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2022—2023学年度下学期九年级数学教学案 第3 周 第2节
课题 27.2.3 相似三角形应用举例
教学目标 知识与技能：能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度。过程与方法：进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力。情感态度与价值观：
重点 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度
难点 能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型
教具 多媒体、教学案
教与学的过程 教与学的过程教与学的过程 教 与 学 的 内 容
利用相似三角形测量高度 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.归纳：测高方法一：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长.练一练1.如图，要测量旗杆 AB 的高度，可在地面上竖一根竹 竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和 AB在同一时刻下 地面上的影长即可，则下面能用来求AB长的等式是( ) A． B． C． D． 2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC =2 米，AB = 10 米，旗杆的高度是______米． 想一想：还可以有其他测量方法吗？测高方法二：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.试一试：如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得BP = 3 米，DP = 12米，那么该古城墙的高度是 ( )A.6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米 利用相似三角形测量宽度例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m， 请根据这些数据，计算河宽 PQ.例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D． 此时如果测得 BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离 AB．归纳：测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.利用相似解决有遮挡物问题例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了 当堂练习1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高度应为( )A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米 2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( ) A. 0.5m B. 0.55m C. 0.6m D . 2.2m3. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD＝5 m，AD＝15m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为 m.4. 如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA 的长度为 .5. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米，EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米，到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度.6. 如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助小明求出旗杆的高度．
课后小结
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27.2.3 相似三角形应用举例
xx版xx年级上册
学习目标
1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量
的物体的高度和宽度. (重点)
2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化
为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决
问题的能力. (难点)
乐山大佛
图片引入
世界上最高的树
—— 红杉
台湾最高的楼
——台北101大楼
怎样测量这些非常高大的物体的高度？
世界上最宽的河
——亚马逊河
怎样测量河宽？
利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题.
利用相似三角形测量高度
一
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.
怎样测出
OA 的长？
解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF.
又 ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF.
∴ ，
∴
=134 (m).
因此金字塔的高度为
134 m.
表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
测高方法一：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
归纳：
1.如图，要测量旗杆 AB 的
高度，可在地面上竖一根竹
竿 DE，测量出 DE 的长以
及 DE 和 AB在同一时刻下
地面上的影长即可，则下面
能用来求AB长的等式是( )
A． B．
C． D．
C
练一练
2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC =2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是______米．
8
A
F
E
B
O
┐
┐
还可以有其他测量方法吗？
OB
EF
=
OA
AF
△ABO∽△AEF
OB =
OA · EF
AF
平面镜
想一想：
测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得
BP = 3 米，DP = 12
米，那么该古城墙
的高度是 ( )
6米 B. 8米
C. 18米 D. 24米
B
试一试：
例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线。分别过Q和S作PS的垂线a和b，在垂线a上截取线段ST，在垂线b上取点R，使得P,R,T三点在一条直线上。 已知
测得QS = 45 m，
ST = 90 m，
QR = 60 m，
请根据这些数据，
计算河宽 PQ.
利用相似三角形测量宽度
二
P
R
Q
S
b
T
a
PQ×90 = (PQ+45)×60.
解得 PQ = 90.
因此，河宽大约为 90 m.
解：∵∠PQR =∠PST =90°，∠P=∠P，
∴△PQR∽△PST.
P
R
Q
S
b
T
a
∴ ，
即 ，
还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？
45m
90m
60m
例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使
EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．
此时如果测得 BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离 AB．
E
A
D
C
B
60m
50m
120m
解：∵ ∠ADB＝∠EDC，
∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴ △ABD∽△ECD.
∴ ，即 ，
解得 AB = 100.
因此，两岸间的大
致距离为 100 m.
E
A
D
C
B
60m
50m
120m
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
归纳：
例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了
利用相似解决有遮挡物问题
三
分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到 C 点了.
由此可知，如果观察者继续前进，
当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树
的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼
睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条
直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH∽△CEK.
∴ ，
即
解得 EH=8.
AB = 8 m ， CD = 12 m， BD = 5 m，HB=KD= 1.6 m，求EH小于何值时，视线看不到C点。
1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高度应为( )
A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米
当堂练习
2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( )
A. 0.5m B. 0.55m C. 0.6m D . 2.2m
A
A
3. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD＝5 m，AD＝15m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为 m.
A
B
E
D
C
20
4. 如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA 的长度为 .
12 cm
5. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米，EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米，到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度.
A
B
C
D
G
E
F
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，
则
解得：AC = 10，
故 AB = AC + BC
= 10 + 1.5 = 11.5 (m).
答：旗杆的高度为 11.5 m.
∴
A
B
C
D
G
E
F
6. 如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面
长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助小明求出旗杆的高度．
A
B
C
D
E
解：如图：过点 D 作 DE∥BC，交 AB 于点 E，
∴ DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m，
∵ 在同一时刻物高与影长成正比例，
∴ EA : ED=1 : 1.2，
∴ AE = 8 m，
∴ AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)，
∴ 学校旗杆的高度为 10 m.
A
B
C
D
方法一：
解：如图：延长A D 交BC于点E，
∵ 在同一时刻物高与影长成正比例，
∴ DC : CE=1 : 1.2
∴CE=2.4
∵ DC∥AB
∴ △EDC∽△EAB
∴ EC : EB=CD: AB，
∴
∴ 学校旗杆的高度为 10 m.
A
B
C
D
E
方法二：
相似三角形的应用举例
利用相似三角形测量高度
课堂小结
利用相似三角形测量宽度
利用相似解决有遮挡物问题
谢谢
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