专题86 电磁感应与电路综合
1．电磁感应中电路知识的关系图
2．“三步走”分析电路为主的电磁感应问题
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1. （2021高考全国甲卷）由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是
A.甲和乙都加速运动 B.甲和乙都减速运动
C.甲加速运动，乙减速运动 D.甲减速运动，乙加速运动
【参考答案】AB
【名师解析】根据题述，由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍，甲线圈导线的横截面积是乙的1/2，甲线圈导线长度为乙的2倍，根据电阻定律可知，甲线圈导线电阻为乙的4倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，进入磁场区域时速度相同，甲产生的感应电动势是乙的2倍，由闭合电路欧姆定律可知，甲线圈中电流是乙的1/2，甲线圈受到的安培力与乙相等，所以甲乙两线圈运动情况完全相同，选项AB正确CD错误。
【一题多解】定量分析。线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，由机械能守恒定律，mgh=mv2，解得v=
产生的感应电动势为E=nBlv，
两线圈材料相同，质量m相同，设材料密度为ρ0，横截面积为S，则m=×4nlS
线圈电阻R=ρ=
由闭合电路欧姆定律。I=E/R=
所受安培力F=nBIl=
由牛顿第二定律，mg-F=ma，
联立解得：a=g-
由此可知，线圈进入磁场后运动的加速度与线圈的匝数n、横截面积S无关，则甲乙两线圈进入磁场后，具有相同的加速度。当g＞时，甲和乙都做加速运动；当g＜时，甲和乙都做减速运动；当g=时，甲和乙都做匀速运动。选项AB正确CD错误。
2. (2020·全国卷Ⅲ)如图，一边长为l0的正方形金属框abcd固定在水平面内，空间存在方向垂直于水平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一长度大于l0的均匀导体棒以速率v自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程中导体棒始终与ac垂直且中点位于ac上，导体棒与金属框接触良好。已知导体棒单位长度的电阻为r，金属框电阻可忽略。将导体棒与a点之间的距离记为x，求导体棒所受安培力的大小随x(0≤x≤l0)变化的关系式。
【名师解析】：
当导体棒与金属框接触的两点间棒的长度为l时，由法拉第电磁感应定律知，导体棒上感应电动势的大小为
E＝Blv①
根据欧姆定律，流过导体棒的感应电流I＝②
式中，R为这一段导体棒的电阻。按题意有
R＝rl③
此时导体棒所受安培力大小
F＝BlI④
由题设和几何关系有
l＝⑤
联立①②③④⑤式得
F＝
3.(2018·全国卷Ⅱ)如图，在同一水平面内有两根平行长导轨，导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁场区域，区域宽度均为l，磁感应强度大小相等、方向交替向上向下。一边长为l的正方形金属线框在导轨上向左匀速运动。线框中感应电流i随时间t变化的正确图线可能是( )
【参考答案】D
【名师解析】设线路中只有一边切割磁感线时产生的感应电流为i，相应位移所对应电流如下表所示。
线框位移 等效电路的连接 电流
0～ I＝2i(顺时针)
～l I＝0
l～ I＝2i(逆时针)
～2l I＝0
综合分析知，选项D正确。
最新模拟题精选
1..(2022·保定联考)如图6所示为有理想边界的两个匀强磁场，磁感应强度均为B＝0.5 T，两边界间距s＝0.1 m，一边长L＝0.2 m的正方形线框abcd由粗细均匀的电阻丝围成，总电阻为R＝0.4 Ω，现使线框以v＝2 m/s的速度从位置Ⅰ匀速运动到位置Ⅱ，则下列能正确反映整个过程中线框a、b两点间的电势差Uab随时间t变化的图线是( )
【参考答案】 A
【名师解析】 ab边切割磁感线产生的感应电动势为E＝BLv＝0.2 V，线框中感应电流为I＝＝0.5 A，所以在0～5×10－2 s时间内，a、b两点间电势差为U1＝I·R＝0.15 V。在5×10－2～10×10－2 s时间内，a、b两点间电势差U2＝E＝0.2 V；在10×10－2～15×10－2 s时间内，a、b两点间电势差为U3＝I·R＝0.05 V，选项A正确。
2 .(2022·河南名校联考)(多选)如图所示，两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置，间距为l＝1 m，cd间、de间、cf间分别接着阻值R＝10 Ω的电阻。一阻值R＝10 Ω的导体棒ab以速度v＝4 m/s匀速向左运动，导体棒与导轨接触良好；导轨所在平面存在磁感应强度大小B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场。下列说法正确的是( )
A.导体棒ab中电流的流向为由b到a B.cd两端的电压为1 V
C.de两端的电压为1 V D.fe两端的电压为1 V
【参考答案】 BD
【名师解析】 由右手定则可知ab中电流方向为a→b，选项A错误；导体棒ab切割磁感线产生的感应电动势E＝Blv，ab为电源，cd间电阻R为外电路负载，de和cf间电阻中无电流，de和cf间都无电压，因此cd和fe两端电压相等，即U＝·R＝＝1 V，选项B、D正确，C错误。
3 (2022·绍兴联考)用相同导线绕制的边长为L或2L的四个闭合导体线框、以相同的速度匀速进入右侧匀强磁场，如图所示．在每个线框进入磁场的过程中，M、N两点间的电压分别为Ua、Ub、Uc和Ud.下列判断正确的是( )
A．Ua＜Ub＜Uc＜Ud B．Ua＜Ub＜Ud＜Uc
C．Ua＝Ub＝Uc＝Ud D．Ub＜Ua＜Ud＜Uc
【参考答案】B
【名师解析】.线框进入磁场后切割磁感线，a、b产生的感应电动势是c、d电动势的一半，而不同的线框电阻不同．设a线框电阻为4r，b、c、d线框的电阻分别为6r、8r、6r.在线框进入磁场的过程中，MN两端的电压等于线框回路中的路端电压，根据线框长度和电阻的关系依据闭合电路欧姆定律，可知Ua＝BLv，Ub＝BLv，Uc＝B·2Lv＝BLv，Ud＝B·2Lv＝BLv，所以Ua＜Ub＜Ud＜Uc，故B对．
4..两条相互平行的、足够长的光滑金属导轨放在绝缘水平面上，距离为L，电阻不计。导轨内有垂直水平面向里的匀强磁场，导轨左侧接电容器C、电阻R1和R2，如图5－2－23所示。垂直导轨且与导轨接触良好的金属杆(电阻不计)以一定的速度向右匀速运动，某时刻开始做匀减速运动至速度为零后反向做匀加速运动。则在此过程中
A．R1中无电流通过
B．R1中电流从e流向a
C．R2中电流一直从a流向b
D．R2中电流先从b流向a，后从a流向b
【参考答案】B
【名师解析】 开始时，金属杆以一定的速度向右匀速运动，感应电动势E＝BLv，电容器的带电荷量为Q＝CE＝CBLv，由右手定则知，R2中电流方向为由a流向b，电容器的上极板带正电，金属杆开始做匀减速运动至速度为零的过程中，速度减小，感应电动势减小，极板间电压也减小，因此电容器的带电荷量减小，则R1中有电流通过，方向为由e流向a，R2中电流从a流向b，故A错误；金属杆反向做匀加速运动的过程中，由右手定则知，R2中电流方向为由b流向a，加速运动，感应电动势增大，电容器两端电压增大，所以电容器充电，流经R1的电流方向为由e流向a，故B正确，CD错误。
5.（2022洛阳联考）如图所示，边长为L、不可形变的正方形导线框内有半径为r的圆形磁场区域，其磁感应强度B随时间t的变化关系为B＝kt(常量k＞0)。回路中滑动变阻器R的最大阻值为R0，滑动片P位于滑动变阻器中央，定值电阻R1＝R0、R2＝。闭合开关S，电压表的示数为U，不考虑虚线MN右侧导体的感应电动势，则( )
A.R2两端的电压为
B.电容器的a极板带正电
C.滑动变阻器R的热功率为电阻R2的5倍
D.正方形导线框中的感应电动势为kL2
【参考答案】 AC
【名师解析】 由法拉第电磁感应定律E＝n＝nS有E＝kπr2，D错误；因k＞0，由楞次定律知线框内感应电流沿逆时针方向，故电容器b极板带正电，B错误；由题图知外电路结构为R2与R的右半部并联，再与R的左半部、R1相串联，故R2两端电压U2＝U＝，A正确；设R2消耗的功率为P＝IU2，则R消耗的功率P′＝2I×2U2＋IU2＝5P，故C正确。
6．如图所示，导电物质为电子的霍尔元件位于两串联线圈之间，线圈中电流为I，线圈间产生匀强磁场，磁感应强度大小B与I成正比，方向垂直于霍尔元件的两侧面，此时通过霍尔元件的电流为IH，与其前后表面相连的电压表测出的霍尔电压UH满足：UH＝k，式中k为霍尔系数，d为霍尔元件两侧面间的距离。电阻R远大于RL，霍尔元件的电阻可以忽略，则( )
A．霍尔元件前表面的电势低于后表面
B．若电源的正负极对调，电压表将反偏
C．IH与I成正比
D．电压表的示数与RL消耗的电功率成正比
【参考答案】．CD
【名师解析】当霍尔元件通有电流IH时，根据左手定则，电子将向霍尔元件的后表面运动，故霍尔元件的前表面电势较高。若将电源的正负极对调，则磁感应强度B的方向换向，IH方向变化，根据左手定则，电子仍向霍尔元件的后表面运动，故仍是霍尔元件的前表面电势较高，选项A、B错误；因R与RL并联，根据并联分流，得IH＝I，故IH与I成正比，选项C正确；由于B与I成正比，设B＝aI，则IL＝I，PL＝IRL，故UH＝k＝PL，知UH∝PL，选项D正确。
7 (多选)如图所示，水平面上固定一个顶角为60°的光滑金属导轨MON，导轨处于磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场中。质量为m的导体棒CD与∠MON的角平分线垂直，导轨与导体棒单位长度的电阻均为r。t＝0时刻，导体棒CD在水平外力F的作用下从O点以恒定速度v0沿∠MON的角平分线向右滑动，在滑动过程中始终保持与导轨良好接触。若导体棒与导轨均足够长，则( )
A．流过导体棒的电流I始终为
B．F随时间t的变化关系为F＝t
C．t0时刻导体棒的发热功率为t0
D．撤去F后，导体棒上能产生的焦耳热为mv02
【参考答案】ABC
【名师解析】 导体棒切割磁感线的有效长度L＝2v0t tan 30°，感应电动势E＝BLv0，回路的总电阻R＝r，联立可得通过导体棒的电流I＝＝，选项A正确；导体棒受力平衡，则外力F与安培力平衡，即F＝BIL，得F＝t，选项B正确；t0时刻导体棒的电阻为Rx＝2v0t0tan 30°·r，则导体棒的发热功率P棒＝I2Rx＝t0，选项C正确；从撤去F到导体棒停下的过程，根据能量守恒定律有Q棒＋Q轨＝mv02－0，得导体棒上能产生的焦耳热Q棒＝mv02－Q轨8.(多选)如图所示，由某种粗细均匀的金属条制成的矩形线框abcd固定在纸面内，匀强磁场垂直纸面向里。一导体棒PQ放在线框上，在水平拉力F作用下沿平行ab的方向匀速滑动，滑动过程中PQ始终与ab垂直，且与线框接触良好，不计摩擦。在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中( )
A．通过PQ的电流先增大后减小
B．PQ两端电压先增大后减小
C．拉力F的功率先减小后增大
D．通过ad的电流先增大后减小
【参考答案】BC
【名师解析】 PQ由靠近ad边向bc边匀速滑动的过程中，产生的感应电动势E＝BLv保持不变，外电路总电阻先增大后减小(在ab中点时外电阻最大)，由欧姆定律分析得知PQ中的电流I＝先减小后增大，A错误；PQ中电流先减小后增大，PQ两端电压为路端电压，由U＝E－IR可知PQ两端的电压先增大后减小，B正确；PQ匀速运动，PQ上拉力的功率等于回路的电功率，而回路的总电阻R总先增大后减小，由P＝分析得知，PQ上拉力的功率先减小后增大，C正确；导体棒向右运动到ab中点的过程中，电路的总电流在减小，分析bc可知bc中电流在增大，因此ad部分分得的电流一直在减小，由ab中点向右运动的过程中，ad部分的电压一直在减小，且ad部分的电阻在增加，因此电流继续减小，因此通过ad的电流一直减小，D错误。
9．(2019·广东广州模拟)如图所示，平行长直金属导轨水平放置，间距L＝0.4 m，导轨左端接有阻值R＝1 Ω的电阻，导体棒垂直放置在导轨上，且接触良好，导体棒及导轨的电阻均不计。导轨间正方形区域Oabc内有方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小B＝0.5 T，ac连线与导轨垂直，长度也为L。若使导体棒在导轨上始终以速度v＝2 m/s做直线运动，以O为原点、Ob为x轴建立一维坐标系Ox。求：
(1)导体棒进入磁场区域时，回路中感应电流的最大值Im；
(2)导体棒通过磁场区域时，电流i与位置坐标x的关系式。
【名师解析】：(1)导体棒在ac位置时感应电动势最大Em＝BLv①
感应电流最大值Im＝②
代入数值，求得Im＝0.4 A。③
(2)导体棒运动至Oac区域，即x≤0.2 m时，
有效长度l＝2x④
感应电流i＝Blv/R=2x A
导体棒运动至acb区域，即0.2 m≤x≤0.4 m时，有效长度l＝2(0.4－x)⑤
感应电动势E＝Blv＝2Bv(0.4－x) V⑥
感应电流i＝(0.8－2x) A⑦
综合④至⑦式，
得i＝
【参考答案】：(1)0.4 A
(2)i＝
10．(2020·泉州模拟)如图甲所示，两根完全相同的光滑平行导轨固定，每根导轨均由两段与水平面成θ＝30°的长直导轨和一段圆弧导轨平滑连接而成，导轨两端均连接电阻，阻值R1＝R2＝2 Ω，导轨间距L＝0.6 m。在右侧导轨所在斜面的矩形区域M1M2P2P1内分布有垂直斜面向上的磁场，磁场上下边界M1P1、M2P2的距离d＝0.2 m，磁感应强度大小随时间的变化规律如图乙所示。t＝0时刻，在右侧导轨斜面上与M1P1距离s＝0.1 m处，有一根阻值r＝2 Ω的金属棒ab垂直于导轨由静止释放，恰好独立匀速通过整个磁场区域，重力加速度g取10 m/s2，导轨电阻不计。求：
(1)ab在磁场中运动的速度大小v；
(2)在t1＝0.1 s时刻和t2＝0.25 s时刻电阻R1的电功率之比。
【名师解析】：(1)由mgs·sin θ＝mv2
得v＝＝1 m/s。
(2)金属棒从释放到运动至M1P1的时间
t＝＝0.2 s
在t1＝0.1 s时，金属棒还没进入磁场，
有E1＝＝Ld＝0.6 V
此时，R2与金属棒并联后再与R1串联
R串＝3 Ω
U1＝R1＝0.4 V
由题图乙可知，t＝0.2 s后磁感应强度大小保持不变，ab经过磁场的时间t′＝＝0.2 s
故在t2＝0.25 s时，ab还在磁场中运动，电动势E2＝BLv＝0.6 V
此时R1与R2并联，R总＝3 Ω，得R1两端电压U1′＝0.2 V
电功率P＝，故在t1＝0.1 s和t2＝0.25 s时刻电阻R1的电功率比值＝＝4。
【参考答案】：(1)1 m/s (2)4专题86 电磁感应与电路综合
1．电磁感应中电路知识的关系图
2．“三步走”分析电路为主的电磁感应问题
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1. （2021高考全国甲卷）由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是
A.甲和乙都加速运动 B.甲和乙都减速运动
C.甲加速运动，乙减速运动 D.甲减速运动，乙加速运动
2. (2020·全国卷Ⅲ)如图，一边长为l0的正方形金属框abcd固定在水平面内，空间存在方向垂直于水平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一长度大于l0的均匀导体棒以速率v自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程中导体棒始终与ac垂直且中点位于ac上，导体棒与金属框接触良好。已知导体棒单位长度的电阻为r，金属框电阻可忽略。将导体棒与a点之间的距离记为x，求导体棒所受安培力的大小随x(0≤x≤l0)变化的关系式。
3.(2018·全国卷Ⅱ)如图，在同一水平面内有两根平行长导轨，导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁场区域，区域宽度均为l，磁感应强度大小相等、方向交替向上向下。一边长为l的正方形金属线框在导轨上向左匀速运动。线框中感应电流i随时间t变化的正确图线可能是( )
最新模拟题精选
1..(2022·保定联考)如图6所示为有理想边界的两个匀强磁场，磁感应强度均为B＝0.5 T，两边界间距s＝0.1 m，一边长L＝0.2 m的正方形线框abcd由粗细均匀的电阻丝围成，总电阻为R＝0.4 Ω，现使线框以v＝2 m/s的速度从位置Ⅰ匀速运动到位置Ⅱ，则下列能正确反映整个过程中线框a、b两点间的电势差Uab随时间t变化的图线是( )
2 .(2022·河南名校联考)(多选)如图所示，两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置，间距为l＝1 m，cd间、de间、cf间分别接着阻值R＝10 Ω的电阻。一阻值R＝10 Ω的导体棒ab以速度v＝4 m/s匀速向左运动，导体棒与导轨接触良好；导轨所在平面存在磁感应强度大小B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场。下列说法正确的是( )
A.导体棒ab中电流的流向为由b到a B.cd两端的电压为1 V
C.de两端的电压为1 V D.fe两端的电压为1 V
3 (2022·绍兴联考)用相同导线绕制的边长为L或2L的四个闭合导体线框、以相同的速度匀速进入右侧匀强磁场，如图所示．在每个线框进入磁场的过程中，M、N两点间的电压分别为Ua、Ub、Uc和Ud.下列判断正确的是( )
A．Ua＜Ub＜Uc＜Ud B．Ua＜Ub＜Ud＜Uc
C．Ua＝Ub＝Uc＝Ud D．Ub＜Ua＜Ud＜Uc
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4..两条相互平行的、足够长的光滑金属导轨放在绝缘水平面上，距离为L，电阻不计。导轨内有垂直水平面向里的匀强磁场，导轨左侧接电容器C、电阻R1和R2，如图5－2－23所示。垂直导轨且与导轨接触良好的金属杆(电阻不计)以一定的速度向右匀速运动，某时刻开始做匀减速运动至速度为零后反向做匀加速运动。则在此过程中
A．R1中无电流通过
B．R1中电流从e流向a
C．R2中电流一直从a流向b
D．R2中电流先从b流向a，后从a流向b
5.（2022洛阳联考）如图所示，边长为L、不可形变的正方形导线框内有半径为r的圆形磁场区域，其磁感应强度B随时间t的变化关系为B＝kt(常量k＞0)。回路中滑动变阻器R的最大阻值为R0，滑动片P位于滑动变阻器中央，定值电阻R1＝R0、R2＝。闭合开关S，电压表的示数为U，不考虑虚线MN右侧导体的感应电动势，则( )
A.R2两端的电压为
B.电容器的a极板带正电
C.滑动变阻器R的热功率为电阻R2的5倍
D.正方形导线框中的感应电动势为kL2
6．如图所示，导电物质为电子的霍尔元件位于两串联线圈之间，线圈中电流为I，线圈间产生匀强磁场，磁感应强度大小B与I成正比，方向垂直于霍尔元件的两侧面，此时通过霍尔元件的电流为IH，与其前后表面相连的电压表测出的霍尔电压UH满足：UH＝k，式中k为霍尔系数，d为霍尔元件两侧面间的距离。电阻R远大于RL，霍尔元件的电阻可以忽略，则( )
A．霍尔元件前表面的电势低于后表面
B．若电源的正负极对调，电压表将反偏
C．IH与I成正比
D．电压表的示数与RL消耗的电功率成正比
7 (多选)如图所示，水平面上固定一个顶角为60°的光滑金属导轨MON，导轨处于磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场中。质量为m的导体棒CD与∠MON的角平分线垂直，导轨与导体棒单位长度的电阻均为r。t＝0时刻，导体棒CD在水平外力F的作用下从O点以恒定速度v0沿∠MON的角平分线向右滑动，在滑动过程中始终保持与导轨良好接触。若导体棒与导轨均足够长，则( )
A．流过导体棒的电流I始终为
B．F随时间t的变化关系为F＝t
C．t0时刻导体棒的发热功率为t0
D．撤去F后，导体棒上能产生的焦耳热为mv02
8.(多选)如图所示，由某种粗细均匀的金属条制成的矩形线框abcd固定在纸面内，匀强磁场垂直纸面向里。一导体棒PQ放在线框上，在水平拉力F作用下沿平行ab的方向匀速滑动，滑动过程中PQ始终与ab垂直，且与线框接触良好，不计摩擦。在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中( )
A．通过PQ的电流先增大后减小
B．PQ两端电压先增大后减小
C．拉力F的功率先减小后增大
D．通过ad的电流先增大后减小
9．(2019·广东广州模拟)如图所示，平行长直金属导轨水平放置，间距L＝0.4 m，导轨左端接有阻值R＝1 Ω的电阻，导体棒垂直放置在导轨上，且接触良好，导体棒及导轨的电阻均不计。导轨间正方形区域Oabc内有方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小B＝0.5 T，ac连线与导轨垂直，长度也为L。若使导体棒在导轨上始终以速度v＝2 m/s做直线运动，以O为原点、Ob为x轴建立一维坐标系Ox。求：
(1)导体棒进入磁场区域时，回路中感应电流的最大值Im；
(2)导体棒通过磁场区域时，电流i与位置坐标x的关系式。
10．(2020·泉州模拟)如图甲所示，两根完全相同的光滑平行导轨固定，每根导轨均由两段与水平面成θ＝30°的长直导轨和一段圆弧导轨平滑连接而成，导轨两端均连接电阻，阻值R1＝R2＝2 Ω，导轨间距L＝0.6 m。在右侧导轨所在斜面的矩形区域M1M2P2P1内分布有垂直斜面向上的磁场，磁场上下边界M1P1、M2P2的距离d＝0.2 m，磁感应强度大小随时间的变化规律如图乙所示。t＝0时刻，在右侧导轨斜面上与M1P1距离s＝0.1 m处，有一根阻值r＝2 Ω的金属棒ab垂直于导轨由静止释放，恰好独立匀速通过整个磁场区域，重力加速度g取10 m/s2，导轨电阻不计。求：
(1)ab在磁场中运动的速度大小v；
(2)在t1＝0.1 s时刻和t2＝0.25 s时刻电阻R1的电功率之比。
