专题128 运动的合成与分解
对于复杂的运动可以分解为两个简单的运动，例如：斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动；带电粒子垂直电场线进入匀强电场中的运动可以分解为沿电场线方向的匀加速运动和垂直电场线方向的匀速直线运动；带电粒子不是垂直磁感应线进入匀强磁场中轨迹为螺旋线的运动可以分解为沿磁感应线方向的匀速直线运动和垂直磁感应线方向的匀速圆周运动。
最新高考题精选
1. （2022山东物理）如图所示，某同学将离地的网球以的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为（ ）
A B.
C. D.
【参考答案】BD
【命题意图】本题考查运动的合成与分解及其相关知识点。
【名师解析】
设网球飞出时的速度为，竖直方向
代入数据得
则
排球水平方向到点的距离
根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量
平行墙面的速度分量
反弹后，垂直墙面的速度分量
则反弹后的网球速度大小为
网球落到地面的时间
着地点到墙壁的距离，故BD正确，AC错误。
2．（2021高考江苏物理卷）如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是（ ）
A．A比B先落入篮筐
B．A、B运动的最大高度相同
C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小
D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同
【参考答案】D
【命题意图】本题考查抛体运动及其相关知识点。
【解题思路】根据题述，落入篮筐时的速度方向相同，将落入篮筐时的速度分解，运用斜抛运动规律，可知B比A先落入篮筐，选项A错误；A运动的最大高度大于B，A在最高点的速度比B在最高点的速度大，选项BC错误；根据斜抛运动的轨迹关于最高点对称，可知AB上升到与篮筐相同高度时的速度方向相同，选项D正确。
3.（12分）（2016高考上海物理）风洞是研究空气动力学的实验设备。如图，将刚性杆水平固定在风洞内距地面高度H=3.2m处，杆上套一质量m=3kg，可沿杆滑动的小球。将小球所受的风力调节为F=15N，方向水平向左。小球以速度v0=8m/s向右离开杆端，假设小球所受风力不变，取g=10m/s2。求：
（1）小球落地所需时间和离开杆端的水平距离；
（2）小球落地时的动能。
（3）小球离开杆端后经过多少时间动能为78J？
【名师解析】
（1）小球在竖直方向做自由落体运动，运动时间为
小球在水平方向做匀减速运动，加速度
水平位移
（2）由动能定理
（3）小球离开杆后经过时间t的水平位移
由动能定理
以J和m/s代入得
125t2-80t+12=0
解得t1=0.4s,t2=0.24s
最新模拟题精选
1.（2022北京朝阳区高三下质量检测一）28．北京2022年冬奥会，我国选手在单板滑雪U型池比赛中取得了较好的成绩。比赛场地可以简化为如图所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和中央平面直轨道连接而成，轨道倾角为18°。某次比赛中，质量kg的运动员自A点以的速度进入U型池，经过多次腾空跳跃，以的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角，腾空后又沿轨道边缘的N点进入轨道。运动员可视为质点，不计空气阻力。取重力加速度，，。
（1）若A、M两点间的距离，求运动员从A到M的过程中，除重力外其它力做的功W。
（2）运动员自M点跃起后，在M到N的过程中做匀变速曲线运动。对于这种较为复杂的曲线运动，同学们可以类比平抛运动的处理方法，将之分解为两个方向的直线运动来处理。求：
a．在运动员从M点到N点的过程中，运动员从M点运动到距离AD最远处所用的时间t；
b．运动员落回到N点时，速度方向与AD夹角的正切值tanβ（结果保留三位有效数字）。
【参考答案】．（1）；（2）a．1s；b．1.02
【名师解析】
（1）对于运动员从A到M过程，根据动能定理有
解得
（2）a．将运动员的运动沿平行于AD和垂直于AD两个方向进行分解，均为匀变速直线运动。在垂直于AD方向初速度
加速度
当运动员该方向的速度为0时，距离AD最远，则有
b．在垂直于AD方向上，远离AD和返回AD的过程具有对称性，即运动员到达N点时，垂直于AD的分速度
且运动的总时间
在平行于AD方向初速度
加速度
运动员到达N点时，平行于AD的分速度
所以速度方向与AD夹角β的正切值
2．(18分) （2019北京朝阳区考前保温2）电势和场强是静电场中两个非常重要的物理量，分别反映了电场力的性质和能的性质，同时这两个物理量的建立为我们解决很多问题提供了方便。
（1）若空间的电场非匀强电场。如图甲所示的为该电场的一条电场线，场强方向从a到b， a和b两点的电势分别为φa和φb。现将一个电量为q的正试探电荷由a处移至b处，则电场力做功W为多少？
(2)若空间的电场为匀强电场。请回答以下两个问题：
①若该电场的场强大小为为E，方向水平向右。M、N是一条电场线上两点，该两点电势差为U，间距为L。请根据功的基本定义、电场力做功与电势能的关系、电势的定义等公式，推导出E、U、L之间的大小关系。
②若该电场的场强方向与纸面平行但大小未知。现在纸面内画一个边长为a的正方形，正方形的四个顶点分别为1、2、3、4，如图丙所示。如果已知1、3、4点的电势分别为5φ、-2φ、φ，其中φ＞0，我们可以在点1与4的连线上找到一个点的电势与点2的电势相同，画出等势线，再根据电场线和等势线的关系画出电场线方向并用场强公式和几何关系求出场强大小，显然这种做法很繁琐。我们考虑到场强是矢量，请你根据合成与分解的思想求出该电场的场强大小和方向。
【名师解析】（1）电场力做功W=qUab=q（φa-φb）
（2）根据功的定义：W=qEL，
根据电场力做功与电势能的关系：W=EpM- EpN，
根据电势的定义：φM= EpM /q，φN= EpN /q，
根据电势与电势差的关系：U=UMN=φM-φN
因此：U=EL
即匀强电场中两点之间的电势差等于电场强度乘以两点沿电场线方向的距离。
（3）以正方形顶点1为坐标原点，建立坐标系，水平向右为x轴，竖直向下为y轴，由于是匀强电场，则U14=U23，可知2点的电势为φ2=2φ，
沿x轴方向电场强度Ex= U12/a=3φ/a
沿y轴方向电场强度Ey= U14/a=4φ/a
合场强大小E==5φ/a
方向：合场强与x轴方向夹角为θ，tanθ=Ey/Ex=4/3，解得θ=53°
3.（2018北京西城二模）
合成与分解是物理常用的一种研究问题的方法，如研究复杂的运动就可以将其分解成两个简单的运动来研究。请应用所学物理知识与方法，思考并解决以下问题。
（1）如图1所示，将一小球以v0=20m/s的初速度从坐标轴原点O水平抛出，两束平行光分别沿着与坐标轴平行的方向照射小球，在两个坐标轴上留下了小球的两个“影子”，影子的位移和速度描述了小球在x、y两个方向的运动。不计空气阻力的影响，g =10m/s2。
a．分析说明两个“影子”分别做什么运动；
b．经过时间t = 2s小球到达如图1所示的位置，求此时小球的速度v。
（2）如图2所示，把一个有孔的小球A装在轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在沿水平x轴的光滑杆上，能够在杆上自由滑动。把小球沿x轴拉开一段距离，小球将做振幅为R的振动，O为振动的平衡位置。另一小球B在竖直平面内以O′为圆心，在电动机的带动下，沿顺时针方向做半为径R的匀速圆周运动。O与O′在同一竖直线上。用竖直向下的平行光照射小球B，适当调整B的转速，可以观察到，小球B在x方向上的“影子”和小球A在任何瞬间都重合。已知弹簧劲度系数为k，小球A的质量为m，弹簧的弹性势能表达式为，其中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的形变量。
a．请结合以上实验证明：小球A振动的周期。
b．简谐运动的一种定义是：如果质点的位移x与时间t的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。请根据这个定义并结合以上实验证明：小球A在弹簧作用下的振动是简谐运动，并写出用已知量表示的位移x与时间t关系的表达式。
【名师解析】．（20分）
（1）a. （2分）在x方向，因为小球不受力的作用，所以影子做匀速直线运动；
在y方向，因为小球仅受重力的作用，初速度为0，所以影子做初速度为零的匀加速直线运动。
b. （5分）此时x方向的影子速度 vx = v0 = 20m/s
y方向的影子速度 vy = gt = 20m/s
小球的速度
代入数据解得
， θ = 45°
速度方向与x方向成45°角
（2）a. （6分）以小球A为研究对象，设它经过平衡位置O时的速度为v，当它从O运动到最大位移处，根据机械能守恒有，由此得 ①。
由题中实验可知，小球B在x方向上的“影子”的速度时刻与小球A的相等，A经过O点的速度v与B经过最低点的速度相等，即小球B做匀速圆周运动的线速度也为v。小球A振动的周期与小球B做圆周运动的周期相等。
根据圆周运动周期公式，小球B的运动周期 ②
联立①②两式得小球B的运动周期
所以小球A的振动周期也为
b. （7分）设小球B做圆周运动的角速度为ω。
设小球A从O向右运动、小球B从
最高点向右运动开始计时，经过时间t，
小球B与O 的连线与竖直方向成φ角，
小球B在x方向上的位移 x = Rsinφ = Rsinωt
根据，联立以上各式得
由题中实验可知B在x方向上的“影子”和A在任何瞬间都重合
即小球A的位移规律也为，其中R、k、m为常量
所以，小球A的运动是简谐运动。
4．（18分）（2018北京大兴一模）2022年冬奥会将在北京举行，届时会有许多精彩刺激的比赛，单板高山滑雪U形池就是其中之一。它的场地是长约120米，深为4.5米，宽 15米的U形滑道（两边竖直雪道与池底雪道由圆弧雪道连接组成，横截面像U字形状），整条赛道的平均坡度18°．选手在高处助滑后从U形池一侧边缘（示意图中A点）进入赛道，沿U型池滑行至另一侧竖直轨道，从B点跃起在空中做出各种抓板旋转等动作，完成动作落入轨道再滑向对侧，如此反复跃起完成难度不同的动作，直至滑出赛道完成比赛，裁判根据选手完成动作的难易和效果打分。
（1）选手出发时要先经过一段倾斜坡道助滑（如情景图），设坡度倾角为α，滑板与雪面的动摩擦因数为μ，当地的重力加速度为g，求选手沿此斜面坡道向下滑行的加速度大小。
（2）在高中物理学习中，对于复杂的运动往往采用分解的研究方法，比如对平抛运动的研究。
a．运动员沿U形池从A滑行到B的过程是一个复杂的运动，请你用分解的方法来研究这个运动，并描述你的分解结果。
b..在平昌冬奥会上，传奇名将肖恩 怀特在赛道边缘跃起时以外转1440°（以身体为轴外转四周）超高难度的动作夺得该项目的冠军，为了简化以达到对特定问题的求解，此过程中他可视为质点，设每转一周最小用时0.5秒，他起跳时速度与竖直赛道在同一平面内，与竖直向上的夹角为20°，下落到与起跳点同一高度前要完成全部动作，全过程忽略空气阻力，求他起跳的最小速度为多少？
（g取10m/s2 sin20°=0.34 cos20°=0.94）
【名师解析】（1）受力分析如图，将mg分解
由牛顿第二定律：mgsinα﹣f=ma
滑动摩擦力 f=μmgcosα
得出：a=gsinα﹣μgcosα；
（2）a．可以将该运动沿滑道坡度方向和U型截面方向分解；
沿坡道方向可能做匀速直线或匀加速直线运动；
沿截面方向做自由落体运动，圆周运动，匀减速直线运动，竖直上抛运动。
b．以身体为轴外转四周，每转一周最小用时0.5s，完成动作总用时T=2s
将选手的运动分解为水平和竖直两个分运动，竖直方向上匀变速直线运动。
上升过程运动时间 T1==1s
出发时速度的竖直分量：vy=gt1=10m/s
出发时最小速度 v==10.6m/s
答：（1）选手沿此斜面坡道向下滑行的加速度大小为gsinα﹣μgcosα；
（2）a．可以将该运动沿滑道坡度方向和U型截面方向分解；沿坡道方向可能做匀速直线或匀加速直线运动；沿截面方向做自由落体运动，圆周运动，匀减速直线运动，竖直上抛运动；
b..他起跳的最小速度为10.6m/s。
5. (2018江苏七市三模)如图甲所示，真空室中电极K发出的电子(初速不计)经电场加速后，由小孔P沿两水平金属板M、N的中心线射入板间，加速电压为U0，M、N板长为L，两板相距.加在M、N两板间电压u随时间t变化关系为uMN＝sin，如图乙所示．把两板间的电场看成匀强电场，忽略板外电场．在每个电子通过电场区域的极短时间内，电场可视作恒定．两板右侧放一记录圆筒，筒左侧边缘与极板右端相距，筒绕其竖直轴匀速转动，周期为T，筒的周长为s，筒上坐标纸的高为，以t＝0时电子打到坐标纸上的点作为xOy坐标系的原点，竖直向上为y轴正方向．已知电子电荷量为e，质量为m，重力忽略不计．
(1) 求穿过水平金属板的电子在板间运动的时间t；
(2) 通过计算，在示意图丙中画出电子打到坐标纸上的点形成的图线；
(3) 为使从N板右端下边缘飞出的电子打不到圆筒坐标纸上，在M、N右侧和圆筒左侧区域加一垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B应满足什么条件？
【名师解析】．（16分）（1）设电子经加速电压加速后的速度为v0，则
， （2分）
解得 （2分）
（2）电子在板间运动的加速度 （1分）
能飞出的电子打到坐标纸上的偏距
解得 （1分）
设当M、N两板间电压为U时，电子从水平金属板右边缘飞出，则
解得 （1分）
故在一个周期中的、时间内，电子打在M、N板上，画出电子打到坐标纸上的点形成的图线如图所示(正弦曲线的一部分)．（3分）
（3）设从N板右端下边缘飞出时的电子速度与水平方向的夹角为θ，速度大小为v，则
，
解得 ， （2分）
①当匀强磁场方向垂直于纸面向外时，电子打不到圆筒坐标纸上，磁场的磁感应强度为B1，电子做圆周运动的轨道半径为r1，则
，
解得 ， （1分）
应满足的条件 （1分）
②当匀强磁场方向垂直于纸面向里时，电子打不到圆筒坐标纸上，磁场的磁感应强度为B2，电子做圆周运动的轨道半径为r2，则
，
解得 ， （1分）
应满足的条件 （1分）
6.（2020湖南益阳、湘潭质检）某景区一建筑物屋顶沿东西方向呈“人”字形结构，屋顶与水平面夹角为37°，屋檐处一小段水平。单侧屋面长L＝10m，屋檐离地高度H＝5m。一次无人机偶然拍摄到屋顶最顶端一片琉璃瓦已经松动，随时有滑下的可能。考虑屋面干燥和下雨的两种情况，琉璃瓦之间的动摩擦因数0.12554≤μ≤0.25．设琉璃瓦滑至屋檐处后水平抛出。在地面建立东西方向为x轴，南北方向为y轴的平面直角坐标系（如图所示），g＝10m/s2。
（1）在地面标出东西方向的危险区域坐标范围；
（2）琉璃瓦的质量m＝2kg，若考虑琉璃瓦滑出屋檐后南北方向风力的影响，水平风力对琉璃瓦的最大值为1N，试求危险区域的面积。
【名师解析】
（1）琉璃瓦沿屋顶斜面下滑时，根据牛顿第二定律，mgsinθ-μmgcosθ=ma，
解得：a= mgsinθ-μmgcosθ
下雨时；a1= mgsinθ-μ1mgcosθ=6m/s2，
干燥时；a2= mgsinθ-μ2mgcosθ=4m/s2，
滑动屋檐处做平抛运动的初速度：
下雨时：v1==10m/s
干燥时：v2= =4m/s
离开屋檐做平抛运动，由H=，解得t=1s
平抛运动水平位移
下雨时：x1=v1t=10m
干燥时：x2=v2t=4m
故危险区域坐标范围为[4m，10m]
（2）南北方向的最大加速度为ay=F/m=0.5m/s2，
南方向或北方向的最大位移ym==0.25m
危险区面积：S=（x1-x2）（2ym）=（5-2）m2
7.（10分）
（2020北京平谷一模）研究比较复杂的运动时，可以把一个运动分解为两个或几个比较简单的运动，从而使问题变得容易解决。
（1）如图，一束质量为，电荷量为的粒子，以初速度沿垂直于电场方向射入两块水平放置的平行金属板中央，受到偏转电压的作用后离开电场，已知平行板长为，两板间距离为，不计粒子受到的重力及它们之间的相互作用力，试求：
a. 粒子在电场中的运动时间;
b. 粒子从偏转电场射出时的侧移量。
（2）深刻理解运动的合成和分解的思想，可以帮助我们轻松处理比较复杂的问题。小船在流动的河水中行驶时，如图乙所示。假设河水静止，小船在发动机的推动下沿方向运动，经时间运动至对岸处，位移为；若小船发动机关闭，小船在水流的冲击作用下从点沿河岸运动，经相同时间运动至下游处，位移为。小船在流动的河水中，从点出发，船头朝向方向开动发动机行驶时，小船同时参与了上述两种运动，实际位移为上述两个分运动位移的矢量和，即此时小船将到达对岸处，请运用以上思想，分析下述问题：
弓箭手用弓箭射击斜上方某位置处的一个小球，如图丙所示。弓箭手用箭瞄准小球后，以初速度将箭射出，同时将小球由静止释放。箭射出时箭头与小球间的距离为，空气阻力不计。请分析说明箭能否射中小球，若能射中，求小球下落多高时被射中；若不能射中，求小球落地前与箭头的最近距离。
【名师解析】．（10分）
（1）a．沿垂直电场方向粒子不受外力，做匀速直线运动 【1分】
b．粒子在偏转电场中运动的加速度 【1分】
根据运动学公式 【1分】
得 【1分】
（2）箭能够射中小球【1分】。
如答图1所示。箭射出后，若不受重力，将沿初速度方向做匀速直线运动，经时间t从P运动至小球初始位置D处，位移为x1=L；脱离弓后，若箭的初速度为零，将沿竖直方向做自由落体运动，经相同时间t从P运动至E，位移为x2；箭射出后的实际运动，同时参与了上述两种运动，实际位移x为上述两个分运动位移的矢量和（遵循平行四边形定则），即此时箭将到达F处。
小球由静止释放后做自由落体运动，经相同时间t运动的位移与箭在竖直方向的分位移x2相同，即小球与箭同时到达F处，能够射中小球。 【2分】
若不受重力，箭从P运动至小球初始位置D处的时间 【1分】
射中时小球下落的高度 h=gt2 【1分】
解得 h= 【1分】
8.(14分) （2020江苏百校大联考第二次考试）如图所示,一条河宽为60 m,水流速度恒为5 m/s,现要将小船上的货物由此岸的A处沿直线送达正对岸下游45 m处的B处。已知小船的速度最大可达5 m/s,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g=10 m/s2。
(1)如果小船以最小速度航行,求船速v1的大小和方向;
(2)如果要使小船在最短时间内抵达B处,求船速v2的取值和方向;
(3)求小船运动的最短时间t0。
【名师解析】:
(1)为使小船抵达B处,小船的实际航线须沿图中的AB方向,即合速度方向沿AB方向, (1分)
设AB与河岸的夹角为θ,
由三角形法则可得v1=v水sin θ,方向与河岸夹角为37° 指向上游 (2分)
由几何关系得AB=75 m,有sin θ=0.8, (2分)
解得v1=4 m/s。 (1分)
(2)为使小船能在最短时间内抵达B处,小船应该以最大速度航行,即v2=5 m/s,并使合速度的方向仍沿AB方向; (2分)
由于船速和水速大小相等,所以AB的方向是在两个速度的角平分线上,v2的方向与河岸成2θ角,由几何关系得2θ=106°,即船速指向上游,与河岸成74°。 (2分)
(3)小船运动的合速度v=2v2cos θ=2×5×0.6 m/s=6 m/s, (2分)
所以小船运动的最短时间t0== s=12.5 s。 (2分)
9．（20分）（2019北京大兴一模）1897 年汤姆孙使用气体放电管，根据阴极射线在电场和磁场中的偏转情况发现了电子，并求出了电子的比荷。比荷是微观带电粒子的基本参量之一，测定电子的比荷的方法很多，其中最典型的是汤姆孙使用的方法和磁聚焦法。
（1）图 1 是汤姆孙使用的气体放电管的原理图。在阳极 A 与阴极 K 之间加上高压，A、A'是两个正对的小孔，C、D 是两片正对的平行金属板，S 是荧光屏。由阴极发射出的电子流经过 A、A'后形成一束狭窄的电子束，电子束由于惯性沿直线射在荧光屏的中央 O 点。若在 C、D 间同时加上竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，调节电场和磁场的强弱，可使电子束仍沿直线射到荧光屏的 O 点，此时电场强度为 E，磁感应强度为 B。
a．求电子通过 A'时的速度大小 v；
b．若将电场撤去，电子束将射在荧光屏上的 O'点，可确定出电子在磁场中做圆周运动的半径 R，求e电子的比荷 。
（2）图 2 是磁聚焦法测比荷的原理图。在阴极 K 和阳极 A 之间加电压，电子由阳极 A 中心处的小孔P 射出。小孔 P 与荧光屏中心 O 点连线为整个装置的中轴线。在极板很短的电容器 C 上加很小的交变电场，使不同时刻通过这里的电子发生不同程度的偏转，可认为所有电子从同一点发散。在电容器 C 和荧光屏 S 之间加一平行 PO 的匀强磁场，电子从 C 出来后将沿螺旋线运动，经过一段时间再次汇聚在一点。调节磁感应强度 B 的大小，可使电子流刚好再次汇聚在荧光屏的 O 点。已知 K、A 之间的加速电压为 U，C与 S 之间磁场的磁感应强度为 B，发散点到 O 点的距离为 l。
a．我们在研究复杂运动时，常常将其分解为两个简单的运动形式。你认为题中电子的螺旋运动可分解为哪两个简单的运动形式？
b．求电子的比荷。
【名师解析】.（1）a．电子在复合场中做匀速直线运动，由 eE = evB ，
得 v = 4 分
b．去掉电场，电子在磁场中做匀速圆周运动，由 evB = m
得 4 分
a．电子的螺旋运动可分解为沿 PO 方向的匀速运动和垂直于 PO 方向上的匀速圆周运动。4 分
b．从发散点到再次汇聚点，两个方向的分运动时间相等，有 1 分
加速电场 eU = 2分
匀速直线运动 2分
匀速圆周运动 evB =
T= 2分 =T
联立以上各式可得 1分
10．(18分) （2019北京朝阳区考前保温2）电势和场强是静电场中两个非常重要的物理量，分别反映了电场力的性质和能的性质，同时这两个物理量的建立为我们解决很多问题提供了方便。
（1）若空间的电场非匀强电场。如图甲所示的为该电场的一条电场线，场强方向从a到b， a和b两点的电势分别为φa和φb。现将一个电量为q的正试探电荷由a处移至b处，则电场力做功W为多少？
(2)若空间的电场为匀强电场。请回答以下两个问题：
①若该电场的场强大小为为E，方向水平向右。M、N是一条电场线上两点，该两点电势差为U，间距为L。请根据功的基本定义、电场力做功与电势能的关系、电势的定义等公式，推导出E、U、L之间的大小关系。
②若该电场的场强方向与纸面平行但大小未知。现在纸面内画一个边长为a的正方形，正方形的四个顶点分别为1、2、3、4，如图丙所示。如果已知1、3、4点的电势分别为5φ、-2φ、φ，其中φ＞0，我们可以在点1与4的连线上找到一个点的电势与点2的电势相同，画出等势线，再根据电场线和等势线的关系画出电场线方向并用场强公式和几何关系求出场强大小，显然这种做法很繁琐。我们考虑到场强是矢量，请你根据合成与分解的思想求出该电场的场强大小和方向。
【名师解析】
（1）W =q Uab=q（φa-φb）
（2）根据功的定义：W =qEL
根据电场力做功与电势能的关系，W=EPA- EPB，
根据电势的定义：φA=，φB=，
根据电势差与电势的关系，U= UAB=φA-φB.
因此，U=EL
即匀强电场中两点之间的电势差等于电场强度乘以两点沿电场强度方向的距离。
（3）以正方向顶点1为坐标原点，建立坐标系，水平向右为x轴，竖直向下为y轴，由于是匀强电场，则U14= U23，可知2的电势为φ2=2. φ
x方向的场强Ex=U12/a=3φ/a
y方向的场强Ey=U14/a=4φ/a
合场强的大小E==5φ/a
方向：设合场强E与x轴夹角为θ，tanθ=Ey/Ex=4/3 解得θ=53°专题128 运动的合成与分解
对于复杂的运动可以分解为两个简单的运动，例如：斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动；带电粒子垂直电场线进入匀强电场中的运动可以分解为沿电场线方向的匀加速运动和垂直电场线方向的匀速直线运动；带电粒子不是垂直磁感应线进入匀强磁场中轨迹为螺旋线的运动可以分解为沿磁感应线方向的匀速直线运动和垂直磁感应线方向的匀速圆周运动。
最新高考题精选
1. （2022山东物理）如图所示，某同学将离地的网球以的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为（ ）
A B.
C. D.
2．（2021高考江苏物理卷）如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是（ ）
A．A比B先落入篮筐
B．A、B运动的最大高度相同
C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小
D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同
3.（12分）（2016高考上海物理）风洞是研究空气动力学的实验设备。如图，将刚性杆水平固定在风洞内距地面高度H=3.2m处，杆上套一质量m=3kg，可沿杆滑动的小球。将小球所受的风力调节为F=15N，方向水平向左。小球以速度v0=8m/s向右离开杆端，假设小球所受风力不变，取g=10m/s2。求：
（1）小球落地所需时间和离开杆端的水平距离；
（2）小球落地时的动能。
（3）小球离开杆端后经过多少时间动能为78J？
最新模拟题精选
1.（2022北京朝阳区高三下质量检测一）28．北京2022年冬奥会，我国选手在单板滑雪U型池比赛中取得了较好的成绩。比赛场地可以简化为如图所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和中央平面直轨道连接而成，轨道倾角为18°。某次比赛中，质量kg的运动员自A点以的速度进入U型池，经过多次腾空跳跃，以的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角，腾空后又沿轨道边缘的N点进入轨道。运动员可视为质点，不计空气阻力。取重力加速度，，。
（1）若A、M两点间的距离，求运动员从A到M的过程中，除重力外其它力做的功W。
（2）运动员自M点跃起后，在M到N的过程中做匀变速曲线运动。对于这种较为复杂的曲线运动，同学们可以类比平抛运动的处理方法，将之分解为两个方向的直线运动来处理。求：
a．在运动员从M点到N点的过程中，运动员从M点运动到距离AD最远处所用的时间t；
b．运动员落回到N点时，速度方向与AD夹角的正切值tanβ（结果保留三位有效数字）。
2．(18分) （2019北京朝阳区考前保温2）电势和场强是静电场中两个非常重要的物理量，分别反映了电场力的性质和能的性质，同时这两个物理量的建立为我们解决很多问题提供了方便。
（1）若空间的电场非匀强电场。如图甲所示的为该电场的一条电场线，场强方向从a到b， a和b两点的电势分别为φa和φb。现将一个电量为q的正试探电荷由a处移至b处，则电场力做功W为多少？
(2)若空间的电场为匀强电场。请回答以下两个问题：
①若该电场的场强大小为为E，方向水平向右。M、N是一条电场线上两点，该两点电势差为U，间距为L。请根据功的基本定义、电场力做功与电势能的关系、电势的定义等公式，推导出E、U、L之间的大小关系。
②若该电场的场强方向与纸面平行但大小未知。现在纸面内画一个边长为a的正方形，正方形的四个顶点分别为1、2、3、4，如图丙所示。如果已知1、3、4点的电势分别为5φ、-2φ、φ，其中φ＞0，我们可以在点1与4的连线上找到一个点的电势与点2的电势相同，画出等势线，再根据电场线和等势线的关系画出电场线方向并用场强公式和几何关系求出场强大小，显然这种做法很繁琐。我们考虑到场强是矢量，请你根据合成与分解的思想求出该电场的场强大小和方向。
3.（2018北京西城二模）
合成与分解是物理常用的一种研究问题的方法，如研究复杂的运动就可以将其分解成两个简单的运动来研究。请应用所学物理知识与方法，思考并解决以下问题。
（1）如图1所示，将一小球以v0=20m/s的初速度从坐标轴原点O水平抛出，两束平行光分别沿着与坐标轴平行的方向照射小球，在两个坐标轴上留下了小球的两个“影子”，影子的位移和速度描述了小球在x、y两个方向的运动。不计空气阻力的影响，g =10m/s2。
a．分析说明两个“影子”分别做什么运动；
b．经过时间t = 2s小球到达如图1所示的位置，求此时小球的速度v。
（2）如图2所示，把一个有孔的小球A装在轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在沿水平x轴的光滑杆上，能够在杆上自由滑动。把小球沿x轴拉开一段距离，小球将做振幅为R的振动，O为振动的平衡位置。另一小球B在竖直平面内以O′为圆心，在电动机的带动下，沿顺时针方向做半为径R的匀速圆周运动。O与O′在同一竖直线上。用竖直向下的平行光照射小球B，适当调整B的转速，可以观察到，小球B在x方向上的“影子”和小球A在任何瞬间都重合。已知弹簧劲度系数为k，小球A的质量为m，弹簧的弹性势能表达式为，其中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的形变量。
a．请结合以上实验证明：小球A振动的周期。
b．简谐运动的一种定义是：如果质点的位移x与时间t的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。请根据这个定义并结合以上实验证明：小球A在弹簧作用下的振动是简谐运动，并写出用已知量表示的位移x与时间t关系的表达式。
4．（18分）（2018北京大兴一模）2022年冬奥会将在北京举行，届时会有许多精彩刺激的比赛，单板高山滑雪U形池就是其中之一。它的场地是长约120米，深为4.5米，宽 15米的U形滑道（两边竖直雪道与池底雪道由圆弧雪道连接组成，横截面像U字形状），整条赛道的平均坡度18°．选手在高处助滑后从U形池一侧边缘（示意图中A点）进入赛道，沿U型池滑行至另一侧竖直轨道，从B点跃起在空中做出各种抓板旋转等动作，完成动作落入轨道再滑向对侧，如此反复跃起完成难度不同的动作，直至滑出赛道完成比赛，裁判根据选手完成动作的难易和效果打分。
（1）选手出发时要先经过一段倾斜坡道助滑（如情景图），设坡度倾角为α，滑板与雪面的动摩擦因数为μ，当地的重力加速度为g，求选手沿此斜面坡道向下滑行的加速度大小。
（2）在高中物理学习中，对于复杂的运动往往采用分解的研究方法，比如对平抛运动的研究。
a．运动员沿U形池从A滑行到B的过程是一个复杂的运动，请你用分解的方法来研究这个运动，并描述你的分解结果。
b..在平昌冬奥会上，传奇名将肖恩 怀特在赛道边缘跃起时以外转1440°（以身体为轴外转四周）超高难度的动作夺得该项目的冠军，为了简化以达到对特定问题的求解，此过程中他可视为质点，设每转一周最小用时0.5秒，他起跳时速度与竖直赛道在同一平面内，与竖直向上的夹角为20°，下落到与起跳点同一高度前要完成全部动作，全过程忽略空气阻力，求他起跳的最小速度为多少？
（g取10m/s2 sin20°=0.34 cos20°=0.94）
5. (2018江苏七市三模)如图甲所示，真空室中电极K发出的电子(初速不计)经电场加速后，由小孔P沿两水平金属板M、N的中心线射入板间，加速电压为U0，M、N板长为L，两板相距.加在M、N两板间电压u随时间t变化关系为uMN＝sin，如图乙所示．把两板间的电场看成匀强电场，忽略板外电场．在每个电子通过电场区域的极短时间内，电场可视作恒定．两板右侧放一记录圆筒，筒左侧边缘与极板右端相距，筒绕其竖直轴匀速转动，周期为T，筒的周长为s，筒上坐标纸的高为，以t＝0时电子打到坐标纸上的点作为xOy坐标系的原点，竖直向上为y轴正方向．已知电子电荷量为e，质量为m，重力忽略不计．
(1) 求穿过水平金属板的电子在板间运动的时间t；
(2) 通过计算，在示意图丙中画出电子打到坐标纸上的点形成的图线；
(3) 为使从N板右端下边缘飞出的电子打不到圆筒坐标纸上，在M、N右侧和圆筒左侧区域加一垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B应满足什么条件？
6.（2020湖南益阳、湘潭质检）某景区一建筑物屋顶沿东西方向呈“人”字形结构，屋顶与水平面夹角为37°，屋檐处一小段水平。单侧屋面长L＝10m，屋檐离地高度H＝5m。一次无人机偶然拍摄到屋顶最顶端一片琉璃瓦已经松动，随时有滑下的可能。考虑屋面干燥和下雨的两种情况，琉璃瓦之间的动摩擦因数0.12554≤μ≤0.25．设琉璃瓦滑至屋檐处后水平抛出。在地面建立东西方向为x轴，南北方向为y轴的平面直角坐标系（如图所示），g＝10m/s2。
（1）在地面标出东西方向的危险区域坐标范围；
（2）琉璃瓦的质量m＝2kg，若考虑琉璃瓦滑出屋檐后南北方向风力的影响，水平风力对琉璃瓦的最大值为1N，试求危险区域的面积。
7.（10分）
（2020北京平谷一模）研究比较复杂的运动时，可以把一个运动分解为两个或几个比较简单的运动，从而使问题变得容易解决。
（1）如图，一束质量为，电荷量为的粒子，以初速度沿垂直于电场方向射入两块水平放置的平行金属板中央，受到偏转电压的作用后离开电场，已知平行板长为，两板间距离为，不计粒子受到的重力及它们之间的相互作用力，试求：
a. 粒子在电场中的运动时间;
b. 粒子从偏转电场射出时的侧移量。
（2）深刻理解运动的合成和分解的思想，可以帮助我们轻松处理比较复杂的问题。小船在流动的河水中行驶时，如图乙所示。假设河水静止，小船在发动机的推动下沿方向运动，经时间运动至对岸处，位移为；若小船发动机关闭，小船在水流的冲击作用下从点沿河岸运动，经相同时间运动至下游处，位移为。小船在流动的河水中，从点出发，船头朝向方向开动发动机行驶时，小船同时参与了上述两种运动，实际位移为上述两个分运动位移的矢量和，即此时小船将到达对岸处，请运用以上思想，分析下述问题：
弓箭手用弓箭射击斜上方某位置处的一个小球，如图丙所示。弓箭手用箭瞄准小球后，以初速度将箭射出，同时将小球由静止释放。箭射出时箭头与小球间的距离为，空气阻力不计。请分析说明箭能否射中小球，若能射中，求小球下落多高时被射中；若不能射中，求小球落地前与箭头的最近距离。
8.(14分) （2020江苏百校大联考第二次考试）如图所示,一条河宽为60 m,水流速度恒为5 m/s,现要将小船上的货物由此岸的A处沿直线送达正对岸下游45 m处的B处。已知小船的速度最大可达5 m/s,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g=10 m/s2。
(1)如果小船以最小速度航行,求船速v1的大小和方向;
(2)如果要使小船在最短时间内抵达B处,求船速v2的取值和方向;
(3)求小船运动的最短时间t0。
9．（20分）（2019北京大兴一模）1897 年汤姆孙使用气体放电管，根据阴极射线在电场和磁场中的偏转情况发现了电子，并求出了电子的比荷。比荷是微观带电粒子的基本参量之一，测定电子的比荷的方法很多，其中最典型的是汤姆孙使用的方法和磁聚焦法。
（1）图 1 是汤姆孙使用的气体放电管的原理图。在阳极 A 与阴极 K 之间加上高压，A、A'是两个正对的小孔，C、D 是两片正对的平行金属板，S 是荧光屏。由阴极发射出的电子流经过 A、A'后形成一束狭窄的电子束，电子束由于惯性沿直线射在荧光屏的中央 O 点。若在 C、D 间同时加上竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，调节电场和磁场的强弱，可使电子束仍沿直线射到荧光屏的 O 点，此时电场强度为 E，磁感应强度为 B。
a．求电子通过 A'时的速度大小 v；
b．若将电场撤去，电子束将射在荧光屏上的 O'点，可确定出电子在磁场中做圆周运动的半径 R，求e电子的比荷 。
（2）图 2 是磁聚焦法测比荷的原理图。在阴极 K 和阳极 A 之间加电压，电子由阳极 A 中心处的小孔P 射出。小孔 P 与荧光屏中心 O 点连线为整个装置的中轴线。在极板很短的电容器 C 上加很小的交变电场，使不同时刻通过这里的电子发生不同程度的偏转，可认为所有电子从同一点发散。在电容器 C 和荧光屏 S 之间加一平行 PO 的匀强磁场，电子从 C 出来后将沿螺旋线运动，经过一段时间再次汇聚在一点。调节磁感应强度 B 的大小，可使电子流刚好再次汇聚在荧光屏的 O 点。已知 K、A 之间的加速电压为 U，C与 S 之间磁场的磁感应强度为 B，发散点到 O 点的距离为 l。
a．我们在研究复杂运动时，常常将其分解为两个简单的运动形式。你认为题中电子的螺旋运动可分解为哪两个简单的运动形式？
b．求电子的比荷。
10．(18分) （2019北京朝阳区考前保温2）电势和场强是静电场中两个非常重要的物理量，分别反映了电场力的性质和能的性质，同时这两个物理量的建立为我们解决很多问题提供了方便。
（1）若空间的电场非匀强电场。如图甲所示的为该电场的一条电场线，场强方向从a到b， a和b两点的电势分别为φa和φb。现将一个电量为q的正试探电荷由a处移至b处，则电场力做功W为多少？
(2)若空间的电场为匀强电场。请回答以下两个问题：
①若该电场的场强大小为为E，方向水平向右。M、N是一条电场线上两点，该两点电势差为U，间距为L。请根据功的基本定义、电场力做功与电势能的关系、电势的定义等公式，推导出E、U、L之间的大小关系。
②若该电场的场强方向与纸面平行但大小未知。现在纸面内画一个边长为a的正方形，正方形的四个顶点分别为1、2、3、4，如图丙所示。如果已知1、3、4点的电势分别为5φ、-2φ、φ，其中φ＞0，我们可以在点1与4的连线上找到一个点的电势与点2的电势相同，画出等势线，再根据电场线和等势线的关系画出电场线方向并用场强公式和几何关系求出场强大小，显然这种做法很繁琐。我们考虑到场强是矢量，请你根据合成与分解的思想求出该电场的场强大小和方向。
