专题126 微元法
微元法就是利用微分思想去分析、解决物理问题的一种方法，也是从部分到整体的思维方法．在使用微元法处理问题时，需将研究的对象或过程无限细分为众多的“微元”，每个“微元”遵循相同的规律，以达到化变为恒、化曲为直的目的．用该方法可以把一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地解决，使所求的问题简单化．
利用“微元法”解题步骤依次为：
①选取元;
②运用规律表达元;
③叠加元求解全过程。
1．力学中的时间微元和位移微元
在极短时间或极小位移上物体状态变化不太大时，利用“微元法”把过程分割为无限个微小过程，然后相加，从而得出整个过程的物理量．
2．连续体问题中的质量微元
当所研究的对象不是典型的物理模型(如质点、轻绳等)时，一般需要将研究对象分解为微元(质量微元)，选取一个微元作为研究对象，分析其受力情况和运动情况，利用相应的物理规律处理．
3．均匀分布的带电体中的电荷量微元
在静电场中，当带电体不能视为点电荷时，一般需要将带电体分解为电荷量微元，选取一个微元作为研究对象分析．在高中物理中，此法常用于处理对称性的带电体产生的电场的电场强度、电势问题．
4．电磁感应中的微元
闭合电路的一段导体在磁场中做切割磁感线运动的过程中，由于导体受到的安培力与切割磁感线的速度相互关联、相互影响，因此导体做非匀变速直线运动，不能运用匀变速直线运动规律解决，若用微元法处理，这类问题就迎刃而解．
最新高考题精选
1.[2017·天津卷] 电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度,其原理可用来研制新武器和航天运载器.电磁轨道炮示意图如图G1-20所示,图中直流电源电动势为E,电容器的电容为C.两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为l,电阻不计.炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN,垂直放在两导轨间处于静止状态,并与导轨良好接触.首先开关S接1,使电容器完全充电.然后将S接至2,导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出),MN开始向右加速运动.当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时,回路中电流为零,MN达到最大速度,之后离开导轨.问:
图G1-20
(1)磁场的方向;
(2)MN刚开始运动时加速度a的大小;
(3)MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少.
【参考答案】 (1)垂直于导轨平面向下
(2) (3)
【名师解析】 (1)垂直于导轨平面向下.
(2)电容器完全充电后,两极板间电压为E,当开关S接2时,电容器放电,设刚放电时流经MN的电流为I,有
I= ①
设MN受到的安培力为F,有
F=IlB ②
由牛顿第二定律,有
F=ma ③
联立①②③式得
a= ④
(3)当电容器充电完毕时,设电容器上电荷量为Q0,有
Q0=CE ⑤
开关S接2后,MN开始向右加速运动,速度达到最大值vmax时,设MN上的感应电动势为E',有
E'=Blvmax ⑥
依题意有E'= ⑦
设在此过程中MN的平均电流为,MN上受到的平均安培力为,有
=lB ⑧
由动量定理,有
Δt=mvmax ⑨
又Δt=Q0-Q
联立⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得
Q=
2．（2013·全国）如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：
(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系。
【名师解析】
（1）设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为E=BLv。①
平行板电容器两极板之间的电势差为：U=E，②
设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，由电容定义有C=Q/U，③
联立①②③式解得：Q=CBLv。 ④
（2）设金属棒的速度大小为v时经历时间为t，通过金属棒的电流为i。金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为：f1=BLi。 ⑤
设在时间间隔（t，t+△t）内流经金属棒的电荷量为△Q，按定义有：
i=△Q/△t。⑥
△Q也是平行板电容器极板在时间间隔（t，t+△t）内增加的电荷量，由④式得，
△Q=CBL△v。 ⑦
式中△v为金属棒的速度变化量。按照定义有：a=△v/△t ⑧
金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为f2=μN，⑨
式中，N是金属棒对于导轨的正压力的大小，有：N=mgcosθ， ⑩
金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a，根据牛顿第二定律有
mgsinθ- f1- f2=ma ⑾
联立⑤至⑾式解得 a=g。⑿
由⑿式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速运动，t时刻金属棒的速度大小为：
v=at=gt。
3（2013·安徽）由消防水龙带的喷嘴喷出水的流量是0.28m3/min，水离开喷口时的速度大小为16m/s，方向与水平面夹角为60度，在最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则空中水柱的高度和水量分别是（重力加速度g取10m/s2）
A．28.8m，1.12×10-2m3 B．28.8m，0.672m3
C．38.4m，1.29×10-2m3 D．38.4m，0.776m3
【参考答案】A
【名师解析】 消防水龙带的喷嘴水平喷水，选取喷嘴处的水（微元）作为研究对象，微元做斜抛运动。将喷出水流速度分解为水平方向和竖直方向，则竖直方向的分速度vy=vsin60°=16× m/s =24m/s；由可得水柱可以上升的最大高度h=28.8m；水柱上升时间为=2.4s。题述流量Q=0.28m3/min=0.0047 m3/s，则在空中的水量V=Qt=0.0047 m3/s ×2.4s=1.12×10-2m3，，所以选项A正确。
最新模拟题精选
1．（11分）（2022北京平谷模拟）微元思想是中学物理中的重要思想。所谓微元思想，是将研究对象或者物理过程分割成无限多个无限小的部分，先取出其中任意部分进行研究，再从局部到整体综合起来加以考虑的科学思维方法。
（1）如图甲所示，两根平行的金属导轨MN和PQ放在水平面上，左端连接阻值为R的电阻。导轨间距为L，电阻不计。导轨处在竖直向上的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度为B。一根质量为m、阻值为r的金属棒放置在水平导轨上。现给金属棒一个瞬时冲量，使其获得一个水平向右的初速度v0后沿导轨运动。设金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨足够长，不计一切摩擦。
a．金属棒的速度为v时受到的安培力是多大？
b．金属棒向右运动的最大距离是多少？
（2）若规定无限远处的电势为零，真空中正点电荷周围某点的电势φ可表示为，其中k为静电力常量，Q为点电荷的电荷量，r为该点到点电荷的距离。如果场源是多个点电荷，电场中某点的电势为各个点电荷单独在该点产生电势的代数和。如图乙所示，一个半径为R、电荷量为+Q的均匀带电细圆环固定在真空中，环面水平。一质量为m的带正电小球，从环心O的正上方D点由静止开始下落，小球到达O点时的速度为v。已知D、O间的距离为，静电力常量为k，重力加速度为g。则小球所带的电荷量是多少？
【名师解析】．（11分）
（1）a．金属棒在磁场中的速度为v时
电路中的感应电动势 E=BLv --------------1分
电路中的电流 ------------1分
金属棒所受的安培力 F安=BIL -------------1分
得 --------------------------------1分
b．金属棒从速度为v0至停下来的过程中，由动量定理 - I安=0-mv0 --------1分
将整个运动过程划分成很多小段，可认为每个小段中的速度几乎不变，设每小段的时间为Δt。则安培力的冲量 I安=v1·Δt+v2·Δt+v3·Δt +…
I安=(v1·Δt+v2·Δt+v3·Δt+…)
I安=x ---------------------------1分
解得 ---------------1分
（2）把圆环分成很多等份，每一份都可视为点电荷。设每一份的电荷量为。研究其中任意一份
它与D点的距离
它在D产生的电势
由对称性和叠加原理可知，圆环在D点的电势
-----------1分
同理可求得，圆环在O点的电势
所以D、O两点间的电势差 --------1分
小球从D到O的过程中，根据动能定理有
-----------------1分
解得 ----------------1分
2．（2020北京顺义高三一模）物体沿着圆周的运动是一种常见的运动，匀速圆周运动是当中最简单也是最基本的一种，由于做匀速圆周运动的物体的速度方向时刻在变化，因而匀速圆周运动仍旧是一种变速运动，具有加速度。
（1）可按如下模型来研究做匀速圆周运动的物体的加速度：设质点沿半径为r、圆心为O的圆周以恒定大小的速度v运动，某时刻质点位于位置A，经极短时间△t 后运动到位置B，如图17所示，试根据加速度的定义，推导质点在位置A时的加速度的大小。
（2）在研究匀变速直线运动的“位移”时，我们常用“以恒代变”的思想；在研究曲线运动的“瞬时速度”时，又常用“化曲为直”的思想，而在研究一般的曲线运动时，我们用的更多的是一种“化曲为圆”的思想，即对于一般的曲线运动，尽管曲线各个位置的弯曲程度不一样，但在研究时，可以将曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看做半径为某个合适值ρ的圆周运动的一部分，进而采用圆周运动的分析方法来进行研究，ρ叫做曲率半径，如图18所示，试据此分析图19所示的斜抛运动中，轨迹最高点处的曲率半径ρ。
（3）事实上，对于涉及曲线运动加速度问题的研究中，“化曲为圆”并不是唯一的方式，我们还可以采用一种“化圆为抛物线”的思考方式，匀速圆周运动在短时间△t内可以看成切线方向的匀速运动，法线方向的匀变速运动，设圆弧半径为R，质点做匀速圆周运动的速度大小为v,据此推导质点在做匀速圆周运动时的向心加速度a。
【名师解析】：（1）当△t 足够小时，vA，vB的夹角θ就足够小，θ角所对的弦和弧的长度就近似相等。因此，θ=△v/v在△t 时间内，速度方向变化的角度
由此可以求得
将此式代入加速度定义式
并把代入
可以导出向心加速度大小的表达式为
上式也可以写成（4分）
（2）在斜抛运动最高点：质点的速度为：
可以把质点的运动看成是半径为ρ的圆周运动，因为质点只受重力，所以有牛顿第二定律有：
将：
代入上式可以得：（4分）
（3）质点在短时间△t 内将从A以速度v匀速运动到B’，有匀速运动有：
由图可知：
代入求解得：
当△t足够小时，△t 2=0
所以（4分）
4．（12分）（2021南京期末）如图所示，两光滑金属导轨，导轨电阻不计，间距d＝2m，在桌面上的部分是水平的，仅在桌面上有磁感应强度B＝1T、方向竖直向下的有界磁场，导轨一端接电阻R＝3Ω，桌面高H＝0.45m，金属杆ab质量m＝0.2kg，其电阻r＝1Ω，长度略大于导轨的宽度．从导轨上距桌面h＝0.8m的高度处由静止释放，落地点距桌面左边缘的水平距离s＝0.6m，取g＝10m/s2，求：
（1）金属杆刚进入磁场时的速度大小及金属杆ab两端的电压Uab；
（2）金属杆离开磁场的速度大小及整个过程中电阻R放出的热量；
（3）磁场区域（即桌面）的宽度．
【参考答案】． (1)4m/s；-6V；（4分） (2) 2m/s；0.9J；（4分） (3)0.4m （4分）
【名师解析】 (1)设棒刚进入磁场时速度为，由机械能守恒定律有：，
解得，又由法拉第电磁感应定律有：
由闭合欧姆定律有：
可得金属杆ab两端的电压：
(2)设棒刚离开磁场时速度为，接着棒开始做平抛运动，在竖直方向上有：
在水平方向上有： ，解得
整个回路产生的总焦耳热： ，
电磁感应过程中电阻R上产生电热： ；
(3)方法一：棒穿过磁场过程加速度为a，由牛顿第二定律有：， ，可得： ，进一步化简得： ，
全程求和：， ，解得：
方法二：由法拉第电磁感应定律及闭合电路欧姆定律可得：，，
由动量定理可得： ，解得： 。
5. （2018北京房山一模）某游乐园入口旁有一鲸鱼喷泉，在水泵作用下会从鲸鱼模型背部喷出竖直向上的水柱，将站在冲浪板上的玩偶模型托起，悬停在空中，伴随着音乐旋律，玩偶模型能够上下运动，非常引人驻足，如图所示。这一景观可做如下简化，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；设同一高度水柱横截面上各处水的速率都相同，冲浪板底部为平板且其面积大于水柱的横截面积，保证所有水都能喷到冲浪板的底部。水柱冲击冲浪板前其水平方向的速度可忽略不计，冲击冲浪板后，水在竖直方向的速度立即变为零，在水平方向朝四周均匀散开。已知玩偶模型和冲浪板的总质量为M，水的密度为ρ，重力加速度大小为g，空气阻力及水的粘滞阻力均可忽略不计。
（1）试计算玩偶模型在空中悬停时，水对冲浪板的冲击力大小和喷泉单位时间内喷出的水的质量；
（2）实际上当我们仔细观察发现喷出的水柱在空中上升阶段并不是粗细均匀的，而是在竖直方向上一端粗一端细，请你分析上升阶段的水柱是上端较粗还是下端较粗，并说明水柱呈现该形态的原因。
（3）由于水柱顶部的水与冲浪板相互作用的时间很短，因此在分析水对冲浪板的作用力时可忽略这部分水所受的重力作用。求玩偶在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。
【名师解析】
玩偶处在空中静止，此时受重力与水向上的推力，由二力平衡可知F＝Mg
设时间内，从喷口喷出的水的体积为，质量为，
则，
由以上两式得，单位时间内从喷口喷出的水的质量为 （2）水柱上端较粗，下端较细。任意横截面流速相等，下端水柱速度较上端水柱的速度大，由Q=Sv,（S为水柱截面积，v为水柱中水的流速）可知，上端水柱截面较大。 5分
（3）设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为，水从喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为。
对于时间内喷出的水，有能量守恒定律得 4分
在高度处，时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变化量的大小为
设水对玩具的作用力的大小为F，根据动量定理有
由于玩具在空中悬停，由力的平衡条件得
联立以上各式得
6．（2018高考考前冲刺）（注意：在试题卷上作答无效）
如图14所示，固定在上、下两层水平面上的平行金属导轨、和、间距都是，二者之间固定有两组竖直半圆形轨道和，两轨道间距也均为，且和的竖直高度均为，两组半圆形轨道的半径均为。轨道的端、端的对接狭缝宽度可忽略不计，图中的虚线为绝缘材料制成的固定支架，能使导轨系统位置固定。将一质量为的金属杆沿垂直导轨方向放在下层导轨的最左端位置，金属杆在与水平成角斜向上的恒力作用下沿导轨运动，运动过程中金属杆始终与导轨垂直，且接触良好。当金属杆通过的距离运动到导轨末端位置时其速度大小。金属杆和导轨的电阻、金属杆在半圆轨道和上层水平导轨上运动过程中所受的摩擦阻力，以及整个运动过程中所受空气阻力均可忽略不计。
（1）已知金属杆与下层导轨间的动摩擦因数为，求金属杆所受恒力的大小；
（2）金属杆运动到位置时撤去恒力，金属杆将无碰撞地水平进入第一组半圆轨道和，又在对接狭缝和处无碰撞地水平进入第二组半圆形轨道和的内侧，求金属杆运动到半圆轨道的最高位置时，它对轨道作用力的大小；
（3）若上层水平导轨足够长，其右端连接的定值电阻阻值为，导轨处于磁感应强度为、方向竖直向下的匀强磁场中。金属杆由第二组半圆轨道的最高位置处，无碰撞地水平进入上层导轨后，能沿上层导轨滑行。求金属杆在上层导轨上滑行的最大距离。
【名师解析】
【名师解析】
（1）金属杆在恒定外力作用下，沿下层导轨以加速度做匀加速直线运动，
根据运动学公式有
得：
根据牛顿第二定律，金属杆沿下层轨运动时，在竖直方向和水平方向分别有
，
解得：
（2）设金属杆从位置运动到轨道最高位置时的速度为
此过程根据机械能守恒定律有
解得：
设金属杆在位置所受轨道压力为，
根据牛顿第二定律有
解得：
由牛顿第三定律可知，金属杆对轨道压力的大小
（3）经历一段极短的时间，在安培力作用下杆的速度由减小到，接着在安培力作用下经历一段极短的时间，杆的速度由减小到，再接着在安培力作用下经历一段极短的时间，杆的速度由减小到，……再接着在安培力作用下经历一段极短的时间，杆的速度由减小到
由动量定理 ， ，
……
在每一段极短的时间内，杆的速度、杆上的电动势和安培力都可认为是不变的，
则时间内，安培力
则时间内，安培力
则时间内，安培力
……
冲量累加
解得：专题126 微元法
微元法就是利用微分思想去分析、解决物理问题的一种方法，也是从部分到整体的思维方法．在使用微元法处理问题时，需将研究的对象或过程无限细分为众多的“微元”，每个“微元”遵循相同的规律，以达到化变为恒、化曲为直的目的．用该方法可以把一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地解决，使所求的问题简单化．
利用“微元法”解题步骤依次为：
①选取元;
②运用规律表达元;
③叠加元求解全过程。
1．力学中的时间微元和位移微元
在极短时间或极小位移上物体状态变化不太大时，利用“微元法”把过程分割为无限个微小过程，然后相加，从而得出整个过程的物理量．
2．连续体问题中的质量微元
当所研究的对象不是典型的物理模型(如质点、轻绳等)时，一般需要将研究对象分解为微元(质量微元)，选取一个微元作为研究对象，分析其受力情况和运动情况，利用相应的物理规律处理．
3．均匀分布的带电体中的电荷量微元
在静电场中，当带电体不能视为点电荷时，一般需要将带电体分解为电荷量微元，选取一个微元作为研究对象分析．在高中物理中，此法常用于处理对称性的带电体产生的电场的电场强度、电势问题．
4．电磁感应中的微元
闭合电路的一段导体在磁场中做切割磁感线运动的过程中，由于导体受到的安培力与切割磁感线的速度相互关联、相互影响，因此导体做非匀变速直线运动，不能运用匀变速直线运动规律解决，若用微元法处理，这类问题就迎刃而解．
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1.[2017·天津卷] 电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度,其原理可用来研制新武器和航天运载器.电磁轨道炮示意图如图G1-20所示,图中直流电源电动势为E,电容器的电容为C.两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为l,电阻不计.炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN,垂直放在两导轨间处于静止状态,并与导轨良好接触.首先开关S接1,使电容器完全充电.然后将S接至2,导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出),MN开始向右加速运动.当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时,回路中电流为零,MN达到最大速度,之后离开导轨.问:
图G1-20
(1)磁场的方向;
(2)MN刚开始运动时加速度a的大小;
(3)MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少.
2．（2013·全国）如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：
(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系。
3（2013·安徽）由消防水龙带的喷嘴喷出水的流量是0.28m3/min，水离开喷口时的速度大小为16m/s，方向与水平面夹角为60度，在最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则空中水柱的高度和水量分别是（重力加速度g取10m/s2）
A．28.8m，1.12×10-2m3 B．28.8m，0.672m3
C．38.4m，1.29×10-2m3 D．38.4m，0.776m3
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1．（11分）（2022北京平谷模拟）微元思想是中学物理中的重要思想。所谓微元思想，是将研究对象或者物理过程分割成无限多个无限小的部分，先取出其中任意部分进行研究，再从局部到整体综合起来加以考虑的科学思维方法。
（1）如图甲所示，两根平行的金属导轨MN和PQ放在水平面上，左端连接阻值为R的电阻。导轨间距为L，电阻不计。导轨处在竖直向上的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度为B。一根质量为m、阻值为r的金属棒放置在水平导轨上。现给金属棒一个瞬时冲量，使其获得一个水平向右的初速度v0后沿导轨运动。设金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨足够长，不计一切摩擦。
a．金属棒的速度为v时受到的安培力是多大？
b．金属棒向右运动的最大距离是多少？
（2）若规定无限远处的电势为零，真空中正点电荷周围某点的电势φ可表示为，其中k为静电力常量，Q为点电荷的电荷量，r为该点到点电荷的距离。如果场源是多个点电荷，电场中某点的电势为各个点电荷单独在该点产生电势的代数和。如图乙所示，一个半径为R、电荷量为+Q的均匀带电细圆环固定在真空中，环面水平。一质量为m的带正电小球，从环心O的正上方D点由静止开始下落，小球到达O点时的速度为v。已知D、O间的距离为，静电力常量为k，重力加速度为g。则小球所带的电荷量是多少？
2．（2020北京顺义高三一模）物体沿着圆周的运动是一种常见的运动，匀速圆周运动是当中最简单也是最基本的一种，由于做匀速圆周运动的物体的速度方向时刻在变化，因而匀速圆周运动仍旧是一种变速运动，具有加速度。
（1）可按如下模型来研究做匀速圆周运动的物体的加速度：设质点沿半径为r、圆心为O的圆周以恒定大小的速度v运动，某时刻质点位于位置A，经极短时间△t 后运动到位置B，如图17所示，试根据加速度的定义，推导质点在位置A时的加速度的大小。
（2）在研究匀变速直线运动的“位移”时，我们常用“以恒代变”的思想；在研究曲线运动的“瞬时速度”时，又常用“化曲为直”的思想，而在研究一般的曲线运动时，我们用的更多的是一种“化曲为圆”的思想，即对于一般的曲线运动，尽管曲线各个位置的弯曲程度不一样，但在研究时，可以将曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看做半径为某个合适值ρ的圆周运动的一部分，进而采用圆周运动的分析方法来进行研究，ρ叫做曲率半径，如图18所示，试据此分析图19所示的斜抛运动中，轨迹最高点处的曲率半径ρ。
（3）事实上，对于涉及曲线运动加速度问题的研究中，“化曲为圆”并不是唯一的方式，我们还可以采用一种“化圆为抛物线”的思考方式，匀速圆周运动在短时间△t内可以看成切线方向的匀速运动，法线方向的匀变速运动，设圆弧半径为R，质点做匀速圆周运动的速度大小为v,据此推导质点在做匀速圆周运动时的向心加速度a。
4．（12分）（2021南京期末）如图所示，两光滑金属导轨，导轨电阻不计，间距d＝2m，在桌面上的部分是水平的，仅在桌面上有磁感应强度B＝1T、方向竖直向下的有界磁场，导轨一端接电阻R＝3Ω，桌面高H＝0.45m，金属杆ab质量m＝0.2kg，其电阻r＝1Ω，长度略大于导轨的宽度．从导轨上距桌面h＝0.8m的高度处由静止释放，落地点距桌面左边缘的水平距离s＝0.6m，取g＝10m/s2，求：
（1）金属杆刚进入磁场时的速度大小及金属杆ab两端的电压Uab；
（2）金属杆离开磁场的速度大小及整个过程中电阻R放出的热量；
（3）磁场区域（即桌面）的宽度．
5. （2018北京房山一模）某游乐园入口旁有一鲸鱼喷泉，在水泵作用下会从鲸鱼模型背部喷出竖直向上的水柱，将站在冲浪板上的玩偶模型托起，悬停在空中，伴随着音乐旋律，玩偶模型能够上下运动，非常引人驻足，如图所示。这一景观可做如下简化，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；设同一高度水柱横截面上各处水的速率都相同，冲浪板底部为平板且其面积大于水柱的横截面积，保证所有水都能喷到冲浪板的底部。水柱冲击冲浪板前其水平方向的速度可忽略不计，冲击冲浪板后，水在竖直方向的速度立即变为零，在水平方向朝四周均匀散开。已知玩偶模型和冲浪板的总质量为M，水的密度为ρ，重力加速度大小为g，空气阻力及水的粘滞阻力均可忽略不计。
（1）试计算玩偶模型在空中悬停时，水对冲浪板的冲击力大小和喷泉单位时间内喷出的水的质量；
（2）实际上当我们仔细观察发现喷出的水柱在空中上升阶段并不是粗细均匀的，而是在竖直方向上一端粗一端细，请你分析上升阶段的水柱是上端较粗还是下端较粗，并说明水柱呈现该形态的原因。
（3）由于水柱顶部的水与冲浪板相互作用的时间很短，因此在分析水对冲浪板的作用力时可忽略这部分水所受的重力作用。求玩偶在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。
6．（2018高考考前冲刺）（注意：在试题卷上作答无效）
如图14所示，固定在上、下两层水平面上的平行金属导轨、和、间距都是，二者之间固定有两组竖直半圆形轨道和，两轨道间距也均为，且和的竖直高度均为，两组半圆形轨道的半径均为。轨道的端、端的对接狭缝宽度可忽略不计，图中的虚线为绝缘材料制成的固定支架，能使导轨系统位置固定。将一质量为的金属杆沿垂直导轨方向放在下层导轨的最左端位置，金属杆在与水平成角斜向上的恒力作用下沿导轨运动，运动过程中金属杆始终与导轨垂直，且接触良好。当金属杆通过的距离运动到导轨末端位置时其速度大小。金属杆和导轨的电阻、金属杆在半圆轨道和上层水平导轨上运动过程中所受的摩擦阻力，以及整个运动过程中所受空气阻力均可忽略不计。
（1）已知金属杆与下层导轨间的动摩擦因数为，求金属杆所受恒力的大小；
（2）金属杆运动到位置时撤去恒力，金属杆将无碰撞地水平进入第一组半圆轨道和，又在对接狭缝和处无碰撞地水平进入第二组半圆形轨道和的内侧，求金属杆运动到半圆轨道的最高位置时，它对轨道作用力的大小；
（3）若上层水平导轨足够长，其右端连接的定值电阻阻值为，导轨处于磁感应强度为、方向竖直向下的匀强磁场中。金属杆由第二组半圆轨道的最高位置处，无碰撞地水平进入上层导轨后，能沿上层导轨滑行。求金属杆在上层导轨上滑行的最大距离。
