第27章相似三角形复习 课件（共49张PPT）
文档属性
| 名称 | 第27章相似三角形复习 课件（共49张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-26 20:54:15 | ||
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文档简介
(共49张PPT)
第27章相似三角形复习
人教版九年级下册
相似图形的概念
一
形状相同的图形叫做相似图形.
相似图形的大小不一定相同.
归纳：
A
B
C
A′
B′
C′
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. △ABC与△A′B′C′ 相似记作“△ABC∽△A′B′C′”.
相似多边形与相似比
三
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形的对应边的比叫作
相似比.
相似比：
相似多边形的特征：
相似多边形的定义：
归纳：
…
a1
a2
a3
an
同理，任意两个正方形都相似.
归纳：
任意两个边数相等的正多边形都相似.
a1
a2
a3
an
…
例1 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角α，β的大小和EH的长度 x.
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言：
若a∥b∥ c ，则
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
a
平行线分线段成比例（基本事实）
一
1. 如何理解“对应线段”？
2.“对应线段”成比例都有哪些表达
形式？
想一想：
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中
错误的是 （ ）
A. B.
C. D.
D
练一练
A
C
E
B
D
F
l2
l1
l3
如图，直线a∥b∥ c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，
平行线分线段成比例定理的推论
二
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
m
n
a
观察与思考
把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
直线 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
( )
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
( )
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
归纳：
如图，DE∥BC， ，则 ；
FG∥BC， ，则 .
练一练
A
B
C
E
D
F
G
例1 如图，在△ABC中， EF∥BC.
(1) 如果E、F分别是 AB 和 AC 上的点， AE = BE=7， FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？
A
B
C
E
F
典例精析
解：∵
∴
解得 AF = 4.
(2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么 FC 的长是多少？
A
B
C
E
F
解：∵
∴
解得 AC = .
∴ FC = AC－AF = .
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
B
C
A
D
E
相似三角形的引理
三
判定三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
问题3 你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
B
C
A
D
E
三角形相似的两种常见类型：
“A ”型
“X ”型
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
1. 已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似三角形.
3
练一练
C
D
A
B
E
F
O
相似具有传递性
2. 若 △ABC 与 △A′B′C′ 相似，一组对应边的长为AB =3 cm，A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与△ABC 的相似比是_____.
4︰3
3. 若 △ABC 的三条边长的比为3cm，5cm，6cm，与其相似的另一个 △A′B′C′ 的最小边长为12 cm，那么 A′B′C′ 的最大边长是______.
24 cm
利用三边判定三角形相似的定理：
三边成比例的两个三角形相似．
∵ ，
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
符号语言：
三边成比例的两个三角形相似
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
A
B
C
3
3.5
4
D
F
E
1.8
2.1
2.4
方法总结：判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.
注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，
∠C =∠C ′= 90°，且
求证：△ A′B′C′∽△ABC.
利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵ ∠A=∠A′，
B
A
C
B'
A'
C'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
对于△ABC和 △A′B′C′，如果
A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠C= ∠C′，这两个三角形一定会相似吗？
不会，如下图，因为构造的三角形的形状不是唯一的.
A
B
C
思考：
A′
B′
B″
C′
结论：
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
例 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上
的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长.
A
C
B
E
D
例 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ∠ACB=90°．
A
B
C
D
方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
利用两组角判定两个三角形相似的定理：
两角分别相等的两个三角形相似.
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
符号语言：
C
A
B
A'
B'
C'
两角分别相等的两个三角形相似
一
例 如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA · PB=PC · PD.
O
D
C
B
A
P
1. 如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA=3，PB = 8，PC = 4，则 PD = .
6
O
D
C
B
A
P
∴
解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90 ° .
又∠C=90 °，∠A=∠A，
∴ △AED ∽△ABC.
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.
D
A
B
C
E
∴
判定直角三角形相似的方法：
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
判定两个直角三角形相似
二
有两组直角边成比例的两个直角三角形相似
在Rt △ABC 和Rt △A’B’C’中，
判定直角三角形相似的方法：
斜边和一直角边成比例的两个
直角三角形相似.
例3 如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC相似．
C
A
B
D
2
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.
(1) ∠A=35°,∠B′=55°： ；
(2) AC=3,BC=4,A′C′=6,B′C′=8： ；
(3) AB=10,AC=8,A′B′=25,B′C′=15： .
练一练
相似
相似
相似
类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.
相似三角形对应高的比等于相似比.
相似三角形对应线段的比等于相似比.
相似三角形对应线段的比
一
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
数学语言
解：∵ △ABC ∽△DEF，
D
E
F
H
例1 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC和 △DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4cm，BG= 4.8 cm. 求 EH 的长.
∴ (相似三角形对应
角平分线的比等于相似比)，
∴ ，解得 EH = 3.2.
A
G
B
C
∴ 故 EH 的长为 3.2 cm.
如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么
因此
AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
从而
相似三角形的周长比也等于相似比
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
相似三角形面积的比
二
1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：
相似比 2 k ……
周长比 ……
面积比 10000 ……
试一试：
2
4
100
100
k
k2
2. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm，
(1) 它们的周长差 60 cm，这两个三角形的周长分别是________________；
(2) 它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面积分别是______________.
100 cm、40 cm
50 cm2、8 cm2
解：在 △ABC 和 △DEF 中，
∵ AB=2DE，AC=2DF，
又 ∵∠D=∠A，
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2.
A
B
C
D
E
F
例2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.
∴
即：
A
B
C
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，
∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3，
面积为
D
E
F
谢谢
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第27章相似三角形复习
人教版九年级下册
相似图形的概念
一
形状相同的图形叫做相似图形.
相似图形的大小不一定相同.
归纳：
A
B
C
A′
B′
C′
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. △ABC与△A′B′C′ 相似记作“△ABC∽△A′B′C′”.
相似多边形与相似比
三
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形的对应边的比叫作
相似比.
相似比：
相似多边形的特征：
相似多边形的定义：
归纳：
…
a1
a2
a3
an
同理，任意两个正方形都相似.
归纳：
任意两个边数相等的正多边形都相似.
a1
a2
a3
an
…
例1 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角α，β的大小和EH的长度 x.
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言：
若a∥b∥ c ，则
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
a
平行线分线段成比例（基本事实）
一
1. 如何理解“对应线段”？
2.“对应线段”成比例都有哪些表达
形式？
想一想：
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中
错误的是 （ ）
A. B.
C. D.
D
练一练
A
C
E
B
D
F
l2
l1
l3
如图，直线a∥b∥ c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，
平行线分线段成比例定理的推论
二
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
m
n
a
观察与思考
把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
直线 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
( )
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
( )
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
归纳：
如图，DE∥BC， ，则 ；
FG∥BC， ，则 .
练一练
A
B
C
E
D
F
G
例1 如图，在△ABC中， EF∥BC.
(1) 如果E、F分别是 AB 和 AC 上的点， AE = BE=7， FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？
A
B
C
E
F
典例精析
解：∵
∴
解得 AF = 4.
(2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么 FC 的长是多少？
A
B
C
E
F
解：∵
∴
解得 AC = .
∴ FC = AC－AF = .
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
B
C
A
D
E
相似三角形的引理
三
判定三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
问题3 你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
B
C
A
D
E
三角形相似的两种常见类型：
“A ”型
“X ”型
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
1. 已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似三角形.
3
练一练
C
D
A
B
E
F
O
相似具有传递性
2. 若 △ABC 与 △A′B′C′ 相似，一组对应边的长为AB =3 cm，A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与△ABC 的相似比是_____.
4︰3
3. 若 △ABC 的三条边长的比为3cm，5cm，6cm，与其相似的另一个 △A′B′C′ 的最小边长为12 cm，那么 A′B′C′ 的最大边长是______.
24 cm
利用三边判定三角形相似的定理：
三边成比例的两个三角形相似．
∵ ，
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
符号语言：
三边成比例的两个三角形相似
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
A
B
C
3
3.5
4
D
F
E
1.8
2.1
2.4
方法总结：判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.
注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，
∠C =∠C ′= 90°，且
求证：△ A′B′C′∽△ABC.
利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵ ∠A=∠A′，
B
A
C
B'
A'
C'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
对于△ABC和 △A′B′C′，如果
A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠C= ∠C′，这两个三角形一定会相似吗？
不会，如下图，因为构造的三角形的形状不是唯一的.
A
B
C
思考：
A′
B′
B″
C′
结论：
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
例 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上
的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长.
A
C
B
E
D
例 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ∠ACB=90°．
A
B
C
D
方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
利用两组角判定两个三角形相似的定理：
两角分别相等的两个三角形相似.
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
符号语言：
C
A
B
A'
B'
C'
两角分别相等的两个三角形相似
一
例 如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA · PB=PC · PD.
O
D
C
B
A
P
1. 如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA=3，PB = 8，PC = 4，则 PD = .
6
O
D
C
B
A
P
∴
解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90 ° .
又∠C=90 °，∠A=∠A，
∴ △AED ∽△ABC.
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.
D
A
B
C
E
∴
判定直角三角形相似的方法：
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
判定两个直角三角形相似
二
有两组直角边成比例的两个直角三角形相似
在Rt △ABC 和Rt △A’B’C’中，
判定直角三角形相似的方法：
斜边和一直角边成比例的两个
直角三角形相似.
例3 如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC相似．
C
A
B
D
2
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.
(1) ∠A=35°,∠B′=55°： ；
(2) AC=3,BC=4,A′C′=6,B′C′=8： ；
(3) AB=10,AC=8,A′B′=25,B′C′=15： .
练一练
相似
相似
相似
类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.
相似三角形对应高的比等于相似比.
相似三角形对应线段的比等于相似比.
相似三角形对应线段的比
一
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
数学语言
解：∵ △ABC ∽△DEF，
D
E
F
H
例1 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC和 △DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4cm，BG= 4.8 cm. 求 EH 的长.
∴ (相似三角形对应
角平分线的比等于相似比)，
∴ ，解得 EH = 3.2.
A
G
B
C
∴ 故 EH 的长为 3.2 cm.
如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么
因此
AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
从而
相似三角形的周长比也等于相似比
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
相似三角形面积的比
二
1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：
相似比 2 k ……
周长比 ……
面积比 10000 ……
试一试：
2
4
100
100
k
k2
2. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm，
(1) 它们的周长差 60 cm，这两个三角形的周长分别是________________；
(2) 它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面积分别是______________.
100 cm、40 cm
50 cm2、8 cm2
解：在 △ABC 和 △DEF 中，
∵ AB=2DE，AC=2DF，
又 ∵∠D=∠A，
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2.
A
B
C
D
E
F
例2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.
∴
即：
A
B
C
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，
∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3，
面积为
D
E
F
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