27.2.1相似三角形的判定-两角分别相等的两个三角形相似 课件(共33PPT)+教学案

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名称 27.2.1相似三角形的判定-两角分别相等的两个三角形相似 课件(共33PPT)+教学案
格式 zip
文件大小 2.7MB
资源类型 试卷
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2023-01-26 20:31:43

文档简介

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2022—2023学年度下学期九年级数学教学案 第2 周 第5节
课题 27.2.1 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似
教学目标 知识与技能:探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理。过程与方法:掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法,并能进行相关计算情感态度与价值观:
重点 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法,并能进行相关计算
难点 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法,并能进行相关计算
教具 多媒体、教学案
教与学的过程 教与学的过程教与学的过程 教 与 学 的 内 容
情境引入学校举办活动,需要三个内角分别为90°,60°,30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干. 小明手上的测量工具只有一个量角器,他该怎么做呢?两角分别相等的两个三角形相似合作探究与同伴合作,一人画 △ABC,另一人画 △A′B′C′,使∠A=∠A′,∠B=∠B′,探究下列问题:问题一 度量 AB,BC,AC,A′B′,B′C′,A′C′ 的长,并计算出它们的比值. 你有什么发现? 问题二 试证明△A′B′C′∽△ABC.归纳:由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理:两角分别相等的两个三角形相似.符号语言:∵ ∠A=∠A',∠B=∠B',∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 练一练如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.例1 如图,△ABC 和 △DEF 中,∠A=40°,∠B=80°,∠E=80 °,∠F=60 ° . 求证:△ABC ∽△DEF. 例2 如图,弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P,求证:PA · PB=PC · PD. 证明:连接AC,DB.∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角,∴ ∠A= _______,同理 ∠C= _______,∴ △PAC ∽ △PDB,∴__________即PA ·PB = PC · PD. 练一练如图,在 △ABC 和 △A'B'C' 中, 若∠A=60°,∠B=40°,∠A' = 60°, 当∠C'= 时,△ABC ∽△A'B'C'. 2. 如图,⊙O 的弦 AB,CD 相交于点 P,若 PA=3,PB = 8,PC = 4,则 PD = . 判定两个直角三角形相似例2 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AB = 10,AC = 8. E 是 AC 上一点,AE = 5,ED⊥AB,垂足为D. 求AD的长. 归纳:由此得到一个判定直角三角形相似的方法:有一个锐角相等的两个直角三角形相似.思考:对于两个直角三角形,我们还可以用 “HL”判定它们全等. 那么,满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗?如图,在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中,∠C=90°,∠C′=90°,求证:Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′. 归纳:由此得到另一个判定直角三角形相似的方法:斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.例3 如图,已知:∠ACB =∠ADC = 90°,AD = 2,CD = ,当 AB 的长为 ______________时,△ACB 与△ADC相似.练一练在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中,∠C=∠C′=90°,依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.(1) ∠A=35°,∠B′=55°: ;(2) AC=3,BC=4,A′C′=6,B′C′=8: ;(3) AB=10,AC=8,A′B′=25,B′C′=15: .当堂练习如图,已知 AB∥DE,∠AFC =∠E,则图中相似三角形共有 ( )A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对2. 如图,△ABC中,AE 交 BC 于点 D,∠C=∠E,AD : DE=3 : 5,AE=8,BD=4,则DC的长等于 ( ) A. B. C. D. 3. 如图,点 D 在 AB上,当∠ = ∠ (或∠ =∠ )时, △ACD∽△ABC;4. 如图,在 Rt△ABC 中, ∠ABC = 90°,BD⊥AC于D. 若 AB=6,AD=2, 则 AC= ,BD= ,BC= .5. 如图,△ABC 的高 AD、BE 交于点 F.求证:6. 如图,∠1=∠2=∠3, 求证:△ABC ∽△ADE.7. 如图,BE是△ABC的外接圆O的直径,CD是△ABC的高, 求证:AC · BC = BE · CD.
课后小结
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27.2.1两角分别相等的两个三角形相似
人教版九年级下册
学习目标
1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.
2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法,并
能进行相关计算. (重点、难点)
3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法,并能进行
相关计算.
学校举办活动,需要三个内角分别为90°,60°,30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干. 小明手上的测量工具只有一个量角器,他该怎么做呢?
情境引入



问题一 度量 AB,BC,AC,A′B′,B′C′,A′C′ 的长,并计算出它们的比值. 你有什么发现?
C
A
B
A'
B'
C'
两角分别相等的两个三角形相似

合作探究
与同伴合作,一人画 △ABC,另一人画 △A′B′C′,使∠A=∠A′,∠B=∠B′,探究下列问题:
这两个三角形是相似的
证明:在 △ABC 的边 AB(或 AB 的延长线)上,
截取 AD=A′B′,过点 D 作 DE // BC,交 AC 于点 E,
则有△ADE ∽△ABC,∠ADE =∠B.
∵∠B=∠B′,
∴∠ADE=∠B′.
又∵ AD=A′B′,∠A=∠A′,
∴△ADE ≌△A′B′C′,
∴△A′B′C′ ∽△ABC.
C
A
A'
B
B'
C'
D
E
已知: ∠A=∠A′,∠B=∠B′
求证:△A′B′C′∽△ABC.
由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理:
两角分别相等的两个三角形相似.
∵ ∠A=∠A',∠B=∠B',
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
符号语言:
C
A
B
A'
B'
C'
归纳:
如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.
A
E
F
B
C
D
证明: ∵ DE∥BC,EF∥AB,
∴∠AED=∠C,
∠A=∠FEC.
∴ △ADE∽△EFC.
练一练
证明:∵ 在△ ABC中,∠A=40 ° ,
∠B=80 ° ,
∴ ∠C=180 °-∠A-∠B=60 °.
∵ 在△DEF中,∠E=80 °,
∠F=60 °.
∴ ∠B=∠E,∠C=∠F.
  ∴ △ABC ∽△DEF.
例1 如图,△ABC 和 △DEF 中,∠A=40°,∠B=80°,∠E=80 °,∠F=60 ° .
求证:△ABC ∽△DEF.
A
C
B
F
E
D
典例精析
例2 如图,弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P,求证:PA · PB=PC · PD.
证明:连接AC,DB.
∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角,
∴ ∠A= _______,
同理 ∠C= _______,
∴ △PAC ∽ △PDB,
∴__________
即PA ·PB = PC · PD.
∠D
∠B
O
D
C
B
A
P
如图,在 △ABC 和 △A'B'C' 中,
若∠A=60°,∠B=40°,∠A' = 60°,
当∠C'= 时,△ABC ∽△A'B'C'.
练一练
C
A
B
B'
C'
A'
80°
2. 如图,⊙O 的弦 AB,CD 相交于点 P,若 PA=3,PB = 8,PC = 4,则 PD = .
6
O
D
C
B
A
P

解:∵ ED⊥AB,∴∠EDA=90 ° .
又∠C=90 °,∠A=∠A,
∴ △AED ∽△ABC.
判定两个直角三角形相似

例2 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AB = 10,AC = 8. E 是 AC 上一点,AE = 5,ED⊥AB,垂足为D. 求AD的长.
D
A
B
C
E

由此得到一个判定直角三角形相似的方法:
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
归纳:
有两组直角边成比例的两个直角三角形相似吗?
例如:在Rt △ABC 和Rt △A’B’C’中,
那么Rt △ABC 和Rt△A’B’C’是否相似呢?为什么?
对于两个直角三角形,我们还可以用 “HL”判定它们全等. 那么,满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗?
思考:
如图,在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中,∠C=90°,∠C′=90°, .
求证:Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.
C
A
A'
B
B'
C'
要证明两个三角形相似,即是需要
证明什么呢?
目标:
证明:设____________= k ,则AB=kA′B′,AC=kA′B′.
由 ,得
∴ ________.
∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′.
勾股定理

C
A
A'
B
B'
C'
由此得到另一个判定直角三角形相似的方法:
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
归纳:
例3 如图,已知:∠ACB =∠ADC = 90°,AD = 2,CD = ,当 AB 的长为 时,△ACB 与△ADC相似.
解析:∵∠ADC = 90°,AD = 2,CD = ,
要使这两个直角三角形相似,有两种情况:
当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时,
有 AC : AD =AB : AC,
即 : 2 =AB : ,解得 AB=3;

C
A
B
D
2
(2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时,有 AC : CD =
AB : AC , 即 : =AB : ,解得 AB= .
∴ 当 AB 的长为 3 或 时,这两个直角三角形相似.
C
A
B
D
2
例3 如图,已知:∠ACB =∠ADC = 90°,AD = 2,CD = ,当 AB 的长为 时,△ACB 与△ADC相似.
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中,∠C=∠C′=90°,依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.
(1) ∠A=35°,∠B′=55°: ;
(2) AC=3,BC=4,A′C′=6,B′C′=8: ;
(3) AB=10,AC=8,A′B′=25,B′C′=15: .
练一练
相似
相似
相似
当堂练习
1. 如图,已知 AB∥DE,∠AFC =∠E,则图中相似三角形共有 ( )
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
C
2. 如图,△ABC中,AE 交 BC 于点 D,∠C=∠E,AD : DE=3 : 5,AE=8,BD=4,则DC的长等于 ( )
A.
B.
C.
D.
A
C
A
B
D
E
3. (1)如图,点 D 在 AB上,当∠ =
∠ (或∠ =∠ )时, △ACD∽△ABC( ∠ A是公共角);
ACD
ACB
B
ADC
AD
AC
(2)如图,点 D 在 AB上,当∠ =
∠ (或∠ =∠ )时, △BCD∽△BAC( ∠ B是公共角);
BCD
BCA
A
BDC
BD
BC
4. 如图,在 Rt△ABC 中, ∠ABC = 90°,BD⊥AC于D. 若 AB=6,AD=2,
则 AC= ,BD= ,BC= .
18
变式. 如图,在 O 中, AB是直径,弦CD ⊥ AB于E,请写出在这个图形中的哪条线段的平方等于哪两条线段的乘积?
证明: ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F,
∴ ∠FEA=∠FDB=90°,
∠AFE =∠BFD (对顶角相等).
∴ △FEA ∽ △ FDB,

5. 如图,△ABC 的高 AD、BE 交于点 F.求证:
D
C
A
B
E
F
证明:
∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC,
∠DAE= ∠3+ ∠DAC,∠1=∠3,
∴ ∠BAC=∠DAE.
∵ ∠C=180°-∠2-∠DOC ,
∠E=180°-∠3-∠AOE,
∠DOC =∠AOE(对顶角相等),
∴ ∠C= ∠E.
∴ △ABC∽△ADE.
6. 如图,∠1=∠2=∠3,
求证:△ABC ∽△ADE.
A
B
C
D
E
1
3
2
O
7. 如图,BE是△ABC的外接圆O的直径,CD是△ABC的高,
求证:AC · BC = BE · CD.
O
D
C
B
A
E
证明: 连接CE,
则∠A=∠E.
又∵BE是△ABC的外接圆O的直径,
∴∠BCE=90°=∠ADC,
∵∠A=∠E,∠BCE=∠ADC,
∴△ACD∽△EBC.
∴ ∴ AC · BC = BE · CD.
两角分别相等的两个三角形相似
利用两角判定三角形相似
课堂小结
直角三角形相似的判定
谢谢
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