(共24张PPT)
27.2.1三边成比例的两个三角形相似
人教版九年级下册
1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理.
2. 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进
行相关计算. (重点、难点)
学习目标
2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证明三角形相似的启发吗？
1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有其缺点和局限性？
A
B
C
D
E
复习引入
3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
三边成比例的两个三角形相似
合作探究
画 △ABC 和 △A′B′C′，使
动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形是否相似？
A
B
C
C′
B′
A′
A
B
C
C′
B′
A′
通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学得定理证明该结论.
∴
C′
B′
A′
证明:
在线段 AB 上截取 AD=A′B′，
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E.
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC.
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′，
△A′B′C′ ∽△ABC.
B
C
A
D
E
又 ，AD=A′B′，
∴ ， .
已知： △ABC 和 △A′B′C′中，
求证： △ABC ∽△A′B′C′
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：
三边成比例的两个三角形相似．
归纳：
∵ ，
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
符号语言：
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
A
B
C
3
3.5
4
D
F
E
1.8
2.1
2.4
典例精析
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中，
DE > EF > FD.
∴ △ABC ∽ △DEF.
∵ ， ， ，
∴ .
A
B
C
3
3.5
4
D
F
E
1.8
2.1
2.4
方法总结：判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.
注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似.
(3) AB=12， BC=15， AC＝24，
DE＝16，EF＝20， DF＝30.
(2) AB=4， BC =8， AC＝10，
DE＝20，EF＝16， DF＝8；
(1) AB =3， BC =4， AC＝6，
DE＝6， EF＝8， DF＝9；
是
否
否
练一练
例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，
∠C =∠C ′= 90°，且
求证：△ A′B′C′∽△ABC.
证明：由已知条件得 AB = 2 A′B′，AC = 2 A′C′，
∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 =
4 A′B′ 2－ 4 A′C′ 2 = 4 ( A′B′ 2－A′C′ 2 ) = 4 B′C′ 2 =
( 2 B′C′ )2.
∴ △ A′B′C′∽△ABC. (三边对应
成比例的两个三角形相似)
∴ BC=2B′C′，
∴∠BAC=∠DAE，∠BAC －∠DAC
= ∠DAE －∠DAC，
即 ∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°.
∴ △ABC ∽△ADE (三边成
比例的两个三角形相似).
例3 如图，在 △ABC 和 △ADE 中,∠BAD=20°，
求∠CAE的度数.
A
B
C
D
E
解：∵
解：在 △ABC 和 △ADE 中，
∵ AB : CD = BC : DE = AC : AE， ∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E.
∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD ，
∴∠BAD=∠CAE.
故图中相等的角有∠BAC=∠DAE，
∠B=∠D，∠C=∠E，
∠BAD=∠CAE.
如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由.
练一练
A
B
C
D
E
当堂练习
1. 如图，若 △ABC∽△ DEF，则 x 的值为 ( )
A. 20 B. 27 C. 36 D. 45
C
A
B
C
D
E
F
x
12
8
24
2. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是 ( )
A. ①和② B. ②和③
C. ①和③ D. ②和④
C
① ② ③ ④
3. 如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论正确的是 ( ) A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
A
C
B
P
D
C
∵ AB : BC = BD : AB = AD : AC，∴△ABC∽△DBA，故选C.
解析：设AP=PB=BC=CD=1，∵∠APD=90°，∴AB= ，AC= ，AD= .
4. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似：
AB=4cm ，BC =6cm ，AC =8cm，A′B′=12cm ，B′C′=18cm ，A′C′=21cm.
答案：不相似.
5. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点，
求证：△ABC∽△EFD．
∴ △ABC∽△EFD.
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，
CA的中点，
∴
∴
6. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米，DC = 31.5 千米，BC=42千米。公路 AB 与 CD 平行吗？说出你的理由.
A
C
B
D
28
14
21
42
31.5
解：公路 AB 与 CD 平行.
∴
∴ △ABD∽△BDC，
∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
三边成比例的两个三角形相似
利用三边判定两个三角形相似
课堂小结
相似三角形的判定定理的运用
谢谢
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2022—2023学年度下学期九年级数学教学案 第2 周 第3节
课题 27.2.1 第2课时 三边成比例的两个三角形相似
教学目标 知识与技能：复习已经学过的三角形相似的判定定理.过程与方法：掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算情感态度与价值观：
重点 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算
难点 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算
教具 多媒体、教学案
教与学的过程 教与学的过程教与学的过程 教 与 学 的 内 容
复习引入什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有其缺点和局限性？证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证明三角形相似的启发吗？类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？三边成比例的两个三角形相似合作探究画 △ABC 和 △A′B′C′，使 动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形是否相似？通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学得定理证明该结论.归纳：由此得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．符号语言：∵∴ △ ABC ∽ △A′B′C.例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． 方法总结：判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.练一练已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似.(1) AB =3， BC =4， AC＝6， DE＝6， EF＝8， DF＝9；(2) AB=4， BC =8， AC＝10， DE＝20， EF＝16， DF＝8；(3) AB=12， BC=15， AC＝24， DE＝16， EF＝20， DF＝30. 例2 ：在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C ′= 90°，且 求证：△ A′B′C′∽△ABC.例3 如图，在 △ABC 和 △ADE 中,∠BAD=20°， 求∠CAE的度数.练一练如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由.当堂练习 1. 如图，若 △ABC∽△ DEF，则 x 的值为( )A. 20 B. 27 C. 36 D. 452. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是 ( )A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④3. 如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论正确的是 ( )
A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA
C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA 4. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似：AB=4cm ，BC =6cm ，AC =8cm，A′B′=12cm ，B′C′=18cm ，A′C′=21cm.5. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点， 求证：△ABC∽△EFD．6. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米，DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你的理由.
课后小结
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