3.1.1椭圆及其标准方程 同步练习（含解析）

3.1.1椭圆及其标准方程
一、单选题
1. 椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为( )
A. B. 8 C. D. 4
2. P是椭圆上一点，且，则( )
A. 1 B. 3 C. 5 D. 9
3. 椭圆的焦点坐标是( )
A. B.
C. D.
4. 焦点在x轴上，长半轴长为，短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
5. 椭圆和具有 ( )
A. 相同的离心率． B. 相同的焦点． C. 相同的顶点． D. 相同的长、短轴．
6. 与圆A：内切且与圆B：外切的动圆圆心的轨迹为( )
A. 圆 B. 线段 C. 椭圆 D. 双曲线
7. 已知椭圆的左焦点是，右焦点是，点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么：( )
A. 3：5 B. 3：4 C. 4：3 D. 5：3
8. 如图，椭圆的上顶点、左顶点、左焦点分别为B、A、F，中心为O，其离心率为，则 ( )
A. B. C. D.
9. 已知椭圆的右焦点为F，点为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题
10. 椭圆的焦距为2，则__________.
11. 椭圆两焦点之间的距离为__________.
12. 设，为椭圆C：的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则M的坐标为__________.
13. 已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则直线PF的斜率是__________.
14. 已知点P在椭圆方程上，点A坐标为，则的取值范围为__________.
15. 设AB是椭圆的长轴，若把AB分成10等分，依次过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于、、为椭圆的左焦点，则的值__________.
三、解答题
16. 求适合下列条件的曲线的标准方程：
与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆标准方程；
经过点，的双曲线标准方程．
17. 已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点，
若为等边三角形，求C的离心率；
如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
解：因为，
所以椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为
故选

2.【答案】A
解：由椭圆的方程为，可化为，
是椭圆上一点，
根据椭圆的定义可得：，
故选

3.【答案】B
解：根据题意，椭圆的标准方程为，
则其焦点在x轴上，且，
则椭圆的焦点坐标为和，
故选

4.【答案】B
解：由题可设椭圆方程为，
所以，，，
故椭圆方程为：
故答案选：

5.【答案】A
解：若，
椭圆的焦点为，顶点为，，长轴长为2a，短轴长为2b，
离心率为；
椭圆的焦点为，顶点为，，长轴长为，短轴长为，
离心率为，
所以两个椭圆的离心率相同．
同理可得当时，两个椭圆的离心率相同.
故选

6.【答案】C
解：圆A：可化为，
所以圆A的圆心坐标，半径，
圆B：可化为，
所以圆B的圆心坐标，半径，
设动圆圆心P，半径为R，
由题意可得：， ，
于是，
故动圆圆心的轨迹为椭圆．
故选

7.【答案】A
解：是的中点，
平行y轴，即垂直于x轴，
，
，
设，根据椭圆定义可知，
，解得：，
，，
：：
故选：

8.【答案】A
解：由题意，椭圆的上顶点、左顶点、左焦点分别为B、A、F，中心为O，其离心率为，
则，，
所以
故选

9.【答案】A
解：由题知椭圆 C的右焦点为，设左焦点为，
由椭圆的定义可得，即，
可得
由可得，
解得，所以
又因为点A在椭圆C内，所以，
所以，解得或
综上，实数m的取值范围是
故选

10.【答案】5或3
解：由题意可得焦距，，
当椭圆焦点在x轴上时，有，则，
当椭圆焦点在y轴上时，有，则，
所以m的取值为5或
故答案为：5或

11.【答案】
解：根据题意，椭圆的方程为：，
其焦点坐标为，
则两焦点之间的距离为，
故答案为：

12.【答案】
解：设，，
由椭圆C：可得，，，，
则取，
由于M为C上一点且在第一象限，可得，
为等腰三角形，可能或，
所以或，
解得，
所以
故答案为

13.【答案】
解：椭圆的，，，
设椭圆的右焦点为，连接，
线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆上，
连接AO，可得，
中，，，，
由余弦定理得
，
，
，即直线PF的斜率为
故答案为

14.【答案】
解：设，则，
又在椭圆 ，
，其中，
关于x的二次函数，开口向上，它的对称轴是，
根据二次函数的性质，
可知：当时，取得最小值；当时，取得最大值
所以，的取值范围是，
故答案为：

15.【答案】44
解：是椭圆的左焦点，不妨令右焦点为，
分别连接点与，，…九个点，
根据对称性易知当时有：，其中i、…，，
由椭圆定义可知：，…，，
…，
即…，
又，
故答案为

16.【答案】解：椭圆的焦点坐标为，
椭圆过，
，
，，
椭圆的标准方程为；
设双曲线方程为，
点，在双曲线上，
解之得
双曲线方程为
17.【答案】解：连接，由为等边三角形可知在中，
，，，于是，
故曲线C的离心率
由题意可知，满足条件的点存在当且仅当：
，，，
即①
②
③
由②③及得，又由①知，故，
由②③得，所以，
从而，故，
当，时，存在满足条件的点
所以，a的取值范围为
第13页，共13页