中小学教育资源及组卷应用平台
2022—2023学年度下学期九年级数学教学案 第2 周 第2节
课题 27.2.1 第1课时 平行线分线段成比例
教学目标 知识与技能：理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明。过程与方法：掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算。情感态度与价值观：
重点
难点
教具 多媒体、教学案
教与学的过程 教与学的过程教与学的过程 教 与 学 的 内 容
1. 相似多边形的对应角 ，对应边 ，对应边的比叫做 .2. 如图，△ABC 和 △A′B′C′ 相似需要满足什么条件？相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. △ABC与△A′B′C′ 相似记作“△ABC∽△A′B′C′”.平行线分线段成比例（基本事实）合作探究如图①，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分别交直线 m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.(1) 计算 ，你有什么发现？(2) 将 b 向下平移到如图②的位置，直线 m，n 与直线b 的交点分别为 A2，B2. 你在问题 (1) 中发现的结论还成立吗？如果将 b 平移到其他位置呢？ (3) 根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？归纳：一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.符号语言：若a∥b∥ c ，则 想一想：1. 如何理解“对应线段”？2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？练一练如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是（ ） A. B. C. D.平行线分线段成比例定理的推论观察与思考如图，直线a∥b∥ c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.（1）直线 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？（2）直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？ 把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ 练一练如图，DE∥BC， ，则 ；FG∥BC， ，则 . 例1 如图，在△ABC中， EF∥BC.如果E、F分别是 AB 和 AC 上的点， AE = BE=7， FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？ (2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么 FC 的长是多少？ 练一练如图，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，则AC= ；FG∥BC，AF=4.5，则AG= . 相似三角形的引理合作探究如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.问题1 △ADE与△ABC的三个角分别相等吗？问题2 分别度量△ADE与 △ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？ 问题3 你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？想一想：我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？由前面的结论可得 要证明的是 而除 DE 外，其他的线段都在△ABC 的边上，要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，需要怎样做呢？由此我们得到判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.三角形相似的两种常见类型： “A型” “X型”练一练1. 已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似三角形.2. 若 △ABC 与 △A′B′C′ 相似，一组对应边的长为AB =3 cm，A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与△ABC 的相似比是_____.3. 若 △ABC 的三条边长的比为3cm，5cm，6cm，与其相似的另一个 △A′B′C′ 的最小边长为12 cm，那么 A′B′C′ 的最大边长是______.当堂练习1.如图，△ABC∽△DEF，相似比为1:2，若 BC=1，则 EF 的长为 ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 如图，在 △ABC 中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm， BC = 4 cm，EF 长 ( )A. 1cm B. cm C. 3cm D. 2cm3.如图，在 △ABC中，DE∥BC，则△____∽△____，对应边的比例式为 ＝_______＝_________4. 已知 △ABC ∽ △A1B1C1，相似比是 1:4，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比是1:5，则△ABC与△A2B2C2的相似比为 .5. 如图，在 □ABCD 中，EF∥AB， DE : EA = 2 : 3，EF = 4，求 CD 的长． 6. 如图，已知菱形 ABCD 内接于△AEF，AE=5cm，AF = 4 cm，求菱形的边长.
课后小结
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共34张PPT)
27.2.1平行线分线段成比例
人教版九年级下册
1. 理解相似三角形的概念.
2. 理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌
握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明. (重
点、难点)
3. 掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应
用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和
计算. (重点、难点)
学习目标
复习引入
1. 相似多边形的对应角 ，对应边 ，对应边的比叫做 .
2. 如图，△ABC 和 △A′B′C′ 相似需要满足什么条件？
相等
成比例
相似比
A
B
C
A′
B′
C′
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. △ABC与△A′B′C′ 相似记作“△ABC∽△A′B′C′”.
平行线分线段成比例（基本事实）
一
如图①，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分别交直线 m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.
合作探究
A1
A2
A3
B1
B2
B3
m
n
a
b
c
图①
(1) 计算 ，你有什么发现？
A1
A2
A3
B1
B2
B3
m
n
a
b
c
图①
(2) 将 b 向下平移到如图②的位置，直线 m，n 与直线b 的交点分别为 A2，B2. 你在问题 (1) 中发现的结论还成立吗？如果将 b 平移到其他位置呢？
(3) 根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？
图②
A1
A2
A3
B1
B2
B3
m
n
a
b
c
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言：
若a∥b∥ c ，则
归纳：
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
a
1. 如何理解“对应线段”？
2.“对应线段”成比例都有哪些表达
形式？
想一想：
如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中
错误的是 （ ）
A. B.
C. D.
D
练一练
A
C
E
B
D
F
l2
l1
l3
如图，直线a∥b∥ c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，
平行线分线段成比例定理的推论
二
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
m
n
a
观察与思考
把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
直线 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
( )
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
( )
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
归纳：
如图，DE∥BC， ，则 ；
FG∥BC， ，则 .
练一练
A
B
C
E
D
F
G
例1 如图，在△ABC中， EF∥BC.
(1) 如果E、F分别是 AB 和 AC 上的点， AE = BE=7， FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？
A
B
C
E
F
典例精析
解：∵
∴
解得 AF = 4.
(2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么 FC 的长是多少？
A
B
C
E
F
解：∵
∴
解得 AC = .
∴ FC = AC－AF = .
如图，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，则AC= ；FG∥BC，AF=4.5，则AG= .
A
B
C
E
D
F
G
练一练
7.5
6
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
问题1 △ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
问题2 分别度量△ADE与
△ABC的边长，它们的边
长是否对应成比例？
B
C
A
D
E
相似三角形的引理
三
合作探究
问题3 你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
B
C
A
D
E
通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，
且只要DE∥BC，这个结论恒成立.
想一想：
B
C
A
D
E
我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？
由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？
，而除 DE 外，其他的线段都在△ABC 的边上，要想利用前面学
到的结论来证明三角形相似，
需要怎样做呢？
B
C
A
D
E
由前面的结论可得
要证明的是
可以将 DE 平移到BC 边上去
证明：
在 △ADE与 △ABC中，∠A=∠A.
∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
如图，过点 D 作 DF∥AC，交 BC 于点 F.
C
A
B
D
E
F
用相似的定义证明△ADE∽△ABC
∵ DE∥BC，DF∥AC，
∴
∵ 四边形DFCE为平行四边形，
∴ DE=FC，
∴△ADE∽△ABC.
∴
由此我们得到判定三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
三角形相似的两种常见类型：
“A ”型
“X ”型
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
1. 已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似三角形.
3
练一练
C
D
A
B
E
F
O
相似具有传递性
2. 若 △ABC 与 △A′B′C′ 相似，一组对应边的长为AB =3 cm，A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与△ABC 的相似比是_____.
4︰3
3. 若 △ABC 的三条边长的比为3cm，5cm，6cm，与其相似的另一个 △A′B′C′ 的最小边长为12 cm，那么 A′B′C′ 的最大边长是______.
24 cm
当堂练习
1. 如图，△ABC∽△DEF，相似比为1:2，若 BC=1， 则 EF 的长为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
C
A
E
F
D
B
2. 如图，在 △ABC 中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm， BC = 4 cm，EF 长 ( )
A
A. 1cm B. cm
C. 3cm D. 2cm
A
B
C
E
F
3. 如图，在 △ABC中，DE∥BC，则△____∽△____，对应边的比例式为
＝ ＝
ADE
ABC
——
——．
B
C
A
D
E
4. 已知 △ABC ∽ △A1B1C1，相似比是 1:4，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比是1:5，则△ABC与△A2B2C2的相似比为 .
1:20
5. 如图，在 □ABCD 中，EF∥AB，
DE : EA = 2 : 3，EF = 4，求 CD 的长．
解：∵ EF∥AB，DE : EA = 2 : 3，
D
A
C
B
E
F
∴ 即
∴ △DEF ∽ △DAB，
解得 AB = 10.
又 ∵ 四边形 ABCD 为□，
∴ CD = AB = 10.
6. 如图，已知菱形 ABCD 内接于△AEF，AE=5cm，AF = 4 cm，求菱形的边长.
解：∵ 四边形 ABCD 为菱形，
B
C
A
D
E
F
∴CD∥AB，
∴
设菱形的边长为 x cm，则CD
= AD = x cm，DF = (4－x) cm，
∴ 解得 x = ∴菱形的边长为 cm.
课堂小结
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例
相似三角形判定的引理
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
基本事实
平行线分线段成比例
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin
