2013-2014学年高中数学人教A版选修2-3同步辅导与检测：1.1.2两个原理的应用
文档属性
| 名称 | 2013-2014学年高中数学人教A版选修2-3同步辅导与检测：1.1.2两个原理的应用 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 631.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-03-04 12:34:58 | ||
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文档简介
课件31张PPT。1．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理计数原理1.1.2 两个原理的应用能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题．1．加法原理和乘法原理的共同点是什么？不同点是什么？
(1)共同点是，它们都是研究_____________共有多少种不同的方法．
(2)不同点是，它们研究完成一件事情的方式不同，加法原理是“__________”，即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事．乘法原理是“__________”，即这些方法需要分步，各个步骤顺次相依，且每一步都完成了，才能完成这件事情．完成一件事情分类完成分步完成基础梳理2．怎样选择应用加法原理、乘法原理？
(1)完成一件事情有n类办法，若每一类办法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成，则计算完成这件事情的方法总数用__________．
(2)完成一件事情有n个步骤，若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分，并且必须且只需完成互相独立的这n步后，才能完成这件事，则计算完成这件事的方法总数用__________．
3．正确区分完成一件事情是分类还是分步．
例如：(1)十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有__________种．加法原理 乘法原理12(2)从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共有________个，其中不同的偶函数共有__________个(用数字作答)．186自测自评1．从A村去B村的道路共有2条，从B村去C村的道路共有3条，从A村直接去C村(不经过B村)的道路有2条，那么从A村去C村，不同走法的种数是________．
2．乘积(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)展开后，共有________项．8n2C3．如下图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有( )
A．6种 B．36种 C．63种 D．64种4．已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数为( )
A．125 B．15 C．100 D．10
C分配问题 (1)8本不同的书，任选了3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？
(2)将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？
(3)3位旅客到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？
解析：(1)分三步，每位同学取书一本，第1,2,3个同学分别有8,7,6种取法，因而由分步乘法计数原理，不同分法共有N＝8×7×6＝336(种)．(2)完成这件事情可以分作四步，第一步投第一封信，可以在3个邮筒中任选一个，因此有3种投法；第二步投第二封信，同样有3种投法；第三步投第三封信，也同样有3种投法；第四步，投第四封信，仍然有3种投法．由分步乘法计数原理，可得出不同的投法共有N＝3×3×3×3＝81(种)．
(3)分三步，每位旅客都有4种不同的住宿方法，因而不同的方法共有N＝4×4×4＝64(种)．
跟踪练习1．(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？
(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？
解析：(1)要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四人都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝81种报名方法．
(2)完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步．而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能情况，于是共有4×4×4＝43＝64种可能的情况．组数问题 用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2 000大的4位偶数？
分析：按末位是0,2,4分三类或千位是2,3,4,5分四类计数或用间接法．解析：法一：按末位是0,2,4分为三类：
第一类：末位是0的有4×4×3＝48(个)；
第二类：末位是2的有3×4×3＝36(个)；
第三类：末位是4的有3×4×3＝36(个)．
则由分类计数原理有N＝48＋36＋36＝120(个)．法二：按千位是2,3,4,5分四类：
第一类：千位是2的有2×4×3＝24(个)；
第二类：千位是3的有3×4×3＝36(个)；
第三类：千位是4的有2×4×3＝24(个)；
第四类：千位是5的有3×4×3＝36(个)．
则由分类计数原理有N＝24＋36＋24＋36＝120(个)．
法三：间接法．
用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类：
第一类：末位是0的有5×4×3＝60(个)；
第二类：末位是2或4的有2×4×4×3＝96(个)．共有60＋96＝156(个)．
其中比2 000小的有：
千位是1的共有3×4×3＝36(个)．
所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个)．
点评：对于组数问题的计数，一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，每类中再分步来计数；但当分类较多时，可用间接法先求出总数，再减去不符合条件的数去计数．跟踪练习2．用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：(1)四位密码？(2)四位数？(3)四位奇数？解析：(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步：第一步：选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N＝5×4×3×2＝120(个)．
(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：第一步：从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字，有4种不同的选取方法；第二步：从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；第三步：从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方法；第四步：从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N＝4×4×3×2＝96(个)．
(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个有两种方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个还有3个可任取一个有3种方法；第三步、第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理共有2×3×3×2＝36(个)．涂色问题 将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48(种)；
当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24(种)．
故共有48＋24＝72(种)不同的涂色方法．跟踪练习3．将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．解析：按照S→A→B→C→D的顺序分类染色．
第一类：A、C染相同颜色有5×4×3×1×3＝180(种)；
第二类：A、C染不同颜色有5×4×3×2×2＝240(种)．
故共有180＋240＝420(种)不同的染色方法．1.（2012年新课标全国卷）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（??）?
A. 12种
B. 10种
C. 9种
D. 8种A2. (2012年全国卷)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
解析：利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有3种,再填写右上角的数为2种,再填写第二行第一列的数有2种,一共有3×2×2=12种.?
答案：A4.如右图中的每个开关都有闭合与不闭合两种，因此5个开关共有25种可能．在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况共有________种．5．在2,3,5,7,11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为( )
A．20 B．10 C．5 D．2416B3．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A．40 B．16 C．13 D．10C7. 如图右所示，用不同的五种颜色分别为A、B、C、D、E五部分着色，相邻部分不能重色，同一种颜色可以反复使用，则符合这种要求的不同着色方法数为______________.6．有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或者不亮灯，则共可以发出的不同信号有几种( )
A．25 B．52 C．35 D．53C5408. （2012年浙江卷改编）若从1,2,3,…,9这9个数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法有______种. 669．从1到200的自然数中，各个数位上都不含有数字8的自然数有多少个？
解析：从整体看需分类完成， 用分类计数原理．从局部看需分步完成，用分步计数原理．
第一类：一位数中除8外符合要求的有8个(0除外)；
第二类：两位数中，十位上数字除0和8外有8种情况，而个位数字除8外，有9种情况．共有(8×9)个符合要求；
第三类：三位数中，百位上数字是1的，十位和个位上数字除8外均有9种情况，共有(9×9)种．而百位数字上是2的只有200符合．
所以总共有8＋8×9＋9×9＋1＝162(个)．10. 某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A，B，C，A1，B1，C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有多少种？解析：第一步，在点A1，B1，C1上安装灯泡，A1有4种方法，B1有3种方法，C1有2种方法，共有4×3×2=24（种）方法.?
第二步，从A，B，C中选一个点安装第4种颜色的灯泡，有3种方法.?
第三步，再给剩余的两个点安装灯泡，共有3种方法，由分步乘法计数原理可得,共有4×3×2×3×3=216（种）方法.11．已知集合A＝{a，b，c}，集合B＝{－1,0,1}．
(1)从集合A到B能构造多少个不同的映射？
(2)满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0的映射有多少个？
解析：(1)每个元素a，b，c都可以有3个象和它对应，故从A到B能构造3×3×3＝27个不同的映射．
(2)列表如下：
从表中可知满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0的映射有7个．12．用五种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色．
(1)共有多少种不同的涂色方法？
(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？解析：由于1至4号区域各有5种不同的涂法，故依分步计数原理知，不同的涂色方法有54＝625(种)．
(2)第一类：1号区域与3号区域同色时，
有5×4×1×4＝80(种)涂法；第二类：1号区域与3号区域异色时，
有5×4×3×3＝180(种)涂法．
依据分类计数原理知，不同的涂色方法有80＋180＝260(种).
综合性计数问题的求解方法
1．直接综合运用两个原理解决
首先要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次在“分类”和“分步”的过程中，均要确定明确的分类标准和分步程序．
2．利用一些非常规计数问题的解决方法
(1)枚举法：
将各种情况通过树状图、表格等方法一一列举出来，它适用于计数种数较少的情况，分类计数时将问题分类实际上也是将分类种数一一列举出来．(2)间接法：
若计数时分类较多或无法直接计数时，可用间接法先求出没有限制条件的总数，再减去不满足条件的种数，即正难则反．
(3)转换法：
转换问题的角度或转换成其他已知的问题．在实际应用中，应根据具体问题灵活处理．
特别提醒：对于较复杂的既要用分类计数原理，又要用分步计数原理的问题，可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于解题. 感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束
(1)共同点是，它们都是研究_____________共有多少种不同的方法．
(2)不同点是，它们研究完成一件事情的方式不同，加法原理是“__________”，即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事．乘法原理是“__________”，即这些方法需要分步，各个步骤顺次相依，且每一步都完成了，才能完成这件事情．完成一件事情分类完成分步完成基础梳理2．怎样选择应用加法原理、乘法原理？
(1)完成一件事情有n类办法，若每一类办法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成，则计算完成这件事情的方法总数用__________．
(2)完成一件事情有n个步骤，若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分，并且必须且只需完成互相独立的这n步后，才能完成这件事，则计算完成这件事的方法总数用__________．
3．正确区分完成一件事情是分类还是分步．
例如：(1)十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有__________种．加法原理 乘法原理12(2)从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共有________个，其中不同的偶函数共有__________个(用数字作答)．186自测自评1．从A村去B村的道路共有2条，从B村去C村的道路共有3条，从A村直接去C村(不经过B村)的道路有2条，那么从A村去C村，不同走法的种数是________．
2．乘积(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)展开后，共有________项．8n2C3．如下图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有( )
A．6种 B．36种 C．63种 D．64种4．已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数为( )
A．125 B．15 C．100 D．10
C分配问题 (1)8本不同的书，任选了3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？
(2)将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？
(3)3位旅客到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？
解析：(1)分三步，每位同学取书一本，第1,2,3个同学分别有8,7,6种取法，因而由分步乘法计数原理，不同分法共有N＝8×7×6＝336(种)．(2)完成这件事情可以分作四步，第一步投第一封信，可以在3个邮筒中任选一个，因此有3种投法；第二步投第二封信，同样有3种投法；第三步投第三封信，也同样有3种投法；第四步，投第四封信，仍然有3种投法．由分步乘法计数原理，可得出不同的投法共有N＝3×3×3×3＝81(种)．
(3)分三步，每位旅客都有4种不同的住宿方法，因而不同的方法共有N＝4×4×4＝64(种)．
跟踪练习1．(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？
(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？
解析：(1)要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四人都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝81种报名方法．
(2)完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步．而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能情况，于是共有4×4×4＝43＝64种可能的情况．组数问题 用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2 000大的4位偶数？
分析：按末位是0,2,4分三类或千位是2,3,4,5分四类计数或用间接法．解析：法一：按末位是0,2,4分为三类：
第一类：末位是0的有4×4×3＝48(个)；
第二类：末位是2的有3×4×3＝36(个)；
第三类：末位是4的有3×4×3＝36(个)．
则由分类计数原理有N＝48＋36＋36＝120(个)．法二：按千位是2,3,4,5分四类：
第一类：千位是2的有2×4×3＝24(个)；
第二类：千位是3的有3×4×3＝36(个)；
第三类：千位是4的有2×4×3＝24(个)；
第四类：千位是5的有3×4×3＝36(个)．
则由分类计数原理有N＝24＋36＋24＋36＝120(个)．
法三：间接法．
用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类：
第一类：末位是0的有5×4×3＝60(个)；
第二类：末位是2或4的有2×4×4×3＝96(个)．共有60＋96＝156(个)．
其中比2 000小的有：
千位是1的共有3×4×3＝36(个)．
所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个)．
点评：对于组数问题的计数，一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，每类中再分步来计数；但当分类较多时，可用间接法先求出总数，再减去不符合条件的数去计数．跟踪练习2．用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：(1)四位密码？(2)四位数？(3)四位奇数？解析：(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步：第一步：选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N＝5×4×3×2＝120(个)．
(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：第一步：从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字，有4种不同的选取方法；第二步：从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；第三步：从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方法；第四步：从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N＝4×4×3×2＝96(个)．
(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个有两种方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个还有3个可任取一个有3种方法；第三步、第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理共有2×3×3×2＝36(个)．涂色问题 将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48(种)；
当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24(种)．
故共有48＋24＝72(种)不同的涂色方法．跟踪练习3．将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．解析：按照S→A→B→C→D的顺序分类染色．
第一类：A、C染相同颜色有5×4×3×1×3＝180(种)；
第二类：A、C染不同颜色有5×4×3×2×2＝240(种)．
故共有180＋240＝420(种)不同的染色方法．1.（2012年新课标全国卷）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（??）?
A. 12种
B. 10种
C. 9种
D. 8种A2. (2012年全国卷)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
解析：利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有3种,再填写右上角的数为2种,再填写第二行第一列的数有2种,一共有3×2×2=12种.?
答案：A4.如右图中的每个开关都有闭合与不闭合两种，因此5个开关共有25种可能．在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况共有________种．5．在2,3,5,7,11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为( )
A．20 B．10 C．5 D．2416B3．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A．40 B．16 C．13 D．10C7. 如图右所示，用不同的五种颜色分别为A、B、C、D、E五部分着色，相邻部分不能重色，同一种颜色可以反复使用，则符合这种要求的不同着色方法数为______________.6．有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或者不亮灯，则共可以发出的不同信号有几种( )
A．25 B．52 C．35 D．53C5408. （2012年浙江卷改编）若从1,2,3,…,9这9个数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法有______种. 669．从1到200的自然数中，各个数位上都不含有数字8的自然数有多少个？
解析：从整体看需分类完成， 用分类计数原理．从局部看需分步完成，用分步计数原理．
第一类：一位数中除8外符合要求的有8个(0除外)；
第二类：两位数中，十位上数字除0和8外有8种情况，而个位数字除8外，有9种情况．共有(8×9)个符合要求；
第三类：三位数中，百位上数字是1的，十位和个位上数字除8外均有9种情况，共有(9×9)种．而百位数字上是2的只有200符合．
所以总共有8＋8×9＋9×9＋1＝162(个)．10. 某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A，B，C，A1，B1，C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有多少种？解析：第一步，在点A1，B1，C1上安装灯泡，A1有4种方法，B1有3种方法，C1有2种方法，共有4×3×2=24（种）方法.?
第二步，从A，B，C中选一个点安装第4种颜色的灯泡，有3种方法.?
第三步，再给剩余的两个点安装灯泡，共有3种方法，由分步乘法计数原理可得,共有4×3×2×3×3=216（种）方法.11．已知集合A＝{a，b，c}，集合B＝{－1,0,1}．
(1)从集合A到B能构造多少个不同的映射？
(2)满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0的映射有多少个？
解析：(1)每个元素a，b，c都可以有3个象和它对应，故从A到B能构造3×3×3＝27个不同的映射．
(2)列表如下：
从表中可知满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0的映射有7个．12．用五种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色．
(1)共有多少种不同的涂色方法？
(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？解析：由于1至4号区域各有5种不同的涂法，故依分步计数原理知，不同的涂色方法有54＝625(种)．
(2)第一类：1号区域与3号区域同色时，
有5×4×1×4＝80(种)涂法；第二类：1号区域与3号区域异色时，
有5×4×3×3＝180(种)涂法．
依据分类计数原理知，不同的涂色方法有80＋180＝260(种).
综合性计数问题的求解方法
1．直接综合运用两个原理解决
首先要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次在“分类”和“分步”的过程中，均要确定明确的分类标准和分步程序．
2．利用一些非常规计数问题的解决方法
(1)枚举法：
将各种情况通过树状图、表格等方法一一列举出来，它适用于计数种数较少的情况，分类计数时将问题分类实际上也是将分类种数一一列举出来．(2)间接法：
若计数时分类较多或无法直接计数时，可用间接法先求出没有限制条件的总数，再减去不满足条件的种数，即正难则反．
(3)转换法：
转换问题的角度或转换成其他已知的问题．在实际应用中，应根据具体问题灵活处理．
特别提醒：对于较复杂的既要用分类计数原理，又要用分步计数原理的问题，可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于解题. 感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束