第二章 直线和圆的方程 章末检测（2）（含解析）

直线和圆的方程章末检测（2）
一、单选题
1. 已知点和点B关于直线对称，斜率为k的直线m过点A交l于点C，若的面积为2，则k的值为( )
A. 3或 B. 0 C. D. 3
2. 设点，，若直线与线段AB没有交点，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3. 已知圆：，圆：，点M、N分别是圆、圆上的动点，P为y轴上的动点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
4. 过点作直线l交圆C：于M，N两点，设，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5. 唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( )
A. B. C. D.
6. 若函数的图象与直线有公共点，则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7. 几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得最大”如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点，，点P在x轴上移动，当取最大值时，点P的横坐标是( )
A. B. 1或 C. 2或 D. 1
8. 过坐标轴上一点作圆的两条切线，切点分别为A，若，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题
9. 设a，b为正数，若直线被圆截得弦长为4，则( )
A. B. C. D.
10. 关于圆，下列说法正确的是( )
A. k的取值范围是
B. 若，过的直线与圆C相交所得弦长为，其方程为
C. 若，圆C与圆相交
D. 若，，，直线恒过圆C的圆心，则恒成立
11. 在平面上给定相异两点，设点在同一平面上且满足其中是正数，且，则的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆.下列结论正确的是( )
A. 阿波罗尼斯圆的圆心恒在轴上
B. 始终在阿波罗尼斯圆内
C. 当时，阿波罗尼斯圆的圆心在点的左边
D. 当时，点在阿波罗尼斯圆外，点在圆内
12. 以下四个命题表述正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点
C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则
D. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1
三、填空题
13. 平面直角坐标系xOy中，已知圆，点P为直线上的动点，以PC为直径的圆交圆C于A，B两点，点Q在PC上且满足，则点Q的轨迹方程是__________.
14. 已知点，实数k是常数， 是圆上不同的两点，P是圆上的动点，如果关于直线对称，则面积的最大值是__________.
15. 在平面直角坐标系xOy中，已知直角中，直角顶点A在直线上，顶点B，C在圆上，则点A横坐标的取值范围是__________.
16. 已知圆C的方程为，点P是直线上的一个动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，A、B为切点，则四边形PACB的面积的最小值为__________；直线AB过定点__________.
四、解答题
17. 已知点，，
求中BC边上的高所在直线的方程；
求过A，B，C三点的圆的方程．
18. 在平面直角坐标系xOy中，设直线，直线
求证：直线过定点C，并求出点C的坐标；
当时，设直线的交点为A，过A作x轴的垂线，垂足为B，求点A到直线BC的距离d，并求的面积.
已知圆C的圆心在直线上，且与y轴相切于点
求圆C的方程；
若圆C与直线交于A，B两点，_____________________ ，求m的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
20. 如图所示，m、n分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中O为m、n的交点.若A、B两点分别为该市1路公交车的起点站和终点站，且A、B之间的公交线路是圆心在n上的一段圆弧，站点A到直线m、n的距离分别为1 km和10 km，站点B到直线m、n的距离分别为9 km和
建立适当的坐标系，求公交线路所在圆弧的方程;
为了丰富市民的业余生活，市政府决定在主干道n上选址建一游乐场，考虑到城市民居集中区域问题和环境问题，要求游乐场地址注：地址视为一个点，设为点在点O上方，且点C到点O的距离d大于2 km且小于10 km，并要求公交线路即圆弧上任意一点到游乐场C的距离不小于 km，求游乐场C距点O距离的最大值.
21. 在平面直角坐标系xOy中，已知经过原点O的直线l与圆交于两点.
若直线与圆C相切，切点为B，求直线l的方程；
若，求直线l的方程；
若圆与x轴的正半轴的交点为D，设直线l的斜率k，令，设面积为，求
22. 规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，我们说球A是指该球的球心点两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：
如图，设母球A的位置为，目标球B的位置为，要使目标球B向处运动，求母球A球心运动的直线方程；
如图，若母球A的位置为，目标球B的位置为，能否让母球A击打目标B球后，使目标B球向处运动
若A的位置为时，使得母球A击打目标球B时，目标球运动方向可以碰到目标球，求a的最小值只需要写出结果即可
答案和解析
1.【答案】B
解：设直线m为，点到直线l：的距离为，
设C到直线AB的距离为h，由，故，
所以，由，得，
由 ，
化简得，
即，
故选：

2.【答案】C
解：直线恒过点，
且斜率为，
，
，
由图可知：且，
，
故选

3.【答案】D
解：由题意知，关于y轴的对称点为 ，
那么 ，
而，，
故选

4.【答案】A
解：因为，
所以点A在圆C：内，则反向，
所以，由得，
因为圆C：方程为，其半径为，
当直线过点A与圆心时，与分别取最大值与最小值，
所以，即，
所以，
故选

5.【答案】B
解：设点A关于直线的对称点，设军营所在区域为的圆心为C，
根据题意，为最短距离，先求出的坐标，
的中点为，直线的斜率为1，
故直线为，
由，联立得
故，，
所以，
故，
故选

6.【答案】B
解：如图，函数可化简为，
表示的是以为圆心，2为半径的圆的下半部分，
根据题意作出图像．如图，
一个临界是直线和半圆相切，即圆心到直线的距离等于半径，，
解得，正值舍去；
另一个临界是直线过点代入得
故实数m的取值范围为
故选

7.【答案】D
解：M，N中点坐标，，
则经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线上，
设圆心为，
则圆S的方程为：，
对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，
当取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与x轴相切于点P，
即圆S的方程中的a值必须满足，
解得 或
即对应的切点分别为和，
而过点M，N，的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，
，
故点为所求，
点P的横坐标为
故选

8.【答案】C
解：根据题意，圆，其圆心为，半径，
过点M作圆的切线，切点为A、B，则，，
则，
又由，变形可得：，则有，
又由，，
则，，
即可得：，
解可得：或，
即的取值范围是，
故选

9.【答案】BCD
解：由，得，
可得圆心坐标为，半径为2，
直线被圆截得弦长为4，
直线过圆心，则，即，
又a，b为正数，
，可得，
当且仅当，时取等号．
又
，
当且仅当，即时取等号．
故选：

10.【答案】ACD
【解答】
解：对于A，若方程表示圆，
则，化简得，故A正确；
对于B，若，则圆，即
，圆心为，半径为
过的直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为1，则过的直线与圆 C相交所得弦长为；
过的直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，
则直线方程为，即，
设圆心到直线的距离为d，因为弦长为，
则，解得，
故，解得，
所以直线方程为，即，
故满足条件的直线方程为或，
故B错误；
对于C，若，则圆，即
，圆心为，半径为
圆的圆心为，半径为1，
所以两圆心间的距离为，又，
故两圆相交，故C正确；
对于D，若，则圆C的圆心为，
又直线恒过圆C的圆心，则，又，，
则
当且仅当，即时等号成立，
故D正确.
故选

11.【答案】CD
解：对于A、依题意可得，只有建立适当的平面直角坐标系后，才能确定阿波罗尼斯圆的的圆心是否在x轴上，故A错误.
若以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设，其中a为正数.
因为动点P满足其中是正数，且，
所以，化简得，
即，
所以该圆的圆心的坐标为，半径
对于C、因为，
所以当时，，即，
因此圆心C在点A的左边，所以C正确；
对于D、当时，因为，
，
所以点A在圆外，点B在圆内，故D正确，B不正确.
故选

12.【答案】BC
解：对于A，直线，
即，
由，解得，
所以直线过定点，A错误;
对于B，因为点P为直线上一动点，
所以设，
显然点P不能在圆C上，即或，
因为PA、PB是圆的两条切线，切点分别为A、B，O为圆心，
所以，
所以点在以OP为直径的圆上，
即弦AB是圆C和圆的公共弦．
因为圆心的坐标是，且半径，
所以圆的方程为 ①，
又②，
所以②-①，得，
即公共弦AB所在的直线方程为，
所以由，得，
所以直线AB过定点，B正确；
对于C，曲线，即，
则圆心，半径为1，
曲线，即，
则圆心，半径为，
两圆的圆心距为，
因为圆：与圆：有三条公切线，
则两圆属于外切的位置关系，
所以，解得，C正确；
对于D，圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
又因为，
所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，D错误；
故选

13.【答案】除点外
解：连接BQ，BC，CA，BA，设，
则切点弦，易知该直线过定点，
又，，则，
同理：，且，
所以四边形ACBQ为菱形，则，
所以Q在以M为圆心，为半径的圆上，且时，Q趋近于，
的轨迹方程为：除点外

14.【答案】
解：圆上两点M，N 关于直线对称，
即圆关于直线对称，
圆的圆心坐标为，
由题意知圆心在直线上，
所以，，
所以圆心坐标为，半径为1，
又可得直线AB的方程为，
所以圆心到直线AB的距离，
即，
则，
故答案为

15.【答案】
解：如图过直线上点P作圆的切线，
当两条切线垂直时，根据，得，
所以，
则由题意得，设，
则，
即，解得，
所以点A横坐标的取值范围是
故答案为

16.【答案】
解：由圆，得到圆心C即，半径
由题意可得：，，，
，
在中，由勾股定理可得：，
当最小时，最小，此时所求的面积也最小，
点P是直线l：上的动点，
当时，有最小值，此时，
所求四边形PAOB的面积的最小值为；
由P在直线上，设，则PO的中点坐标为，
又，
以OP为直径的圆的方程为，
整理得，
与圆联立，可得AB所在直线方程为，
即
联立，可得，即直线AB过定点
故答案为：；

17.【答案】解：已知的顶点为，，，
所在直线的斜率为，
边上的高所在的直线斜率为3，
边上的高所在的直线的方程为，即
设过A，B，C三点的圆的方程为，
则，求得，
故过A，B，C三点的圆的方程为
18.【答案】解：直线，
，
由，得，
直线过定点
当时，直线，直线，
由，得，即，，
直线BC的方程为，即，
点到直线BC的距离
点C到AB的距离为，
的面积
19.【答案】解：设圆心坐标为，半径为
因为圆C的圆心在直线上，
所以
因为圆C与y轴相切于点，
所以，
所以圆C的圆心坐标为，
则圆C的方程为
如果选择条件①：
因为，，
所以圆心C到直线l的距离
则，
解得或
如果选择条件②：
因为，，
所以圆心C到直线l的距离
则，
故或
20.【答案】解：以O为坐标原点，直线m、n分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，
则，，设圆弧AB所在圆的方程为，
则，解得，
故公交线路所在圆弧的方程为
因为游乐场距点O的距离为，所以，
设为公交线路上任意一点，则，
且对公交线路上任意点P均成立，
整理得，对任意的恒成立.
令，因为，所以函数在上单调递减，
所以，解得或，
又，故，即游乐场距点O距离的最大值为
21.【答案】解：圆转化为标准方程，
故圆心C点坐标为，半径为，
由直线与圆C相切，得，
化简得：，解得或，
由于，故，
即直线m：，
联立得，
即，得；
取AB中点M，则，
又，
所以，
设，圆心到直线l的距离为d，
由勾股定理得：，解得，
设所求直线的方程为，，解得，
故
设A，B两点的纵坐标分别为，且异号，
因为圆，令，得，
所以，且，
设AB方程为，
由，消元得，
即，
故
22.【答案】如图所示：
点与点所在的直线方程为：，
依题意，知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线上，且在第一象限，
此时｜，设A，B两球碰撞时球A的球心坐标为，
则有：，
解得：，，
即：A，B两球碰撞时球A的球心坐标为，
所以，母球A运动的直线方程为：；
如上图，若母球A的位置为，要使目标球B向处运动，
则母球击打后运行到时与目标球碰撞，
则点与点连线的斜率小于等于1，
而，
不能让母球A击打目标B球后，使目标B球向处运动；
的最小值为要使得a最小，
临界条件为球A从球B的左上方处撞击球B后，B球从球C的右上方处撞击球
如下图所示：
设是球B的所有路径中最远离的那条路径上离球C最近的点，
设，
则有，
联立，
解得，
易得直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，
易得，过作倾斜角为的直线，
则此直线为：，令，得到，
易得，就是一个符合题意的初始位置.
若，则球A会在达到之前就与球B碰撞，不合题意.
因此a的最小值为
第1页，共1页