2.4.1圆的标准方程 同步练习（含解析）

2.4.1圆的标准方程
一、单选题
1. 以圆心，且过点的圆的方程是
A. B.
C. D.
2. 已知点，，则以线段AB为直径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
3. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
4. 过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，O为坐标原点，则的外接圆方程是( )
A. B.
C. D.
5. 在矩形ABCD中，，动点P满足，若，则的最大值为
A. B. C. D.
二、多选题
6. 以直线与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为( )
A. B.
C. D.
7. 已知三条直线：，：，：，下列选项正确的是( )
A. 三条直线可以围成等腰直角三角形
B. 三条直线围成三角形的外接圆的方程是
C. 三条直线的交点中，坐标为的点是其中两点的中点
D. 三条直线围成的三角形的高所在的直线方程是：
8. 已知圆C和直线及x轴都相切，且过点，则该圆的方程是( )
A. B.
C. D.
9. 过点总可以向圆作两条切线，则k的可能取值为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10. 已知的三个顶点坐标分别为，，，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )
A. B.
C. D.
11. 在平面上给定相异两点，设点在同一平面上且满足其中是正数，且，则的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆.下列结论正确的是( )
A. 阿波罗尼斯圆的圆心恒在轴上
B. 始终在阿波罗尼斯圆内
C. 当时，阿波罗尼斯圆的圆心在点的左边
D. 当时，点在阿波罗尼斯圆外，点在圆内
三、填空题
12. 已知的方程为，则其圆心A坐标为__________，半径为__________.
13. 点关于直线对称的点C的坐标是__________，以C圆心，半径为1的圆标准方程为__________.
14. 以点为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是__________.
15. 若圆的方程为，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为__________、__________.
16. 在平面直角坐标系xOy中，若圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴相交于、两点，且与直线相切，则圆C的标准方程为__________.
17. 已知圆C的方程为，直线l的方程为，过圆C上一点的切线与直线l交于点P，则的外接圆的标准方程为__________.
18. 已知圆C经过直线与圆的交点，且圆C的圆心在直线上，则圆C的方程为__________.
19. 已知圆O：和点，若定点和常数满足，对圆O上任意一点M，都有，则__________.
四、解答题
20. 如图所示，m、n分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中O为m、n的交点.若A、B两点分别为该市1路公交车的起点站和终点站，且A、B之间的公交线路是圆心在n上的一段圆弧，站点A到直线m、n的距离分别为1 km和10 km，站点B到直线m、n的距离分别为9 km和
建立适当的坐标系，求公交线路所在圆弧的方程;
为了丰富市民的业余生活，市政府决定在主干道n上选址建一游乐场，考虑到城市民居集中区域问题和环境问题，要求游乐场地址注：地址视为一个点，设为点在点O上方，且点C到点O的距离d大于2 km且小于10 km，并要求公交线路即圆弧上任意一点到游乐场C的距离不小于 km，求游乐场C距点O距离的最大值.
答案和解析
1.【答案】C
解：对于A，圆心坐标为，故不符合题意；
对于B，圆心坐标为，不符合题意；
对于C，圆心坐标为，且过点符合题意；
对于D，圆心坐标为，不符合题意；
故选

2.【答案】B
解：圆心坐标为，，，
所以以线段AB为直径的圆的方程为
故选

3.【答案】B
解：由题意可知，圆心到直线的距离即为半径
，
所求圆的方程为

4.【答案】A
解：由题意知，，，
四边形AOBP有一组对角都等于，
四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，
的中点为，，
四边形AOBP的外接圆的方程为 ，
外接圆的方程为
故选：

5.【答案】C
解：以点A为坐标原点，直线AB，AD分别为x轴和y轴建立直角坐标系，
设，则，，，，
所以，，
因为，所以，
即，
整理得，
令，，
因为，
所以，
于是，即，
所以
即的最大值为
故选

6.【答案】AD
解：对于直线，令，得，令，得，
直线与两轴交点坐标为和，
以A为圆心过B的圆的半径为，
以A为圆心过B的圆方程为；
以B为圆心过A的圆的半径为，
以B为圆心过A的圆方程为，
故所求圆的方程为：
或
故选

7.【答案】BC
解：由，解得，
由，解得，
由，解得，
三条直线两两交点坐标为，，，如图，
AB的中点坐标为，
则，，
故，
所以外接圆的圆心为D点，半径为，
故外接圆的方程是，B正确；
三条直线的交点中，坐标为的点是其中AB两点的中点，C正确；
由AB中点D为外接圆圆心，可知，
易知，故三条直线不能围成等腰直角三角形，A错误；
三条直线围成的三角形的高所在的直线方程是：，故D错误.
故选

8.【答案】AB
解：设该圆的方程为，
由题意可得，
解得或，
所以圆的方程是或，
故选：

9.【答案】BC
解：把圆的方程化为标准方程得：，
所以，解得：，
又点应在已知圆的外部，
得：，即，
解得：或，
则实数k的取值范围是
故k的可能取值为3，
故选

10.【答案】AB
解：如图，
，，，
则直线AB方程为，直线BC的方程为
原点O到直线AB的距离为2，到直线BC的距离为
过点 A，C 的直线方程为 ，
即 ，
点 到直线 的距离 ，
又 ，，，
由图可知，以原点为圆心的圆若与有唯一的公共点，
则公共点为或，
所以圆的半径为1或
故所求圆的方程为 或
故选：

11.【答案】CD
解：对于A、依题意可得，只有建立适当的平面直角坐标系后，才能确定阿波罗尼斯圆的的圆心是否在x轴上，故A错误.
若以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设，其中a为正数.
因为动点P满足其中是正数，且，
所以，化简得，
即，
所以该圆的圆心的坐标为，半径
对于C、因为，
所以当时，，即，
因此圆心C在点A的左边，所以C正确；
对于D、当时，因为，
，
所以点A在圆外，点B在圆内，故D正确，B不正确.
故选

12.【答案】
1
解：因为的方程为
故圆心A坐标为，半径为1
故答案为

13.【答案】

解：如图，
点关于直线对称的点C的坐标是，
以C为圆心，半径为1的圆标准方程为，
故答案为：；

14.【答案】
解：设圆的方程为，
圆与y轴相切，半径r等于圆心P到y轴的距离，即，
因此，圆的方程为，
故答案为

15.【答案】
1
解：圆的方程为
，，此时
圆心为
故答案为：，

16.【答案】
解：设圆C的标准方程为，，
由题意得
解得，
所以圆C的标准方程为，
故答案为

17.【答案】
解：已知圆C的方程为的标准方程是，
则圆心，半径为
可知过圆C上一点的切线方程为
联立可得，即
由可知点A在以线段PC为直径的圆除去P、C两点上，
则的外接圆是以线段PC为直径的圆，
其圆心坐标是，半径为，
故的外接圆的标准方程为
故答案为

18.【答案】
解：方法一 联立方程
解得交点坐标为，
弦AB的垂直平分线方程为即
由解得
弦AB的垂直平分线过圆心，所以圆心坐标为，
半径，
故所求圆C的方程为
方法二 设所求圆的方程为，
即，
圆心为，
圆心在直线上，
，
圆的方程为，
即
故答案为

19.【答案】
解：根据题意，设，
若，变形可得，
即，
又由，则变形可得：，
则有，
解可得负值舍去，；
故答案为：

20.【答案】解：以O为坐标原点，直线m、n分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，
则，，设圆弧AB所在圆的方程为，
则，解得，
故公交线路所在圆弧的方程为
因为游乐场距点O的距离为，所以，
设为公交线路上任意一点，则，
且对公交线路上任意点P均成立，
整理得，对任意的恒成立.
令，因为，所以函数在上单调递减，
所以，解得或，
又，故，即游乐场距点O距离的最大值为
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