2013-2014学年高中数学人教A版选修2-3同步辅导与检测：2.3.2离散型随机变量的方差

课件37张PPT。2.3　离散型随机变量的均值与方差随机变量及其分布2.3.2　离散型随机变量的方差1．通过实例，理解取有限值的离散型随机变量方差的概念．
2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．1．一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
则称DX＝ 为X的________，称σX＝ 为________．
X的方差的意义：反映了随机变量取值偏离于________的平均程度；刻画随机变量__________________的量．基础梳理____________方差标准差均值离散程度(集中程度)例如：已知某离散型随机变量ξ的分布列如下，则a＝______，数学均值(期望)Eξ＝______，方差Dξ＝________.
2.一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么DX＝__________.
3．一般地：随机变量η与随机变量ξ满足关系η＝aξ＋b，其中a，b为常数，则Dη＝______________.n＝6　p＝0.40.410.8p(1－p)a2Dξ4．若ξ～B(n，p)，则Dξ＝________.
例如：设ξ～B(n，p)，且Eξ＝2.4，Dξ＝1.44，求n，p.np(1－p)自测自评1．下面关于离散型随机变量的期望与方差的叙述不正确的是(　　)
A．数学期望反映随机变量取值的平均水平，方差反映随机变量取值的集中与离散的程度
B．离散型随机变量的期望与方差都是一个数值，它们不随试验结果而变化
C．离散型随机变量的数学期望是区间[0,1]上的一个数
D．离散型随机变量的方差是非负的C　2．设随机变量ξ服从二项分布B ，则Dξ的值为(　　)
3．已知X的概率分布如下，则DX＝________.
4．设掷1骰子的点数为X，则(　　)
A．EX＝3.5，DX＝3.52 B．EX＝3.5，DX＝
C．EX＝3.5，DX＝3.5 D．EX＝3.5，DX＝BC0.61方差与标准差的计算 已知离散型随机变量X的概率分布为：

求其均值与方差．点评：若给出分布列求方差可直接套用方差公式计算，否则应先求其概率分布．
命题方向：随机变量函数的方差．跟踪练习1．已知随机变量X的分布列为如下表，试求Dξ和D(2ξ－1).分析：已知分布列求方差，可先求出期望值，再套用公式计算．解析：Eξ＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8.
∴Dξ＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.
对于D(2ξ－1)，可用两种方法求解．法一：2ξ－1的分布列如下：
∴E(2ξ－1)＝2.6.
∴D(2ξ－1)＝(－1－2.6)2×0.2＋(1－2.6)2×0.2＋(3－2.6)2×0.3＋(5－2.6)2×0.2＋(7－2.6)2×0.1＝6.24.
法二：利用方差的性质D(aX＋b)＝a2DX.
∵Dξ＝1.56，
∴D(2ξ－1)＝4Dξ＝4×1.56＝6.24.均值与方差的综合应用　 编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是ξ，求Dξ．
分析：先求ξ的概率分布，再求Eξ，最后求Dξ.点评：求离散型随机变量的方差的关键有以下三点：
(1)写出离散型随机变量的概率分布；
(2)准确求出数学期望；
(3)正确应用方差定义进行计算(注意两点分布、二项分布、超几何分布的期望与方差公式的应用)．跟踪练习2．已知某运动员投篮命中率p＝0.6.
(1)求一次投篮时命中次数ξ的期望与方差；
(2)求重复5次投篮时，命中次数η的期望与方差．分析：(1)投篮一次可能投中，也可能不中，投中次数ξ服从两点分布．
(2)重复五次投篮的投中次数ξ服从二项分布．解析：(1)投篮一次命中次数ξ的分布列为：则Eξ＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，
Dξ＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.
(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数η服从二项分布，即η～B(5,0.6)．
由二项分布期望与方差的计算公式，有
Eξ＝5×0.6＝3，Dξ＝5×0.6×0.4＝1.2.点评：求离散型随机变量的期望与方差的关键环节有以下两点：
(1)写出离散型随机变量的分布列；
(2)正确应用期望与方差公式进行计算(要熟练掌握两点分布、二项分布的期望与方差的公式)．均值与方差在实际问题中的应用 设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下：
求q的值，并求Eξ，Dξ.点评：一定要注意分布列的性质．跟踪练习3．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的分布列，期望和方差；
(2)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值．(2)由D(aξ＋b)＝a2Dξ＝11，E(aξ＋b)＝aEξ＋b＝1，及Eξ＝1.5，Dξ＝2.75，得2.75a2＝11,1.5a＋b＝1，解得a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4.二项分布与两点分布的方差 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳．各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望Eξ为3，标准差σξ为 .
(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．6跟踪练习4．一次数学测验由25道选择题构成，答正确得4分，不作答或答错不得分，某学生选对任一题的概率为0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差．
解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为ξ，所得的分数为η，同η＝4ξ，由题意知ξ～B(25，0.6)，则
Eξ＝25×0.6＝15，Dξ＝25×0.6×0.4＝6，Eη＝E(4ξ)＝4Eξ＝60，Dη＝D(4ξ)＝42×Dξ＝96.
所以该学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别是60和96.1．已知随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝k)＝ ，k＝1,2,3，则D(3ξ＋5)＝(　　)
A．6 B．9 C．3 D．4AC3．设一随机试验的结果只有A和 ，且P(A)＝p，令随机变量X＝ ，则X的方差DX等于(　　)
A．p B．2p(1－p) C．－p(1－p) D．p(1－p)1　A出现?
0　A不出现4．由以往的统计资料说明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为：
则成绩较稳定的是________．D甲6．设随机变量X～B(n，p)，且EX＝1.6，DX＝1.28，则(　　)
A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45A5.已知η＝3ξ＋ ，且Dξ＝13，那么Dη的值为(　　)．
A．39 B．117 C．39 D．117 7．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为(　　)答案：D0.499．有三张形状、大小、质地完全一样的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ＝x·y，求：
(1)ξ的概率分布；
(2)随机变量ξ的数学期望与方差．ξ的分布列如下：11．(2011年湖南卷) 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.
(1)求当天商品不进货的概率；
(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望.
12．已知离散型随机变量X的分布列如下表．若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束