3.1.2椭圆的简单几何性质 第二课时 同步练习（含解析）

3.1.2椭圆的简单几何性质（2）
一、单选题
1. 已知点是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的斜率为( )
A. B. C. D. 2
2. 过椭圆中心的直线交椭圆于两点，右焦点为，则的最大面积是( )
A. ab B. ac C. bc D.
3. 已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且轴，直线AB交y轴于点P，若，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
4. 过椭圆的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则的值为( )
A. B. C. 1 D.
二、多选题
5. 已知椭圆的左、右焦点为，O为坐标原点，直线过交C于两点，若的周长为8，则( )
A. 椭圆焦距为； B. 椭圆方程为；
C. 弦长； D.
6. 已知直线l：被椭圆C：截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有( )
A. B. C. D.
7. 画法几何的创始人-法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，A，B为椭圆上两个动点．直线l的方程为下列说法正确的是( )
A. C的蒙日圆的方程为
B. 对直线l上任意点P，
C. 记点A到直线l的距离为d ，则的最小值为
D. 若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积的最大值为
三、填空题
8. 已知点，在椭圆C：上，则椭圆C的方程为__________，若直线交椭圆C于M，N两点，则__________.
9. 已知点，椭圆上两点A，B满足，则当___________时，点B横坐标的绝对值最大．
10. 过点的直线l与椭圆交于点A和B，且点Q满足，若O为坐标原点，则的最小值为__________.
11. 已知椭圆，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线对称，则实数m的取值范围是__________.
四、解答题
12. 已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为
求双曲线C的方程．
经过点作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长．
设椭圆C：的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为
当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
设O为坐标原点，证明：
已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为
求椭圆C的方程；
设过定点的直线l与中的椭圆C交于不同的两点A、B，且为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．
15. 已知椭圆的离心率为，，，，的面积为
求椭圆C的方程;
设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点P，直线与直线交于点求证：为等腰三角形.
16. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的长轴长为过左顶点A且倾斜角为的直线与椭圆的另一个交点为B，与y轴交于点C，且
求椭圆的标准方程；
过点且不与x轴重合的直线交椭圆于点，连接NO并延长交AM于点若，求实数的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
解：设直线l与椭圆相交于两点，
代入椭圆方程可得，，
两式相减得，
，，，
，解得
故选

2.【答案】C
解：设，则，
的面积是，
当最大时，的面积S取最大值，
所以直线AB与x轴垂直时，的面积S取最大值，
则的面积的最大值为
故选

3.【答案】B
解： 由题意，可设，
设，，，，
，，
，
，
故选

4.【答案】D
解：由椭圆，得椭圆的右焦点为，
当直线AB的斜率不存在时，AB：，
则CD：此时，，
则；
同理易得当直线AB的斜率为0时，；
当直线AB的斜率存在且不为0时，
设AB：，则 CD：
又设点，
联立方程组，
消去y并化简得，
，
，
由题知，直线CD的斜率为，
同理可得
为定值．
故选

5.【答案】BC
解：直线过，得，即，椭圆焦距为，故A错误；
的周长为8，根据椭圆定义得的周长为4a，所以，得，
所以，所以椭圆方程为，故B正确；
联立得，，
所以，故C正确；
O到直线的距离，
所以故D错误，
故选

6.【答案】ACD
解：由于直线l：被椭圆截得的弦长为7，
根据对称性可得：，，满足条件．
直线被椭圆C截得的弦长不为
综上可得：下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有
故选
7.【答案】AD
解：当与一个斜率为0，另一个斜率不存在时，易知交点，
当与的斜率均不为0时，可设且，
因为过P点的切线方程为，
所以联立得
，
因为l与椭圆相切，所以，
整理得①，
而与即为①式的两根，
，
，
所以蒙日圆的方程为，
，
所以蒙日圆的方程为，故A正确;
B.直线过定点，
而刚好在蒙日圆上，过 M做椭圆的两条切线，切点为 A， B，
由蒙日圆的定义知，故 B错误；
C.点A在椭圆上，，
的最小值为到到l的距离，
而到l的距离为，
，
的最小值为，故 C错误.
D.因为矩形MNGH的四条边均与C相切，所以矩形MNGH为C的素日圆的内接矩形，
设长为m，宽为n，蒙日圆半径为R，，则，
，当且仅当时等号成立，故D正确.
故选

8.【答案】
解：由题意可知：椭圆C：上，由点，，焦点在x轴上，
则，，
椭圆的标准方程：；
设，，
则，消去y，整理得，
则，，，，
则
故答案为：；

9.【答案】5
解：设，，
由，，
可得，，
即有，，
又，
即为，①
又，②
①-②得，
可得，
解得，，
则，
即有
，
即有时，有最大值4，
即点B横坐标的绝对值最大．
故答案为：

10.【答案】
解：设，
由，
得则，
同理，
于是
又，则，所以点Q的轨迹是直线，
即为原点到直线的距离，
所以
故答案为

11.【答案】
解：设，，线段AB的中点
此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线对称，
直线AB的方程可设为
联立，化为
，解得
，
，
代入直线可得：，解得
代入可得：，解得
的取值范围是
故答案为

12.【答案】解：由题意得椭圆的焦点坐标分别为和，
设双曲线方程为，
则，
，
，
解得，，
双曲线方程为
设，，分别代入双曲线可得，，
两式相减，得，
点为AB的中点，可得，，
则，
，
直线l的方程为，
把代入，
消去y得，
，，，

13.【答案】解：，，
与x轴垂直，
直线l的方程为，
由，解得或，
的坐标为或，
直线AM的方程为或；
当l与x轴重合时，，
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，
，
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，
，，则，，
则，
由，，得，
将代入，整理可得，
则，，，
，
从而，
故MA，MB的倾斜角互补，
，
综上，
14.【答案】解：由已知得 ，，
又，
解得，
椭圆C的方程为
由题意知，直线l斜率存在，可设直线l方程为，将其代入，
得，
设，，
，解得，
由根与系数的关系，得，
为锐角，
，
，
，
，
代入，，
化简得，
解得，
由且，
解得
15.【答案】解：由题解得
所以椭圆C的方程为
证明：由知，，
设，则，
，
设直线方程为，直线方程为，
由解得点
由于，
于是直线的方程为，直线的方程为
由，解得点
于是，所以轴．
设PQ中点为N，则N点的纵坐标为
故PQ中点在定直线上．
从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上，所以，
所以为等腰三角形．
16.【答案】解：由题意：，，
所以直线的方程为，所以，
因为
所以，
由B在椭圆上可得：
椭圆的标准方程为：
设直线：，点，点
，
所以 ，，
所以直线AM：，直线ON：，
设点，
所以 ， ，
令，，
所以
所以 ，
实数的取值范围为

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