. 已知直线l的方程为
证明：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
当时，求点到直线l的距离；
若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于两点，求面积的最小值.
18. 已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作
①求点到线段l：的距离；
②求点到线段l：的距离；
若曲线C是边长为6的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为多少？
求到两条线段、距离相等的点的集合，其中，，，，
答案和解析
1.【答案】A
解：点到直线的距离为，
，
解得或
故选

2.【答案】C
解：当直线l的斜率不存在时，直线显然满足题意；
当直线l的斜率垂存在时，设直线l的斜率为k，
则直线l为，即，
由A到直线l的距离等于B到直线l的距离得：，
化简得：或无解，解得，
所以直线l的方程为，
综上，直线l的方程为或
故选

3.【答案】B
解：直线，即，过定点
方法一：点在直线上，所以，
所以，
故当时，取得最小值，
故选
方法二：的最小值即点到直线的距离，即，
故选

4.【答案】A
解：点到直线的距离
设与边AB平行的边CD所在直线的方程是，
则点到直线的距离，
解得舍去或，
所以CD边所在直线的方程是
故选

5.【答案】A
解：，
直线AB的方程为，
则C到直线AB的距离为，
的面积为，
故选

6.【答案】C
解：由坐标原点O到直线l的距离为，可得，
化简可得，
易知，
令中，可得，令，可得，
故的面积，
当且仅当时，取等号，
故选

7.【答案】D
解：a，b，c为直角三角形中的三边长，c为斜边长，
可得，
点在直线l：上，
又表示原点到的距离的平方，
原点到直线l的距离即为所求最小值，
可得最小值为
则的最小值为
故选：

8.【答案】B
解：由于点，分别在两条平行直线：，：上移动，
故的中点P所在的直线方程为，则的中点P到原点的距离的最小值是原点O到直线的距离，
等于，
故选

9.【答案】B
解：由题意，时，直线与直线相互垂直，
当时，直线：与直线：的斜率乘积为，
此时直线与直线也相互垂直，
综上：直线与直线相互垂直；
可知：直线与直线分别经过定点：，，
直线与直线的交点P在以MN为直径的圆上，并且，
可得MN与直线垂直，
易得点P到直线的距离的最大值为点M到直线的距离，
又点M到直线的距离，
所以点P到直线的距离的最大值为，
故选

10.【答案】CD
解：对于A，直线的斜率为，倾斜角为，A错误，
对于B，直线的斜率为的斜率为，两直线不垂直，B错误，
对于C，点到直线l的距离为，C正确，
对于D，设与直线l平行的直线方程为，
因为它过，所以
所以过与直线l平行的直线方程是，D 正确，
故选

11.【答案】1
解：联立，得，
即两直线和的交点为，
当直线无斜率时，方程为，到原点的距离等于，不合题意；
当直线斜率存在时设方程为，即，
由题意和点到直线的距离公式可得，
解得，
故满足题意的直线共有1条．
故答案为

12.【答案】8
解：可以看作点到点的距离的平方，
所以的最小值是原点到直线的距离的平方，
即，
故答案为：

13.【答案】8
解：由于表示点与直线上的点的距离的平方，
可知的最小值为点到直线距离的平方，
所以最小值为
故答案为：

14.【答案】
解：令，则z表示点到点的距离，
由题意可知，当点在直线上运动时，
z的最小值为点到直线的距离，
即，
的最小值是，
故答案为

15.【答案】解：联立，
解得可知交点，
设与直线平行的直线方程为，
把交点代入可得，
，
所求的直线方程为
设与直线垂直的直线方程为，
到的距离为，
解得或，
直线的方程为：或
16.【答案】解：直线BC的斜率，则BC边上高所在直线的斜率，
所以BC边上的高所在的直线方程为，即
的方程为，即，
则点A到直线BC的距离，
，
所以
17.【答案】证明：直线方程为，
可化为，对任意m都成立，
所以，
解得，
所以直线恒过定点；
解：时，直线方程为，
点到直线的距离；
解：若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，
设直线l方程为，，
则，，
，
当且仅当时取等号，面积的最小值为
此时直线的方程

18.【答案】解：①设线段l：上点，
则
当时，；
②设线段l：上点，
则
当时，；
如图，是边长为6的正三角形，
由题意，点集D所表示的图形面积为
由，，
得，，，
，，，
；
，
，
，

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