数学人教A版（2019）必修第二册6.2.4平面向量的数量积运算 课件（共17张ppt）

(共17张PPT)
　　问题1 向量a与b的数量积的含义是什么？向量的数量积具有哪些运算性质？
a·b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a与b的夹角．
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1) a·e= e·a =|a|cosθ．
(2)a⊥b a·b=0．
(3)当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|．
　 特别地，a·a=|a|2或|a|= ．
(4)|a·b|≤|a||b|．（由|cosθ|≤1得到）
创设情境、引入新课
　　与向量的线性运算一样，定义了向量的数量积后，就要研究一下数量积运算是否满足一些运算律．
创设情境、引入新课
第五章 三角函数
6.2.4 平面向量的数量积运算
学习目标
XUEXIMUBIAO
1、借助物理中功的模型，理解平面向量数量积的概念，能求两个向量的数量积；
2、能根据条件求向量的夹角；
3、了解投影向量的意义及如何运用符号语言表示投影向量.
重点难点
ZHONGDIANNANDIAN
1、向量数量积的概念、向量投影的概念以及投影向量的意义.(重点).
2、投影向量的意义.(难点).
1
研学引导
PART ONE
知识点一 向量数量积的运算律
问题2 类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量a，b，c和实数λ，有
①a·b= b·a；
②(λa)·b=λ(a·b)= a·(λb)；
③(a+b)·c=a·c + b·c．
|a+b|cosθ e =|a|cos 1 e +|b| cos 2 e．
|a+b||c| cosθ=|a||c| cos 1+|b||c| cos 2．
(a+b)·c=a·c + b·c．
证明向量的分配律：
　　证明：如图，任取一点O，作 =a，
=b， =c， =a+b．设a，b，a+b与c的夹角分别为 1， 2， ，它们在c上的投影分别为 ， ， ，与c方向相同的单位向量为e，则 =|a|cos 1 e， =|b| cos 2 e， =|a+b|cosθ e．
因为a= ，所以 ，
则 ，即
(a+b)·c=a·c + b·c．
知识点一 向量数量积运算律
　　追问1.1：设a，b，c是向量，(a·b)c=a(b·c)一定成立吗？为什么？
对于实数a，b，c，有(a·b)c=a(b·c)；但对于向量a，b，c，(a·b)c=a(b·c)不一定成立．这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c=a(b·c)不一定成立．
知识点一 向量数量积运算律
2
例题精讲
PART TWO
　　例1 我们知道，对任意a，b∈R，恒有
　　(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)(a-b)=a2-b2．
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
（1）(a+b)2=a2+2a·b+b2；
（2）(a+b)·(a-b)=a2-b2．
（1）(a+b)2
=(a+b)·(a+b)
=a·a+a·b+b·a+b·b
=a2+2a·b+b2；
（2）(a+b)·(a-b)
=a·a-a·b+b·a-b·b
=a2-b2．
解：
例2 已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60 ，求(a+2b)·(a-3b)．
解：(a+2b)·(a-3b)
　 =a·a-3a·b+2b·a-6b·b
=|a|2-a·b-6|b|2
=|a|2-|a||b|cos -6|b|2
=62-6×4×cos60 -6×42
=-72．
　　例3 已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线．当k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直？
解：a+kb与a-kb互相垂直的充要条件是
(a+kb)·(a-kb)=0，
即a2-k2b2=0．
因为 a2=32=9，b2=42=16，所以 9-16k2=0．
因此 k= ．
也就是说，当k= 时，a+kb与a-kb互相垂直．
课堂练习
教材P22练习
课堂小结
3
PARTTHREE
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
请回忆本节课的学习内容，并回答下列问题：
1、这一节课我们学习了哪些知识？
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课后作业
PART FOUR
教材P23 ：习题6.2：12，18，19，24题;