3.1.2椭圆的简单几何性质 第一课时 同步练习（含解析）

3.1.2椭圆的简单几何性质（1）
单选题
1. 椭圆的长轴长为( )
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
2. 椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
3. 已知焦点在x轴上的椭圆C：的焦距为4，则C的离心率( )
A. B. C. D.
4. 已知椭圆的离心率为，则( )
A. B. C. D.
5. 已知椭圆C：的一个焦点为，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
6. 已知椭圆的焦点在x轴上，，是椭圆短轴的两个端点，F是椭圆的一个焦点，且，则( )
A. B. 6 C. 12 D. 16
二、多选题
7. 如图所示，一个底面半径为3的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是( )
A. 椭圆的长轴长为 B. 椭圆的离心率为
C. 椭圆的离心率为 D. 椭圆的一个方程可能为
8. 以下是关于圆锥曲线的四个命题中真命题为
A. 设A，B为两个定点，k为非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线；
B. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
C. 双曲线与椭圆有相同的焦点；
D. 以过抛物线的焦点的一条弦PQ为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切
9. 如图，椭圆I与II有公共的左顶点与左焦点，且椭圆II的右顶点为椭圆I的中心，设椭圆I与II的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为和，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 设椭圆的左、右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是
A. 离心率 B. 的最大值为3
C. 面积的最大值为 D. 的最小值为2
三、填空题
11. 已知a，b，c分别是椭圆E的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于x的方程无实根，则椭圆E的离心率e的取值范围是__________.
12. 如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜角母线与竖直方向所成角后，液面呈椭圆形，当时，该椭圆的离心率为__________
13. 已知椭圆的左焦点是点F，过原点倾斜角为的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若，则椭圆C的离心率是__________.
14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为__________.
四、解答题
15. 已知椭圆C：，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为
求椭圆C的离心率；
若点在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求面积的最大值．
16. 已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点，
若为等边三角形，求C的离心率；
如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
解：椭圆的长轴长
故选：

2.【答案】C
解：由椭圆，得，
，
，，
即
故选

3.【答案】C
解：椭圆C：的焦点在x轴上，且焦距为4，
，，
，，
故选

4.【答案】B
解：由题意，，得，则，
，即
故选

5.【答案】C
解：椭圆C：的一个焦点为，
可得，解得，
，
故选

6.【答案】C
解：椭圆的焦点在x轴上，
，，，
则，，，
，，
则，
即，则，
得，得，
故选：

7.【答案】ABD
解：由题意易知椭圆的短半轴，
截面与底面所成的角为，
椭圆的长轴长为，
，，
离心率为，，
当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为x轴，短轴为y轴时，
则椭圆的方程为
故选

8.【答案】BCD
解：A不正确，若动点P的轨迹为双曲线，则要小于A、B两个定点间的距离，当大于A、B两个定点间的距离时，动点P的轨迹不是双曲线；
B正确，方程的两根分别为和2，和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率，
C正确，双曲线与椭圆有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为，
D正确，不妨设抛物线为：，即抛物线位于y轴的右侧，以x轴为对称轴，
设过焦点F的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d，而P到准线的距离，Q到准线的距离，
又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有，
则 半径，
所以圆心M到准线的距离等于半径，所以圆与准线相切.
故选

9.【答案】ABD
解：由题可知，且，，
，A正确；
，故B正确；
又，即，，故C错误；
，即，故D正确.
故选

10.【答案】AD
解：对于A选项，依题意 ，所以 ，故 A正确；
对于B选项，的最大值为，故B错误；
对于选项C，面积的最大值为，故C错误；
对于D选项，设，因为，
所以
，
当时，的最小值为2，故D正确.
故答案选：

11.【答案】
解：由关于x的方程无实根，则，
即，
故，
解得或， 而，
故答案为

12.【答案】
解：设圆柱形杯子的底面半径为b，画示意图如图所示：
则OC是椭圆的长半轴长，OB是椭圆的短半轴长，则，
又，则
故答案为：

13.【答案】
解：由题意，椭圆的左焦点为，过原点倾斜角为的直线l：，
不妨设，椭圆右焦点，作出图形如下所示：
因为椭圆C关于原点对称，易知四边形为平行四边形，
又，所以，
所以的面积为，
根据焦点三角形面积公式可知，，
所以，即得，①
又点在椭圆C上，即得，
所以，②
由①②可得，
又，，
所以上式可化为，
解得舍去
故答案为

14.【答案】
解：在中，由正弦定理得
，
则由已知得，
即，
又由，
所以，
由椭圆的几何性质知，即
所以，
所以，
解得或，
又，
故椭圆的离心率，
故答案为

15.【答案】解：由题意，得，
则，结合，得，即，
，解得
所以椭圆C的离心率为
由得，则
将代入椭圆方程，解得
所以椭圆方程为
易得直线OM的方程为
当直线l的斜率不存在时，AB的中点不可能在直线上，故直线l的斜率存在．
设，，直线l的方程为，
联立，得，
当时，
则，
由，
得AB的中点，
因为N在直线上，
所以，解得
所以，得，且，
又原点O到直线l的距离，
所以
当且仅当，时等号成立，符合，且
所以面积的最大值为：
16.【答案】解：连接，由为等边三角形可知在中，
，，，于是，
故曲线C的离心率
由题意可知，满足条件的点存在当且仅当：
，，，
即①
②
③
由②③及得，又由①知，故，
由②③得，所以，
从而，故，
当，时，存在满足条件的点
所以，a的取值范围为
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