2013-2014学年高中数学人教A版选修2-3同步辅导与检测：2.2.2事件的相互独立性

课件50张PPT。2．2　二项分布及其应用随机变量及其分布2.2.2　事件的相互独立性1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念及简单应用．
2．掌握相互独立事件同时发生的概率乘法公式．基础梳理1．事件A是否发生，对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做________事件．
例如：盒中有5个球，其中有3个绿的，2个红的，每次取一个有放回地取两次，设A＝{第一次抽取，取到绿球}，B＝{第二次抽取，取到绿球}，则P(A)＝________，P(B)＝________.相互独立相互独立相互独立相互独立3．两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(AB)＝____________.
例如：甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙坛子里有2个白球，2个黑球，从中分别摸出1个球，则它们都是白球的概率是___________________________________________________．
推广：一般地，如果事件a1，a2，… ，an相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即________________________________________________________________________．P(A)·P(B)P(a1·a2·…·an)＝P(a1)·P(a2)·…·P(an)例如：如果A，B，C是三个相互独立的事件，那么1－P(A)·P(B)·P(C)表示________________________________________________________________________．
4．互斥事件与独立事件三个相互独立的事件A，B，C中至少有一个不发生的概率例如：有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7，在两批种子中各取一粒，A＝{由甲批中取出一个能发芽的种子}，B＝{由乙批中抽出一个能发芽的种子}，问：
(1)A，B两事件是否互斥？是否互相独立？
(2)两粒种子都能发芽的概率？(1)A，B两事件不互斥，是互相独立事件．
(2)∵A·B＝两粒种子都能发芽，
∴P(A·B)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.7＝0.56.自测自评1．下列事件，A，B是独立事件的是(　　)
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两个球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一颗骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”A2．(2011年青岛二模)甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P1，乙解决这个问题的概率是P2，那么其中至少有一人解决这个问题的概率是(　　)
A．P1＋P2　　　　　　B．P1·P2
C．1－P1·P2 D．1－(1－P1)·(1－P2)
解析：至少有1人能解决这个问题的对立事件是两人都不能解决，两人解决问题是相互独立的，故所求概率为1－(1－p1)(1－p2)．
答案：D
答案：B独立事件的概念 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性．
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
解析：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率各为 .
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}．
于是P(A)＝ ，P(B)＝ ，P(AB)＝ .
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)．
所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为 ，这时：
A中含有6个基本事件，
B中含有4个基本事件，
AB中含有3个基本事件．
从而事件A与B是相互独立的．
点评：当两个事件A，B互斥时，有加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；当两个事件相互独立时，则有乘法公式P(AB)＝P(A)P(B)．跟踪练习1．判断下列各题中给出的事件是否是相互独立事件：
(1)甲盒中有6个白球、4个黑球，乙盒中有3个白球、5个黑球．从甲盒中摸出一个球称为甲试验，从乙盒中摸出一个球称为乙试验，事件A1表示“从甲盒中取出的是白球”，事件B1表示“从乙盒中取出的是白球”．
(2)盒中有4个白球、3个黑球，从盒中陆续取出两个球，用A2表示事件“第一次取出的是白球”，把取出的球放回盒中，事件B2表示事件“第二次取出的是白球”．
(3)盒中有4个白球、3个黑球，从盒中陆续取出两个球，用A3表示“第一次取出的是白球”，取出的球不放回，用B3表示“第二次取出的是白球”．解析：(1)甲试验与乙试验是两个相互独立的试验．事件A1和B1是否发生，相互之间没有影响，故事件A1与事件B1是相互独立事件．
(2)在有放回的取球中，事件A2与B2是否发生相互之间没有任何影响，因而它们是相互独立事件．
(3)在不放回的取球中，事件A3发生后，事件B3的概率发生了改变，因此，A3与B3不是相互独立事件．相互独立事件同时发生的概率 一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：
(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；
(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．
解析：记：“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．跟踪练习2．甲、乙两个人独立地破译密码的概率分别为 和 ，求：
(1)两个人都译出密码的概率；
(2)两个人都译不出密码的概率；
(3)恰有一人译出密码的概率；
(4)至多一个人译出密码的概率；
(5)至少一个人译出密码的概率．
独立事件与互斥事件的综合应用　 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：
(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；
(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．解析：记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；
记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；
记C表示事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买”；
记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”；
记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”．跟踪练习3．甲、乙、丙三人各自向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.8.如果只有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2；如果有两人击中，则飞机被击落的概率是0.6；如果三人都击中，则飞机一定被击落．求飞机被击落的概率．分析：利用相互独立事件同时发生的概率求解．解析：设甲、乙、丙三人击中飞机的事件分别为A，B，C，依题意知，A，B，C相互独立，故所求的概率为＝(0.4×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.8)×0.2＋(0.4×0.5×0.2＋0.4×0.5×0.8＋0.6×0.5×0.8)×0.6＋0.4×0.5×0.8＝0.492.
1．从甲袋内摸出1个白球的概率为 ，从乙袋内摸出1个白球的概率是 ，从两个袋内各摸1个球，那么概率为 的事件是(　　)
A．2个球都是白球　　　 B．2个球都不是白球
C．2个球不都是白球 D．2个球中恰好有一个白球答案：C2．投掷一枚均匀硬币和一颗均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是(　　)答案：C3．甲、乙两门高射炮同时向一敌机开炮，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.8，敌机被击中的概率为________．
解析：1－0.4×0.2＝0.92.
答案：0.924．如右图，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)是________．解析：1－0.1×0.2×0.3＝0.994.
答案：0.9945．某条道路的A，B，C三处设有交通灯，这三灯盏在一分钟内平均开放绿灯的时间为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 ．
6．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为______(用数字作答)．________解析：分情况讨论：若共有3人被治愈，则 P1＝ 0.93× (1－0.9)＝0.291 6.
若共有4人被治愈，则P2＝0.94＝0.6561.故至少有3人被治愈的概率为
P＝P1＋P2＝0.947 7.7．一射手对同一目标独立地射击4次，若至少命中一次的概率为 ，则该射手一次射击的命中率为 ．________解析：因为A，B断开且C，D至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮，所以灯不亮的概率为9．已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为 ，求灯亮的概率．10．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学得300分的概率；
(2)求这名同学至少得300分的概率．
分析：写出这名同学得300分及至少得300分所包含的事件，并弄清它们的独立性及互斥性，代入概率公式可求解．解析：记P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.6.
(1)事件“这名同学得300分”可表示为＝0.8×(1－0.7)×0.6＋(1－0.8)×0.7×0.6＝0.228.
(2)“这名同学至少得300分”可理解为这名同学得300分或400分，所以该事件可表示为
0．228＋P(A)·P(B)·P(C)＝
0．228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.点评：此类题目主要是融互斥事件与相互独立事件于一体，重在分析各事件间的关系．解答此类题目时， 应先分析待求事件由几部分基本事件组成，如果彼此互斥，则利用互斥事件公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，然后就每部分事件A，B借助于相互独立事件公式求解．当对立事件概率易求时，也可以用对立事件概率公式P(A)＝1－P( )转化．11．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 ，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 .甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 .
(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．解析：(1)设A，B，C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．12.(2012年四川卷)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为 和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ，求p的值；
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ. 所以，随机变量ξ的概率分布列为：
故随机变量X的数学期望为： 1．判断事件相互独立的方法
(1)通过题目中的条件判断出两事件是在相同条件下进行的两个随机试验，从而判断两事件相互独立，如有放回地摸球、掷3次同一枚硬币、两人射击等．
(2)利用事件相互独立的充要条件：若P(AB)＝P(A)·P(B)，则A，B相互独立，这种方法通常用在题目条件较复杂的情况中．2．互斥事件、对立事件、相互独立事件之间的区别
(1)两个事件互斥：A∩B＝?，即A与B不能同时发生，此时有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)两个事件对立：A与B互斥且A，B中必有一个发生，此时有P(A)＋P(B)＝1，但反过来P(A)＋P(B)＝1不能推出A与B对立．
(3)两个事件相互独立等价于P(AB)＝P(A)·P(B)，意味着事件A，B的发生互不影响，当然可能同时发生，也可能不同时发生．3．对一些关键词的理解
在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的意义．已知两个事件A，B，它们发生的概率分别为P(A)，P(B)，那么A，B中至少有一个发生的事件为A∪B；
A，B都发生的事件为AB；
它们之间的概率关系如下表所示：
特别提醒：利用对立事件概率公式P(A)＝1－P( )，将复杂事件转化为它的对立事件，体现了转化的数学思想.感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束