专题129 类比法
类比分析法是指将两个(或两类)研究对象进行对比，分析它们的相同或相似之处、相互的联系或所遵循的规律，然后根据它们在某些方面有相同或相似的属性，进一步推断它们在其他方面也可能有相同或相似的属性的一种思维方法，在处理一些物理背景很新颖的题目时，可以尝试着使用这种方法．比如：恒力作用下，或电场与重力场叠加中的类平抛问题、斜抛问题，可直接类比使用平抛、斜抛相关结论．
最新高考题精选
1.．（20分）（2018北京理综）（1）静电场可以用电场线和等势面形象描述。
a．请根据电场强度的定义和库仑定律推导出点电荷Q的场强表达式；
b．点电荷的电场线和等势面分布如图所示，等势面S1、S2到点电荷的距离分别为r1、r2。我们知道，电场线的疏密反映了空间区域电场强度的大小。请计算S1、S2上单位面积通过的电场线条数之比N1/N2。
（2）观测宇宙中辐射电磁波的天体，距离越远单位面积接收的电磁波功率越小，观测越困难。为了收集足够强的来自天体的电磁波，增大望远镜口径是提高天文观测能力的一条重要路径。2016年9月25日，世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST在我国贵州落成启用，被誉为“中国天眼”。FAST直径为500 m，有效提高了人类观测宇宙的精度和范围。
a．设直径为100 m的望远镜能够接收到的来自某天体的电磁波功率为P1，计算FAST能够接收到的来自该天体的电磁波功率P2；
b．在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的，仅以辐射功率为P的同类天体为观测对象，设直径为100 m望远镜能够观测到的此类天体数目是N0，计算FAST能够观测到的此类天体数目N。
【名师解析】．（1）a．在距Q为r的位置放一电荷量为q的检验电荷
根据库仑定律检验电荷受到的电场力
根据电场强度的定义
得
b．穿过两等势面单位面积上的电场线条数之比
（2）a．地球上不同望远镜观测同一天体，单位面积上接收的功率应该相同，因此
b．在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的。因此一个望远镜能观测到的此类天体数目正比于以望远镜为球心、以最远观测距离为半径的球体体积。
设地面上望远镜能观测到此类天体需收集到的电磁波的总功率的最小值为P0，直径为100 m望远镜和FAST能观测到的最远距离分别为L0和L，则
可得L=5L0
则
2.(2013·北京) 蹦床比赛分成预备运动和比赛动作。最初，运动员静止站在蹦床上.。在预备运动阶段，他经过若干次蹦跳，逐渐增加上升高度，最终达到完成比赛动作所需的高度；此后，进入比赛动作阶段。
把蹦床简化为一个竖直放置的轻弹簧，弹力大小F=kx (x为床面下沉的距离，k为常量)。质量m=50kg的运动员静止站在蹦床上，床面下沉x0=0.10m；在预备运动中，假设运动员所做的总功W全部用于其机械能；在比赛动作中，把该运动员视作质点，其每次离开床面做竖直上抛运动的腾空时间均为△t=2.0s，设运动员每次落下使床面压缩的最大深度均为xl。取重力加速度g=10m/s2，忽略空气阻力的影响。
（1）求常量k，并在图中画出弹力F随x变化的示意图；
（2）求在比赛动作中，运动员离开床面后上升的最大高度hm;
（3）借助F-x 图像可以确定弹力做功的规律，在此基础上，求 x1 和W的值。
【分析与解】由平衡条件得到常量k，根据匀变速直线运动规律得出运动员离开床面后上升的最大高度hm。根据F—x图象下的面积等于弹力做功、动能定理及其相关知识，求求出x1 和W的值。
（1）床面下沉x0=0.10m时，运动员受力平衡，由mg=kx0，
解得：k=mg/ x0=5.0×103N/m。
弹力F随x变化的示意图如图J所示。
（2）运动员从x=0处离开床面，开始腾空，其上升、下落时间相等，
hm=g()2.=5.0m。
（3）参考由速度—时间图象求位移的方法，F—x图象下的面积等于弹力做功，从x处到x=0，弹力做功WT，WT=x·kx=kx2。
运动员从x1处上升到最大高度hm的过程，根据动能定理，有：kx12-mg(hm+x1)=0.
解得：x1= x0+=1.1m。
对整个预备过程，由题述条件以及功能关系，有：W+kx02=mg(hm+x0)，
解得：W=2525J=2.5×103J。
【点评】类比是物理学中一种常用的研究方法。根据速度定义，v=△x/△t，可知v-t图像与横轴所围面积表示位移△x=v△t；根据加速度定义，a=△v/△t，可知a-t图像与横轴所围面积表示速度变化△v=a△t。根据功的定义，W=Fx，F—x图象下的面积等于力F位移x所做的功W。由弹力随弹簧形变量变化关系图线可得弹力做功表达式，根据功能关系可得弹簧弹性势能表达式Ep=kx2，公式中x为弹簧形变量。
3．（2012·北京）摩天大楼中一部直通高层的客运电梯.行程超过百米。电梯的简化模型如题67A图（a）所示.。考虑安全、舒适、省时等因素，电梯的加速度a随时间t变化的。已知电梯在t=0时由静止开始上升，a一t图像如图（b）所示. 电梯总质量m=2.0×I03kg.，忽略一切阻力，重力加速度g取10m/s2。
（1）求电梯在上升过程中受到的最大拉力F1和最小拉力F2；
（2）类比是一种常用的研究方法。对于直线运动，教科书中讲解了由v—t图像求位移的方法。请你借鉴此方法，对比加速度的和速度的定义，根据图（b）所示a—t图像，求电梯在第1s内的速度改变量△v1和第2s末的速率v2；
（3）求电梯以最大速率上升时，拉力做功的功率P；再求在0～11s时间内，拉力和重力对电梯所做的总功W。
【名师解析】（1）由牛顿第二定律，有 F-mg=ma，
由a—t图象可知，最大拉力F1和最小拉力F2对应的加速度分别是a1=1.0m/s2，a2=-1.0m/s2。
由牛顿第二定律，F1- mg=ma1，解得上升过程中受到的最大拉力F1=m(g+ a1)=2.2×104N；
由F2- mg=ma2，解得上升过程中受到的最小拉力F2=m(g+ a2)=1.8×104N。
（2）类比可得，所求速度变化量等于第1s内a-t图象下的面积，△v1=0.50m/s，
同理可得，前2s内a—t图象下的面积△v2= v2- v0=1.5m/s，
由于v0=0，由△v2= v2- v0解得第2s末的速率v2=1.5m/s。
（3）由a-t图象可知，11s~30s内速率最大，其值等于0~11s内a-t图象下的面积，有
vm=10m/s。
此时电梯做匀速运动，拉力F等于重力mg，拉力做功的功率P=F vm=mg vm=2.0×105W。
由动能定理，拉力和重力对电梯所做的总功W= Ek2-Ek1=mvm2-0=1.0×105J。
最新模拟题精选
1. （2022北京西城一模） （1）一个带电金属球达到静电平衡时，球内部没有净剩电荷，电荷均匀分布在外表面，球内部场强处处为0，其在球的外部产生的电场，与一个位于球心、电荷量相等的点电荷在同一点产生的电场相同。已知静电力常量为k。
a．根据电场强度的定义式和库仑定律，推导一个电荷量为Q的点电荷，在与之相距r处的电场强度的表达式__________。
b．若将金属球内部挖空，使其成为一个均匀球壳，如图1所示。金属球壳的电荷量为Q，A、B是到球心的距离分别为r1和r2的两点，则A点的场强E1=__________，B点的场强E2=__________。
（2）万有引力定律与库仑定律有相似的形式，因此质点的引力场与点电荷的电场也有很多相似的规律。已知引力常量为G。
a．类比点电荷电场强度的表达式，写出一个质量为m的质点在与之相距r处的引力场强度EG的表达式_______。
b．假设沿地轴的方向凿通一条贯穿地球两极的隧道，隧道极窄，地球仍可看作一个半径为R、质量分布均匀的球体。如图2所示，以地心为原点，向北为正方向建立x轴，请在图3中作图描述隧道中地球引力场强度随x变化的规律，并说明作图依据______。
【参考答案】 ①. ②. 0 ③. ④.
⑤.
【名师解析】
（1）[1] 电荷量为Q的点电荷，在与之相距r处放一试探电荷q，根据库仑定律，该试探电荷受到的电场力为
由电场强度得电荷量为Q的点电荷，在与之相距r处电场强度
[2] [3] 一个带电金属球达到静电平衡时，球内部没有净剩电荷，电荷均匀分布在外表面，球内部场强处处为0，其在球的外部产生的电场，与一个位于球心、电荷量相等的点电荷在同一点产生的电场相同。A点在均匀带电球壳内部，故A点场强
B点的场强
（2）[4] 设距离一个质量为m的质点r处，放一个质量为另外一质点，在与之的引力场强度
[5] 假设地球平均密度为，隧道中距离地心为x处地球引力场强度大小
又因为在隧道中，在原点以北某物体受地球引力向南，在原点以南某物体受地球引力向北，故隧道中地球引力场强度随x变化的规律定性变化图像为
2.（2022北京朝阳模拟）19. 类比是研究问题的常用方法。
（1）情境1：如图1所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，小球相对平衡位置的位移x随时间t的变化规律可用方程描述，其中xm为小球相对平衡位置O时的最大位移，m为小球的质量，k为弹簧的劲度系数。请在图2中画出弹簧的弹力F随位移x变化的示意图，并借助F-x图像证明弹簧的弹性势能。
（2）情境2：如图3所示，把线圈、电容器、电源和单刀双掷开关连成电路。先把开关置于电源一侧，为电容器充电，稍后再把开关置于线圈一侧，组成LC振荡电路，同时发现电容器极板上电荷量q随时间t的变化规律与情境1中小球位移x随时间t的变化规律类似。已知电源的电动势为E，电容器的电容为C，线圈的自感系数为L。
a、类比情境1，证明电容器的电场能；
b、类比情境1和情境2，完成下表。
情境1 情境2
小球的位移
线圈的磁场能 （i为线圈中电流的瞬时值）
【参考答案】（1） ，证明过程见解析；
（2）a、证明过程见解析；b、
情境1 情境2
电容器的电荷量
小球的动能 （v为小球的瞬时速度）
【名师解析】
（1）弹力取向右为正，由F=k△x可得，弹簧弹力F随位移x变化的示意图如图甲所示。F-x图中，图线与x轴围成的面积等于弹力做的功。则小球从位移为x处回到平衡位置的过程中，弹簧弹力做功
设小球的位移为x时，弹簧的弹性势能为Ep，根据功能关系有
所以
（2）a.根据电容器的定义式
可作出电容器电压U随电荷量q变化的关系图线，如图乙所示
图线与q轴围成的面积等于充电时电源对电容器做的功，也就等于电容器内储存的电场能，所以
b.
情境1 情境2
小球的位移 电容器的电荷量
小球的动能 （v为小球的瞬时速度） 线圈的磁场能(i为线圈中电流的瞬时值）
3. （2022北京丰台模拟）类比是研究问题的常用方法。
（1）情境1：如图甲所示，设质量为的小球以速度与静止在光滑水平面上质量为的小球发生对心碰撞，碰后两小球粘在一起共同运动。求两小球碰后的速度大小v；
（2）情境2：如图乙所示，设电容器充电后电压为，闭合开关K后对不带电的电容器放电，达到稳定状态后两者电压均为U；
a．请类比（1）中求得的v的表达式，写出放电稳定后电压U与、和的关系式；
b．在电容器充电过程中，电源做功把能量以电场能的形式储存在电容器中。图丙为电源给电容器充电过程中，两极板间电压u随极板所带电量q的变化规律。请根据图像写出电容器充电电压达到时储存的电场能E；并证明从闭合开关K到两电容器电压均为U的过程中，损失的电场能；
（3）类比情境1和情境2过程中的“守恒量”及能量转化情况完成下表。
情境1 情境2
动量守恒
损失的电场能
减少的机械能转化为内能
【名师解析】（1）根据动量定理，有
解得v=
故两小球碰撞后的速度大小为。
（2）a。根据题意，进行类比，有
解得：
故关系式为
b。根据图像，有
损失的电场能为
代入U的关系式可得
因
则有
（3）对情景1中的第二个空，类比情景2中第二个空，则情景1损失的机械能，有
则有
该空填损失的机械能
对情景2中的第一个空类比情景1中第一个空“动量为mv” ，而对于情景2，C与U的乘积表示电荷，所以该空填电荷守恒。
类比于情景1中第三个空，情景2中第三个空可填：损失的电场能转化为内能，
4（2022·北京房山区期末）物理思想方法就是运用现有的物理知识找到解决物理问题的基本思路与方法。其中类比法、等效法、比值定义法、模型建构等都是常用的物理思想与方法。
（1）万有引力和库仑力有类似的规律，已知引力常量为，类比静电场中电场强度的定义，写出一个质量为的质点，在与之相距处的引力场强度的表达式；
（2）如图所示，氢原子的核外只有一个电子，电子在距离原子核为的圆轨道上做匀速圆周运动，已知电子的电荷量为，质量为，静电力常量为。该模型与太阳系内行星绕太阳运转相似，被称为“行星模型”。求电子绕核运动的等效电流；
（3）篮球撞到墙面会对墙面产生力的作用，电子打到物体表面也会产生力的作用。在阴极射线管中，阴极不断放出电子，电子在电压为的加速电场中由静止开始加速，形成等效电流为，横截面积为的电子束。电子束打到荧光屏上被荧光屏吸收速度变为0。若电子的电荷量为、质量为，求电子束垂直打到荧光屏上产生的压强。
【名师解析】（1）由万有引力定律，F=G
类比静电场中电场强度定义，E=F/q，引力场强度EG=F/m=
（2）电子绕原子核运动，库仑力提供向心力，=mr，解得T=
电子绕原子核运动的等效电流I=e/T=
（3）由动量定理，eU=，解得：v=。
电流I=nevS，
设荧光屏对电子的作用力为F，由动量定理，Ft=△mv，△m=v△tSnm，
解得：F=I
由牛顿第三定律，电子束打在荧光屏上对荧光屏的压力F'=F，
电子束打在荧光屏上对荧光屏的压强p=F'/S=，
【特别提醒】1、类比电场强度定义得出引力场强。电场强度定义为检验电荷所受的电场力与检验电荷电荷量的比值，引力场强度可以定义为质点所受万有引力与质点质量的比值。
2.选取在极短时间△t内打到荧光屏的微元△ｍ，作为研究对象。可以建立管模型，以S为横截面积，以v△t为长度作一圆柱，则在△t时间内，圆柱内的电子都打到荧光屏上。
5.(2022·北京市东城区期末)类比是研究问题的常用方法。
（1）情境1：物体从静止开始下落，除受到重力作用外，还受到一个与运动方向相反的空气阻力（为常量）的作用。其速度和速度的变化率满足方程Ⅰ：，其中为物体质量，为其重力。求物体下落的最大速率。
（2）情境2：如图所示，电源电动势为，导体棒的质量为，定值电阻的阻值为，忽略电源内阻及导体棒、轨道的电阻，整个装置处于垂直于导轨向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为，间距为的水平导轨光滑且足够长。闭合开关，导体棒开始加速运动，闭合开关瞬间开始计时。
a.求时导体棒的加速度；
b.推导导体棒的速度和速度的变化率满足的方程Ⅱ。
（3）比较方程Ⅰ和方程Ⅱ，发现情境2中导体棒的速度变化规律与情境1中物体的速度变化规律完全一致。已知情境1中物体速度随时间变化的表达式为，通过类比写出情境2中导体棒的速度随时间变化的表达式。
【参考答案】（1）；（2）a.，水平向右；b. ；
（3）
【名师解析】
（1）当物体下落速度达到最大时，速度的变化率为零，则有
解得。
（2）a.t=0时通过导体棒的电流为
导体棒所受安培力大小为
导体棒的加速度大小为
联立解得
根据左手定则可知加速度方向水平向右。
b.当导体棒速度大小为v时，其切割磁感线产生的感应电动势大小为
感应电动势与电源电动势方向相反， 所以此时通过导体棒的电流为
导体棒所受安培力大小为
对导体棒根据牛顿第二定律有
联立⑦⑧⑨⑩可得方程Ⅱ为
（3）类比题给表达式，可得情境2中导体棒的速度随时间变化的表达式为
【批注】将写成，解微分方程G-kv= m，可以得出v=（1-）。
6.（2022北京四中期中改编）我国已经在一些大中城市使用超级电容储能式现代电车，如图1所示．这种电车没有传统无轨电车的“长辫子”和空中供电网，没有尾气排放，乘客上下车的几十秒内可充满电并行驶几公里，刹车和下坡时可把部分动能转化成电能回收储存再使用．
图1 图2 图3
（1）图2所示为超级电容器充电过程简化电路图，已知充电电源的电动势为E，电路中的电阻为R．图3是某次充电时电流随时间变化的i-t图像，其中I0、T0均为已知量．
a．类比是一种常用研究方法，对于直线运动，我们学习了用v-t图像求位移的方法．请你借鉴此方法，根据图3所示的i-t图像，定性说明如何求电容器充电所获得的电荷量；并求出该次充电结束时电容器所获得的电荷量Q；
b．请你说明在电容器充电的过程中，通过电阻R的电流为什么会逐渐减小；并求出电容器的电容C．
（2）研究发现，电容器储存的能量表达式为，其中U为电容器两端所加电压，C为电容器的电容．设在某一次紧急停车中，在汽车速度迅速减为0的过程中，超级电容器两极间电势差由U1迅速增大到U2．已知电车及乘客总质量为m，超级电容器的电容为C0，动能转化为电容器储存的电能的效率为η．求电车刹车前瞬间的速度v0．
【名师解析】(1)a．根据电流的定义，i=q/t，可知电容器充电所获得的电荷量等于i-t图线和横、纵轴所围的面积．
图3每一小格的面积为
【批注】计算图像与横轴所围的面积时，大于半格的算一格，小于半格的舍弃。
图线下约22小格，面积为S = 22S0
所以电容器所获得的电量；
b．电容器充电时，通过R的电流,U为电容器两端的电压，
随着电容器上电荷量增大，U也增大，所以电流i减小．
充电结束时，电容器两端电压等于电源的电动势，即E = U
解得电容；
(2)据能量守恒定律
解得电车刹车前瞬间的速度．
【创新解读】此题主要考查了电容器的充电过程，借助图像问题中的面积问题即解得由i-t图像的格子面积求出电容上累计的电荷量；充电过程中，由于电容器两端的电压在不断增加，电源的电动势恒定，所以干路中电阻R两端的电压就在不断减小，根据欧姆定律，所以干路中的电流在不断变小；根据题给的电容器上存储的能量表达式，可以求解电容器储存的能量变化，结合能量守恒可得电车刹车前瞬间的速度．本题重点是电容和函数图像面积问题，电容器在近几年的高考中可以结合到恒定电路，电磁感应，能量守恒等相关内容；而图像面积问题基本上是高考中必考内容之一，具有一定的难度．
【知识归纳】图像面积物理意义归纳
速度图像（v-t图像）与横轴所围的面积表示位移；加速度图像（a-t图像）与横轴所围的面积表示速度的变化；弹簧弹力随形变量变化图像（F-x图像）与横轴所围的面积表示弹力做功（或弹簧弹性势能的变化）；力随在力的方向上位移变化图像（F-x图像）与横轴所围的面积表示力做功；力随时间变化的图像（F-t图像）与横轴所围的面积表示力的冲量；电流随时间变化的图像（i-t图像）与横轴所围的面积表示通过导体截面的电荷量（或电容器极板带电荷量）；电场强度随x变化的图像（E-x图像）与横轴所围的面积表示电势差（或电势变化）；感应电动势随时间变化的图像（E-t图像）与横轴所围的面积表示线圈匝数n与磁通量变化的乘积；气体压强随体积变化的图像（p-V）与横轴所围的面积表示气体做功。
7．（12分）（2021北京海淀区一模）类比是一种重要的科学思想方法。在物理学史上，法拉第通过类比不可压缩流体中的流速线提出用电场线来描述电场。
（1）静电场的分布可以用电场线来形象描述，已知静电力常量为k。
①真空中有一电荷量为Q的正点电荷，其周围电场的电场线分布如图20所示。距离点电荷r处有一点P，请根据库仑定律和电场强度的定义，推导出P点场强大小E的表达式；
②如图21所示，若在A、B两点放置的是电荷量分别为+q1和-q2的点电荷，已知A、B间的距离为2a，C为A、B连线的中点，求C点的电场强度的大小EC的表达式，并根据电场线的分布情况比较q1和q2的大小关系。
（2）有一足够大的静止水域，在水面下足够深的地方放置一大小可以忽略的球形喷头，其向各方向均匀喷射水流。稳定后水在空间各处流动速度大小和方向是不同的，为了形象地描述空间中水的速度的分布，可引入水的“流速线”。水不可压缩，该情景下水的“流速线”的形状与图20中的电场线相似，箭头方向为速度方向，“流速线”分布的疏密反映水流速的大小。
①已知喷头单位时间喷出水的体积为Q1，写出喷头单独存在时，距离喷头为r处水流速大小v1的表达式；
②如图22所示，水面下的A点有一大小可以忽略的球形喷头，当喷头单独存在时可以向空间各方向均匀喷水，单位时间喷出水的体积为Q1；水面下的B点有一大小可以忽略的球形吸收器，当吸收器单独存在时可以均匀吸收空间各方向的水，单位时间吸收水的体积为Q2。同时开启喷头和吸收器，水的“流速线”的形状与图21中电场线相似。若A、B间的距离为2a，C为A、B连线的中点。喷头和吸收器对水的作用是独立的，空间水的流速和电场的场强一样都为矢量，遵循矢量叠加原理，类比图21中C处电场强度的计算方法，求图22中C点处水流速大小v2的表达式。
【名师解析】．（12分）（1）①在距该正点电荷r处放置试探电荷+q，其所受电场力大小为
………………………………………（1分）
电场强度大小E的定义为
………………………………………（1分）
联立以上两式得
………………………………………（1分）
②根据电场的叠加 C点的电场强度的大小EC的表达式为
………………………………（2分）
如图所示，过C作A、B连线的中垂线，交某条电场线于D点，由图可知该点场强ED斜向上方，因此q1>q2 ………（1分）
（2）①当喷头单独存在时，喷头向空间各方向均匀喷水，设单位时间喷头喷出水的体积为Q，在距喷头r处水流速度大小为v，考察极短的一段时间则
…………………（1分）
因此，在距喷头r处的流速大小为
………………………………………（1分）
② 喷头在C点引起的流速为
…………………………………（1分）
吸收器在C点引起的流速为
…………………………………（1分）
当喷头和吸收器都存在时，类似于电场的叠加，C点处的实际流速为
……………………………（2分）专题129 类比法
类比分析法是指将两个(或两类)研究对象进行对比，分析它们的相同或相似之处、相互的联系或所遵循的规律，然后根据它们在某些方面有相同或相似的属性，进一步推断它们在其他方面也可能有相同或相似的属性的一种思维方法，在处理一些物理背景很新颖的题目时，可以尝试着使用这种方法．比如：恒力作用下，或电场与重力场叠加中的类平抛问题、斜抛问题，可直接类比使用平抛、斜抛相关结论．
最新高考题精选
1.．（20分）（2018北京理综）（1）静电场可以用电场线和等势面形象描述。
a．请根据电场强度的定义和库仑定律推导出点电荷Q的场强表达式；
b．点电荷的电场线和等势面分布如图所示，等势面S1、S2到点电荷的距离分别为r1、r2。我们知道，电场线的疏密反映了空间区域电场强度的大小。请计算S1、S2上单位面积通过的电场线条数之比N1/N2。
（2）观测宇宙中辐射电磁波的天体，距离越远单位面积接收的电磁波功率越小，观测越困难。为了收集足够强的来自天体的电磁波，增大望远镜口径是提高天文观测能力的一条重要路径。2016年9月25日，世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST在我国贵州落成启用，被誉为“中国天眼”。FAST直径为500 m，有效提高了人类观测宇宙的精度和范围。
a．设直径为100 m的望远镜能够接收到的来自某天体的电磁波功率为P1，计算FAST能够接收到的来自该天体的电磁波功率P2；
b．在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的，仅以辐射功率为P的同类天体为观测对象，设直径为100 m望远镜能够观测到的此类天体数目是N0，计算FAST能够观测到的此类天体数目N。
2.(2013·北京) 蹦床比赛分成预备运动和比赛动作。最初，运动员静止站在蹦床上.。在预备运动阶段，他经过若干次蹦跳，逐渐增加上升高度，最终达到完成比赛动作所需的高度；此后，进入比赛动作阶段。
把蹦床简化为一个竖直放置的轻弹簧，弹力大小F=kx (x为床面下沉的距离，k为常量)。质量m=50kg的运动员静止站在蹦床上，床面下沉x0=0.10m；在预备运动中，假设运动员所做的总功W全部用于其机械能；在比赛动作中，把该运动员视作质点，其每次离开床面做竖直上抛运动的腾空时间均为△t=2.0s，设运动员每次落下使床面压缩的最大深度均为xl。取重力加速度g=10m/s2，忽略空气阻力的影响。
（1）求常量k，并在图中画出弹力F随x变化的示意图；
（2）求在比赛动作中，运动员离开床面后上升的最大高度hm;
（3）借助F-x 图像可以确定弹力做功的规律，在此基础上，求 x1 和W的值。
3．（2012·北京）摩天大楼中一部直通高层的客运电梯.行程超过百米。电梯的简化模型如题67A图（a）所示.。考虑安全、舒适、省时等因素，电梯的加速度a随时间t变化的。已知电梯在t=0时由静止开始上升，a一t图像如图（b）所示. 电梯总质量m=2.0×I03kg.，忽略一切阻力，重力加速度g取10m/s2。
（1）求电梯在上升过程中受到的最大拉力F1和最小拉力F2；
（2）类比是一种常用的研究方法。对于直线运动，教科书中讲解了由v—t图像求位移的方法。请你借鉴此方法，对比加速度的和速度的定义，根据图（b）所示a—t图像，求电梯在第1s内的速度改变量△v1和第2s末的速率v2；
（3）求电梯以最大速率上升时，拉力做功的功率P；再求在0～11s时间内，拉力和重力对电梯所做的总功W。
最新模拟题精选
1. （2022北京西城一模） （1）一个带电金属球达到静电平衡时，球内部没有净剩电荷，电荷均匀分布在外表面，球内部场强处处为0，其在球的外部产生的电场，与一个位于球心、电荷量相等的点电荷在同一点产生的电场相同。已知静电力常量为k。
a．根据电场强度的定义式和库仑定律，推导一个电荷量为Q的点电荷，在与之相距r处的电场强度的表达式__________。
b．若将金属球内部挖空，使其成为一个均匀球壳，如图1所示。金属球壳的电荷量为Q，A、B是到球心的距离分别为r1和r2的两点，则A点的场强E1=__________，B点的场强E2=__________。
（2）万有引力定律与库仑定律有相似的形式，因此质点的引力场与点电荷的电场也有很多相似的规律。已知引力常量为G。
a．类比点电荷电场强度的表达式，写出一个质量为m的质点在与之相距r处的引力场强度EG的表达式_______。
b．假设沿地轴的方向凿通一条贯穿地球两极的隧道，隧道极窄，地球仍可看作一个半径为R、质量分布均匀的球体。如图2所示，以地心为原点，向北为正方向建立x轴，请在图3中作图描述隧道中地球引力场强度随x变化的规律，并说明作图依据______。
2.（2022北京朝阳模拟）19. 类比是研究问题的常用方法。
（1）情境1：如图1所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，小球相对平衡位置的位移x随时间t的变化规律可用方程描述，其中xm为小球相对平衡位置O时的最大位移，m为小球的质量，k为弹簧的劲度系数。请在图2中画出弹簧的弹力F随位移x变化的示意图，并借助F-x图像证明弹簧的弹性势能。
（2）情境2：如图3所示，把线圈、电容器、电源和单刀双掷开关连成电路。先把开关置于电源一侧，为电容器充电，稍后再把开关置于线圈一侧，组成LC振荡电路，同时发现电容器极板上电荷量q随时间t的变化规律与情境1中小球位移x随时间t的变化规律类似。已知电源的电动势为E，电容器的电容为C，线圈的自感系数为L。
a、类比情境1，证明电容器的电场能；
b、类比情境1和情境2，完成下表。
情境1 情境2
小球的位移
线圈的磁场能 （i为线圈中电流的瞬时值）
3. （2022北京丰台模拟）类比是研究问题的常用方法。
（1）情境1：如图甲所示，设质量为的小球以速度与静止在光滑水平面上质量为的小球发生对心碰撞，碰后两小球粘在一起共同运动。求两小球碰后的速度大小v；
（2）情境2：如图乙所示，设电容器充电后电压为，闭合开关K后对不带电的电容器放电，达到稳定状态后两者电压均为U；
a．请类比（1）中求得的v的表达式，写出放电稳定后电压U与、和的关系式；
b．在电容器充电过程中，电源做功把能量以电场能的形式储存在电容器中。图丙为电源给电容器充电过程中，两极板间电压u随极板所带电量q的变化规律。请根据图像写出电容器充电电压达到时储存的电场能E；并证明从闭合开关K到两电容器电压均为U的过程中，损失的电场能；
（3）类比情境1和情境2过程中的“守恒量”及能量转化情况完成下表。
情境1 情境2
动量守恒
损失的电场能
减少的机械能转化为内能
4（2022·北京房山区期末）物理思想方法就是运用现有的物理知识找到解决物理问题的基本思路与方法。其中类比法、等效法、比值定义法、模型建构等都是常用的物理思想与方法。
（1）万有引力和库仑力有类似的规律，已知引力常量为，类比静电场中电场强度的定义，写出一个质量为的质点，在与之相距处的引力场强度的表达式；
（2）如图所示，氢原子的核外只有一个电子，电子在距离原子核为的圆轨道上做匀速圆周运动，已知电子的电荷量为，质量为，静电力常量为。该模型与太阳系内行星绕太阳运转相似，被称为“行星模型”。求电子绕核运动的等效电流；
（3）篮球撞到墙面会对墙面产生力的作用，电子打到物体表面也会产生力的作用。在阴极射线管中，阴极不断放出电子，电子在电压为的加速电场中由静止开始加速，形成等效电流为，横截面积为的电子束。电子束打到荧光屏上被荧光屏吸收速度变为0。若电子的电荷量为、质量为，求电子束垂直打到荧光屏上产生的压强。
5.(2022·北京市东城区期末)类比是研究问题的常用方法。
（1）情境1：物体从静止开始下落，除受到重力作用外，还受到一个与运动方向相反的空气阻力（为常量）的作用。其速度和速度的变化率满足方程Ⅰ：，其中为物体质量，为其重力。求物体下落的最大速率。
（2）情境2：如图所示，电源电动势为，导体棒的质量为，定值电阻的阻值为，忽略电源内阻及导体棒、轨道的电阻，整个装置处于垂直于导轨向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为，间距为的水平导轨光滑且足够长。闭合开关，导体棒开始加速运动，闭合开关瞬间开始计时。
a.求时导体棒的加速度；
b.推导导体棒的速度和速度的变化率满足的方程Ⅱ。
（3）比较方程Ⅰ和方程Ⅱ，发现情境2中导体棒的速度变化规律与情境1中物体的速度变化规律完全一致。已知情境1中物体速度随时间变化的表达式为，通过类比写出情境2中导体棒的速度随时间变化的表达式。
6.（2022北京四中期中改编）我国已经在一些大中城市使用超级电容储能式现代电车，如图1所示．这种电车没有传统无轨电车的“长辫子”和空中供电网，没有尾气排放，乘客上下车的几十秒内可充满电并行驶几公里，刹车和下坡时可把部分动能转化成电能回收储存再使用．
图1 图2 图3
（1）图2所示为超级电容器充电过程简化电路图，已知充电电源的电动势为E，电路中的电阻为R．图3是某次充电时电流随时间变化的i-t图像，其中I0、T0均为已知量．
a．类比是一种常用研究方法，对于直线运动，我们学习了用v-t图像求位移的方法．请你借鉴此方法，根据图3所示的i-t图像，定性说明如何求电容器充电所获得的电荷量；并求出该次充电结束时电容器所获得的电荷量Q；
b．请你说明在电容器充电的过程中，通过电阻R的电流为什么会逐渐减小；并求出电容器的电容C．
（2）研究发现，电容器储存的能量表达式为，其中U为电容器两端所加电压，C为电容器的电容．设在某一次紧急停车中，在汽车速度迅速减为0的过程中，超级电容器两极间电势差由U1迅速增大到U2．已知电车及乘客总质量为m，超级电容器的电容为C0，动能转化为电容器储存的电能的效率为η．求电车刹车前瞬间的速度v0．
7．（12分）（2021北京海淀区一模）类比是一种重要的科学思想方法。在物理学史上，法拉第通过类比不可压缩流体中的流速线提出用电场线来描述电场。
（1）静电场的分布可以用电场线来形象描述，已知静电力常量为k。①真空中有一电荷量为Q的正点电荷，其周围电场的电场线分布如图20所示。距离点电荷r处有一点P，请根据库仑定律和电场强度的定义，推导出P点场强大小E的表达式；
②如图21所示，若在A、B两点放置的是电荷量分别为+q1和-q2的点电荷，已知A、B间的距离为2a，C为A、B连线的中点，求C点的电场强度的大小EC的表达式，并根据电场线的分布情况比较q1和q2的大小关系。
（2）有一足够大的静止水域，在水面下足够深的地方放置一大小可以忽略的球形喷头，其向各方向均匀喷射水流。稳定后水在空间各处流动速度大小和方向是不同的，为了形象地描述空间中水的速度的分布，可引入水的“流速线”。水不可压缩，该情景下水的“流速线”的形状与图20中的电场线相似，箭头方向为速度方向，“流速线”分布的疏密反映水流速的大小。
①已知喷头单位时间喷出水的体积为Q1，写出喷头单独存在时，距离喷头为r处水流速大小v1的表达式；
②如图22所示，水面下的A点有一大小可以忽略的球形喷头，当喷头单独存在时可以向空间各方向均匀喷水，单位时间喷出水的体积为Q1；水面下的B点有一大小可以忽略的球形吸收器，当吸收器单独存在时可以均匀吸收空间各方向的水，单位时间吸收水的体积为Q2。同时开启喷头和吸收器，水的“流速线”的形状与图21中电场线相似。若A、B间的距离为2a，C为A、B连线的中点。喷头和吸收器对水的作用是独立的，空间水的流速和电场的场强一样都为矢量，遵循矢量叠加原理，类比图21中C处电场强度的计算方法，求图22中C点处水流速大小v2的表达式。
