(共34张PPT)
27.3平面直角坐标系中的位似
人教版九年级下册
1. 理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之
间的联系．
2. 会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换，掌握
把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变
化的规律. (重点、难点)
3. 了解四种图形变换 (平移、轴对称、旋转和位似) 的
异同，并能在复杂图形中找出来这些变换.
学习目标
复习引入
两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做 ,这个交点叫做 ．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ,
对应线段 .
2. 如何判断两个图形是不是位似图形
位似图形
位似中心
相似比 (或位似比)
平行或者在一条直线上
3. 画位似图形的一般步骤有哪些？
4. 基本模型：
我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (中心对称). 那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？
平面直角坐标系中的位似变换
一
在平面直角坐标系中，有两点 A (6，3)，
B (6，0)．以原点 O 为位似中心，
相似比为 ，把线段 AB 缩小，观察对应点
之间坐标的变化.
合作探究
2
4
6
4
6
B'
－2
－4
－4
x
y
A
B
A'
A"
B"
O
如图，把 AB 缩小后 A，B 的对应点为
A′ ( ， )，
B' ( ， )；
A" ( ， )，
B" ( ， ).
2
1
2
0
－2
－1
－2
0
2. △ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，3)，B (2，1)，C (5，2)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化.
2
4
6
4
6
－2
－4
－4
x
y
A
B
2
8
10
C
－2
－6
－8
－10
－8
B'
A'
C'
A"
B"
C"
如图，把 △ABC 放大后 A，B，C 的对应点为
A‘ ( ， )，B’ ( ， )，C‘ ( ， )A" ( ， )，B" ( ， )，C" ( ， ).
4
6
4
2
10
4
－4
－6
－4
－2
－10
－4
问题1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？
△ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，3)，B (2，1)，C (5，2)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化.
A (2，3)， A‘ ( 4 ，6 )
B (2，1)， B’ ( 4 ，2 )
C (5，2)， C‘ ( 10 ，4 )
问题2： 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？
△ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，3)，B (2，1)，C (5，2)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化.
A (2，3)， A“ (-4，-6 )
B (2，1)， B" (-4 ，-2 )
C (5，2)， C“(-10，-4 )
问题3：如果所作位似图形与原图形在原点的异侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？
1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个．
2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k．
3. 当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；
当 0＜k＜1时，图形缩小为原来的 k 倍．
归纳：
1. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A (4，4)，B (6，2)，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 1/2 后得到线段 CD，则端点 D 的坐标为( )
A. (2，2) B. (2，1)
C. (3，2) D. (3，1)
练一练
D
x
y
A
B
C
D
2. △ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似图形 △A′B′C′ 三个顶点分别为
A′ (1，2)，B′ (2， )，C′ ( ， )，
则 △A′B′C′ 与 △ABC 的位似比是 .
1 : 3
典例精析
例1 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (－2，4)，
B (－2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为 3 : 2.
2
4
6
2
－2
－4
x
y
A
B
O
2
4
6
2
－2
－4
x
y
A
B
O
提示：画三角形关键是确定它各顶点的坐标. 根据前面的归纳可知，点 A 的对应点 A′ 的坐标为
，
即(－3，6),类似地，
可以确定其他顶点的坐标.
解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ (－3，6)，B′ (－3，0)，O (0，0).
A′
B′
顺次连接点 A′ ，B′ ，O，所得的 △A′ B′ O 就是要画的一个图形.
还有其他画法吗？自己试一试.
在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形，使它与四边形 OABC 的相似是 2 : 3.
练一练
O
C
解：画法一：将四边形 OABC 各顶点
的坐标都乘 ；在平面直角坐标系中描点
O (0,0)，A' (4，0)，B' (2，4)，
C′ (－2，2)，用线段顺次连接O，A'，B'，C'.
2
4
6
4
6
B'
－2
－4
－4
x
y
A
B
A'
C'
画法二：将四边形 OABC 各顶点
的坐标都乘 ；在平面直角坐标系中描点
O (0，0)，
A″ (－4，0)，
B″ (－2，－4)，C″ (2，－2)，用线段顺次连接O，A″，B″，C″.
O
C
2
4
6
4
6
B″
－2
－4
－4
x
y
A
B
A″
C″
平面直角坐标系中的图形变换
二
至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在右图所示的图案中，你能找到这些变换吗？
将图中的 △ABC 做下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．
(1) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度；
(2) 关于 x 轴对称；
(3) 以 C 为位似中心，
将△ABC 放大2倍；
(4) 以 C 为中心，
将△ABC 顺时针旋
转180°．
练一练
x
y
A
B
C
1. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是 ( )
A. 将各点的纵坐标乘以 2，横坐标不变
B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变
C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘以 2
D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2
C
当堂练习
2. 如图，小朋在坐标系中以A为位似中心画了两个位似的直角三角形，可不小心把 E 点弄脏了，则 E 点坐标为 ( )
A．(4，－3) B．(4，－2)
C．(4，－4) D．(4，－6)
A
3. 如图所示，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 (a，b) 对应大鱼上的点 .
(－2a，－2b)
4. 原点 O 是 △ABC 和 △A′B′C′ 的位似中心，点 A (1，0) 与点 A′ (－2，0) 是对应点，
△ABC 的面积是 ，则 △A′B′C′ 的面积是 .
6
5. 如图，正方形 ABCD 和正方形 OEFG 中，点 A 和点 F 的坐标分别为 (3，2)，
(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是___________________．
(1，0) 或 (－5，－2)
x
6. △ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，－2)，B (4，－5)，C (5，－2)，以原点 O 为位似中心，将这个三角形放大为原来的 2 倍．
A"
B"
C"
C
2
4
6
－4
x
y
A
B
2
－2
答案：
A' (4，－4)，
B' (8， －10)，
C' (10，－4)；
B'
A'
C'
A″ (－4，4)，
B″ (－8，10)，
C″ (－10，4).
以点 M 为位似中心，位似比为 2，画出
△ABC的位似图形△A′B′C′，
7. 在 13×13 的网格图中，已知 △ABC 和点 M (1，2).
x
y
A
B
C
M
A′
B′
C′
解：如图所示.
(2) 写出△A′B′C′
的各顶点坐标.
答：△A′B′C′ 的各顶点坐标分别为 A′ (3，6)，
B′ (5，2)，
C′ (11，4).
8. 如图，点 A 的坐标为 (3，4)，点 O 的坐标为
(0，0)，点 B 的坐标为 (4，0).
4
x
y
A
B
4
3
(1) 将 △AOB 沿 x 轴向左平移
1 个单位长度后得△A1O1B1，
则点 A1 的坐标为 ，
△A1O1B1的面积为 ；
(2，4)
8
(2) 将 △AOB 绕原点旋转 180°
后得 △A2O2B2，则点 A2 的
坐标为 ；
(－3，－4)
(3) 将 △AOB 沿 x 轴翻折后得 △A3O3B3，则点 A3 的坐标为 ；
(4) 以 O 为位似中心，按比例尺 2 : 1 将 △AOB 放大后得 △A4O4B4，若点 B 在 x 轴负半轴上，则点 A4的坐标为 ，△A4O4B4的
面积为 .
4
x
y
A
B
4
3
(3，－4)
(－6，－8)
32
平面直角坐标系中的位似
平面直角坐标系中的位似变换
课堂小结
坐标变化规律
平面直角坐标系中的位似图形的画法
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin中小学教育资源及组卷应用平台
2022—2023学年度下学期九年级数学教学案 第3 周 第4节
课题 27.3 第2课时 平面直角坐标系中的位似
教学目标 知识与技能：理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之间的联系过程与方法：会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律情感态度与价值观：
重点 会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换
难点 点的坐标变化的规律
教具 多媒体、教学案
教与学的过程 教与学的过程教与学的过程 教 与 学 的 内 容
复习引入1.两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做 ,这个交点叫做 ．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ,对应线段 . 2. 如何判断两个图形是不是位似图形 3. 画位似图形的一般步骤有哪些？ 4. 基本模型： 我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (中心对称). 那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？平面直角坐标系中的位似变换合作探究1.在平面直角坐标系中，有两点 A (6，3)， B (6，0)．以原点 O 为位似中心， 相似比为 1:3，把线段 AB 缩小，观察对应点 之间坐标的变化.2. △ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，3)，B (2，1)，C (5，2)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化.如图，把 △ABC 放大后 A，B，C 的对应点为 A‘ ( ， )，B’ ( ， )，C‘ ( ， )A" ( ， )，B" ( ， )，C" ( ， ). 问题1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？问题2 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？ 归纳： 1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个．2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k．3. 当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍； 当 0＜k＜1时，图形缩小为原来的 k 倍． 练一练如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A (4，4)，B (6，2)，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 1/2 后得到线段 CD，则端点 D 的坐标为( )A. (2，2) B. (2，1) C. (3，2) D. (3，1)2. △ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似图形 △A′B′C′ 三个顶点分别为 A′ (1，2)，B′ (2， )，C′ ( ， )，则 △A′B′C′ 与 △ABC 的位似比是 .典例精析例1 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (－2，4)， B (－2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为 3 : 2.练一练在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形，使它与四边形 OABC 的相似是 2 : 3.平面直角坐标系中的图形变换至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在右图所示的图案中，你能找到这些变换吗？练一练将图中的 △ABC 做下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．(1) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度；(2) 关于 x 轴对称；(3) 以 C 为位似中心， 将△ABC 放大2倍；(4) 以 C 为中心， 将△ABC 顺时针旋转180°． 当堂练习 1. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是 ( ) A. 将各点的纵坐标乘以 2，横坐标不变 B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变 C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘以 2 D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2 2. 如图，小朋在坐标系中以A为位似中心画了两个位似的直角三角形，可不小心把 E 点弄脏了，则 E 点坐标为 ( )A．(4，－3) B．(4，－2) C．(4，－4) D．(4，－6) 3. 如图所示，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 (a，b) 对应大鱼上的点 4. 原点 O 是 △ABC 和 △A′B′C′ 的位似中心，点 A (1，0) 与点 A′ (－2，0) 是对应点， △ABC 的面积是 ，则 △A′B′C′ 的面积是 .5. 如图，正方形 ABCD 和正方形 OEFG 中，点 A 和点 F 的坐标分别为 (3，2)， (－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是___________________．6. △ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，－2)，B (4，－5)，C (5，－2)，以原点 O 为位似中心，将这个三角形放大为原来的 2 倍．7. 在 13×13 的网格图中，已知 △ABC 和点 M (1，2). 以点 M 为位似中心，位似比为 2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′，（2）写出△A′B′C′ 的各顶点坐标. 8. 如图，点 A 的坐标为 (3，4)，点 O 的坐标为(0，0)，点 B 的坐标为 (4，0). (1) 将 △AOB 沿 x 轴向左平移 1 个单位长度后得△A1O1B1，则点 A1 的坐标为 ，△A1O1B1的面积为 ；(2) 将 △AOB 绕原点旋转 180°后得 △A2O2B2，则点 A2 的坐标为 ；(3) 将 △AOB 沿 x 轴翻折后得 △A3O3B3，则点 A3 的坐标为 ；(4) 以 O 为位似中心，按比例尺 1 : 2 将 △AOB 放大后得 △A4O4B4，若点 B 在 x 轴负半轴上，则点 A4的坐标为 ，△A4O4B4的面积为 .
课后小结
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
