3.1.2椭圆的简单几何性质 第三课时 同步练习（含解析）

3.1.2椭圆的简单几何性质（3）
一、单选题
1. 椭圆的左顶点到右焦点的距离为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
2. 椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )
A. B. C. D. 4
3. 已知椭圆C：的一个焦点为，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
4. 椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A. 7，2， B. 14，4， C. 7，2， D. 14，4，
5. 已知椭圆的离心率为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题
6. 设e是椭圆的离心率，且，则实数k的取值范围是
A. B. C. D.
三、填空题
7. 若椭圆的离心率为，则__________.
8. 已知椭圆的离心率，则m的值等于__________.
9. 黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”，离心率的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C：的左右顶点分别为A，B，“优美椭圆”C上动点异于椭圆的左右顶点，设直线PA，PB的斜率分别为，，则__________.
10. 如图，平面与平面相交成锐二面角，其大小为，平面内的一个圆在平面上的射影是离心率为的椭圆，则等于__________.
11. 已知椭圆，O为坐标原点，动直线l与椭圆相交于A，B两点，且，D为直线上一点，满足，则动点D的轨迹方程是__________，点D的轨迹所形成图形的面积为__________.
四、解答题
12. 已知p：实数m使得焦点在x轴上的椭圆的离心率
求实数m的取值范围；
若，是的充分不必要条件，求实数t的取值范围.
已知椭圆的左焦点为右顶点为，M是椭圆上一点．轴且
求椭圆C的标准方程；
直线与椭圆C交于E，H两点，点G在椭圆C上，且四边形OEGH为平行四边形其中O为坐标原点，求
14. 已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点，
若为等边三角形，求C的离心率；
如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
15. 已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，直线PQ交椭圆C于P，Q两点，直线PQ与x轴不平行，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，已知
求证：直线PQ恒过定点；
设和的面积分别为，求的最大值.
答案和解析
1.【答案】D
解：由椭圆知，则，
椭圆的左顶点为，右焦点，
椭圆的左顶点到右焦点的距离为
故选

2.【答案】A
解：由椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，
可得，
解得
故选

3.【答案】C
解：由椭圆C：的一个焦点为，
则，且，得，则，
所以C的离心率为
故选

4.【答案】B
解：将椭圆方程化为标准方程得，
所以，，，
所以长轴长为，
短轴长为，
离心率为
故选

5.【答案】A
解：因为椭圆的离心率为，
所以，
得
故选

6.【答案】AD
解：若椭圆的焦点在x轴上，此时，
则有，解得；
若椭圆的焦点在y轴上，此时，
则有，解得，
故实数k的取值范围为
故选

7.【答案】3
解：椭圆的方程为： ，
即，
则椭圆的焦点在x轴，，
解得
故答案为

8.【答案】或
解：由题意可得，，
椭圆，
①当椭圆焦点在x轴上时，，，
则，
可得，
离心率，解得；
②当椭圆焦点在y轴上时，，，
则，
可得，
离心率，
解得
综上所述，或
故答案为或

9.【答案】
解：设，，，
“优美椭圆”C的左顶点，右顶点，
则
，
故答案为

10.【答案】
解：由题意可得：平面上的一个圆在平面上的射影是一个离心率为的椭圆，
也可以说为：上的一个离心率为的椭圆在上的射影是一个圆，
设圆的半径为r，所以，
又因为，并且，所以
所以，所以
故答案为

11.【答案】
解：设，，由得到，
设，则，即，
因为A，B在椭圆上，
所以，
则，
在直角三角形OAB中，设，
，，
，
得，
得为定值，
则动点D的轨迹方程是：，
点D的轨迹所形成图形的面积为
故答案为：

12.【答案】解：焦点在x轴上，，
，，
，，
故实数m的取值范围是
，因为是的充分不必要条件，所以p是q的充分不必要条件，
，
所以，
解得
13.【答案】解：椭圆C的右顶点为，，
轴，且，，，
椭圆C的标准方程为
设，，，
将直线代入，
消去y并整理得，
由，得
由根与系数的关系可得，
，
四边形OEGH为平行四边形，
，得，
将G点坐标代入椭圆C的方程得，满足式．

14.【答案】解：连接，由为等边三角形可知在中，
，，，于是，
故曲线C的离心率
由题意可知，满足条件的点存在当且仅当：
，，，
即①
②
③
由②③及得，又由①知，故，
由②③得，所以，
从而，故，
当，时，存在满足条件的点
所以，a的取值范围为
15.【答案】解：证明：依题意，，
设，直线PQ方程为，
由，消去x并整理得：
，，
则，
因在椭圆上，有，直线BP斜率，
有，
则，即，
而
，
解得，此时，直线PQ：，恒过点，
所以直线PQ恒过定点
由知，，令，，
则
，
令，函数在上单调递增，
则当时，取得最小值，
所以当，即时，取得最大值
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