2013-2014学年高中数学人教A版选修2-3同步辅导与检测：3.1.1线性回归方程
文档属性
| 名称 | 2013-2014学年高中数学人教A版选修2-3同步辅导与检测：3.1.1线性回归方程 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-03-04 12:51:33 | ||
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文档简介
课件50张PPT。3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3．1.1 线性回归方程统 计 案 例通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用．基础梳理1．回归分析是对具有________的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
例如：身高与体重有关系可以用______分析的方法来研究．( )
A．残差 B．回归
C．二维条形图 D．独立检验相关关系B2．从散点图看，若样本点集中在某一条直线附近，则可用下面的线性回归模型来表示：________________.其中a和b为模型的未知参数，e称为________．把a和b称为未知参数a和b的________，
例如：从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：
^^y＝bx＋a＋e随机误差最好估计由此建立的身高与体重的回归模型为y＝0.849x－85.712，用这个模型预报一名身高为172 cm的女大学生的体重，则正确的叙述是( )
A．体重一定是60.316 kg
B．体重在60.316 kg以上
C．体重在60.316 kg左右
D．体重在60.316 kg以下3．相关系数：r＝ .C当r＞0时，两个变量________相关；当r＜0时，两个变量________相关；相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系________，它们的散点图越接近________，这时用线性回归模型拟合这组数据就________．此时建立的线性回归模型是有意义的．
4．总偏差平方和、残差平方和、回归平方和、相关指数：
正负越强一条直线越好相关指数：____________________，R2的值越大，说明____________越小，模型的拟合效果________．
例如：在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了甲、乙两个不同的模型，它们的相关指数R2如下：
则________模型拟合的效果更好． 越好残差平方和甲自测自评1．下列变量是相关关系的是( )
A．人的身高与视力
B．角的大小与所对的圆弧长
C．收入水平与消费水平
D．人的年龄与身高
2．若线性回归方程中的回归系数 b ＝0，则相关系数为________．^D03.(2011年长沙一中月考)在对两个变量x、y进行线性回归分析时一般有下列步骤：
①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可靠性要求能够判定变量x，y具有线性相关性，则在下列操作顺序中正确的是( )
A．①②⑤③④ B．③②④⑤①
C．②④③①⑤ D．②⑤④③①D4.(2012年江门一模)有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表：
根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间线性回归方程y＝ x＋ 的系数 ＝－2.4.则预测平均气温为－8 ℃时该商品销售额为( )
A．34.6万元 B．35.6万元
C．36.6万元 D．37.6万元线性回归分析 研究某灌溉渠道水的流速y与水深x之 间的关系，测得一组数据如下：
(1)求y对x的回归直线方程；
(2)预测水深为1.95 m时水的流速是多少？分析：从散点图可以直观地看出变量x与y之间有无线性相关关系，为此把这8对数据描绘在平面直角坐标系中，得到平面上8个点，如下图所示．解析：数据列表如下：由图容易看出，x与y之间有线性相关关系．故可用线性回归模型解决．y对x的回归直线方程为y＝0.694＋0.733x.
回归系数b＝0.733的含义是，在此灌溉渠道中，水深每增加0.1 m，水的流速平均增加0.733 m/s， a＝0.694可以解释为水的流速中不受水深影响的部分．
(2)由(1)中求出的回归直线方程，把x＝1.95代入，易得 y＝0.694＋0.733×1.95≈2.12(m/s)．
计算结果表明，当水深为1.95 m时可以预测渠水的流速约为2.12 m/s.
^^^^跟踪练习1．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为：
(1)画出散点图；
(2)求出y对x的回归方程；
(3)如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t)解析：(1)散点图如右图所示：残差分析 假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；
(2)求y与x之间的回归方程，并对于基本苗数56.7预报有效穗；
(3)计算各组残差，并计算残差平方和；
(4)求相关指数R2，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几．解析：(1)散点图如下：
(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．跟踪练习2．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：
(1)求回归方程；
(2)判断(1)中所得回归模型拟合效果如何．
解析：(1)根据表中数据作出散点图，从而可以判断出用线性回归模型来拟合数据．
计算得加工时间对零件数的线性回归方程为y＝0.668x＋54.93.
残差数据如下表：^^^(2)以零件数为横坐标，残差为纵坐标作出残差图如图所示：
由图可知，残差点分布较均匀，即用上述回归模型拟合数据效果很好．但需注意，由残差图也可以看出，第4个样本点和第5个样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错误．非线性回归分析 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
试建立y与x之间的回归方程．由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝ln y.
解析：根据上表中的数据画出散点图如右图所示：画出散点图如下图所示．
由表中数据可得z与x之间的回归直线方程：
z＝0.693＋0.020x，则有 y＝e0.693＋0.020x.
^^跟踪练习3．若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，由例3中求出的回归方程，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为82 kg的在校男生体重是否正常？1．对于线性相关系数r，下列说法中正确的是( )
A．|r|∈(－∞，＋∞)，|r|越大，相关程度越大；反之，相关程度越小
B．|r|≤1，r越大，相关程度越大；反之，相关程度越小
C．|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相差程度越小
D．以上说法都不正确C2．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心(4,5)，则回归直线方程为( )
A. y＝1.23x＋0.08 B. y＝0.08x＋1.23
C. y＝1.23x＋4 D. y＝1.23x＋5^^^^AC4．①任何两个变量之间一定是线性相关的；
②线性回归方程的拟合效果与选择数据多少无关；
③函数关系一定是相关关系；
④如果样本点只有两个，则用最小二乘法计算得到的直线方程与两点式求出的方程一致．
上述说法中错误的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个D5．(2011年山东卷)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程 y＝ bx＋ a中的b为＋9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元^^^^答案：B6．收集一只棉铃虫的产卵数y与温度x的几组数据后发现两个变量有相关关系，并按不同的曲线来拟合y与x之间的关系，算出了对应的相关指数R2的值如下表：B7．(2011年广东卷)某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.185则能体现A，B两个变量有更强的线性相关性的为___________________________.?
答案：丁9．在10年期间，一城市居民年收入与某种商品的销售额之间的关系见下表：(1)画出散点图；
(2)如果散点图中各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的线性回归方程；
(3)试预测居民年收入50亿元时这种商品的销售额．故所求线性回归方程为 y＝1.447x－15.84.
(3)根据上面求得的线性回归方程，当居民年收入50亿元时， y＝1.447×50－15.84＝56.51(万元)，
即这种商品销售额大约为56.51万元．^^10．为了研究三月下旬的平均气温(x)与四月二十号前棉花害虫化蛹高峰日(y)的关系，某地区观察了2007年至2012年的情况，得到下面的数据：
据气象台预测，该地区在2013年三月下旬平均气温为 27 ℃，试估计2013年四月化蛹高峰日为哪天？
∴回归直线方程为 y＝－2.2x＋71.6.
当x＝27时，y＝－2.2×27＋71.6＝12.2.
据此，可估计该地区2013年4月12日或13日为化蛹高峰日．^^11．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)^^解析：(1)如图：
故线性回归方程为y＝0.7x＋0.35.
(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．1．确定线性回归方程的步骤3．非线性回归问题
在大量实际问题中，研究的两个变量不一定都呈现线性相关关系，它们之间可能呈现指数关系或对数关系等非线性关系．此时可以由已知的数据画出散点图，并把散点图与已经学习过的各种函数，如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比较，挑出跟这些散点拟合最好的函数，然后再采用数量的置换，把问题转化为线性回归分析问题．如y＝c1ec2x，可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，令z＝ln y则变换后样本点应该分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围．特别提醒：(1)将幂型函数y＝axm(a为正的常数，x，y取正值)化为线性函数．
如果将y＝axm两边同取以10为底的对数，则有
lg y＝mlg x＋lg a.
令u＝lg y，v＝lg x，lg a＝b，代入上式，得u＝mv＋b，其中m，b是常数．这是u，v的线性函数．如果以u为纵坐标，v为横坐标，则u＝mv＋b的图形就是一直线．
(2)将指数型函数y＝cax(a＞0，c＞0且为常数)化为线性函数．将y＝cax两边同取以10为底的对数，有lg y＝
xlg a＋lg c，令lg y＝u，lg a＝k，lg c＝b，得u＝kx＋b，其中，k和b是常数.感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束
例如：身高与体重有关系可以用______分析的方法来研究．( )
A．残差 B．回归
C．二维条形图 D．独立检验相关关系B2．从散点图看，若样本点集中在某一条直线附近，则可用下面的线性回归模型来表示：________________.其中a和b为模型的未知参数，e称为________．把a和b称为未知参数a和b的________，
例如：从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：
^^y＝bx＋a＋e随机误差最好估计由此建立的身高与体重的回归模型为y＝0.849x－85.712，用这个模型预报一名身高为172 cm的女大学生的体重，则正确的叙述是( )
A．体重一定是60.316 kg
B．体重在60.316 kg以上
C．体重在60.316 kg左右
D．体重在60.316 kg以下3．相关系数：r＝ .C当r＞0时，两个变量________相关；当r＜0时，两个变量________相关；相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系________，它们的散点图越接近________，这时用线性回归模型拟合这组数据就________．此时建立的线性回归模型是有意义的．
4．总偏差平方和、残差平方和、回归平方和、相关指数：
正负越强一条直线越好相关指数：____________________，R2的值越大，说明____________越小，模型的拟合效果________．
例如：在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了甲、乙两个不同的模型，它们的相关指数R2如下：
则________模型拟合的效果更好． 越好残差平方和甲自测自评1．下列变量是相关关系的是( )
A．人的身高与视力
B．角的大小与所对的圆弧长
C．收入水平与消费水平
D．人的年龄与身高
2．若线性回归方程中的回归系数 b ＝0，则相关系数为________．^D03.(2011年长沙一中月考)在对两个变量x、y进行线性回归分析时一般有下列步骤：
①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可靠性要求能够判定变量x，y具有线性相关性，则在下列操作顺序中正确的是( )
A．①②⑤③④ B．③②④⑤①
C．②④③①⑤ D．②⑤④③①D4.(2012年江门一模)有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表：
根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间线性回归方程y＝ x＋ 的系数 ＝－2.4.则预测平均气温为－8 ℃时该商品销售额为( )
A．34.6万元 B．35.6万元
C．36.6万元 D．37.6万元线性回归分析 研究某灌溉渠道水的流速y与水深x之 间的关系，测得一组数据如下：
(1)求y对x的回归直线方程；
(2)预测水深为1.95 m时水的流速是多少？分析：从散点图可以直观地看出变量x与y之间有无线性相关关系，为此把这8对数据描绘在平面直角坐标系中，得到平面上8个点，如下图所示．解析：数据列表如下：由图容易看出，x与y之间有线性相关关系．故可用线性回归模型解决．y对x的回归直线方程为y＝0.694＋0.733x.
回归系数b＝0.733的含义是，在此灌溉渠道中，水深每增加0.1 m，水的流速平均增加0.733 m/s， a＝0.694可以解释为水的流速中不受水深影响的部分．
(2)由(1)中求出的回归直线方程，把x＝1.95代入，易得 y＝0.694＋0.733×1.95≈2.12(m/s)．
计算结果表明，当水深为1.95 m时可以预测渠水的流速约为2.12 m/s.
^^^^跟踪练习1．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为：
(1)画出散点图；
(2)求出y对x的回归方程；
(3)如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t)解析：(1)散点图如右图所示：残差分析 假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；
(2)求y与x之间的回归方程，并对于基本苗数56.7预报有效穗；
(3)计算各组残差，并计算残差平方和；
(4)求相关指数R2，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几．解析：(1)散点图如下：
(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．跟踪练习2．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：
(1)求回归方程；
(2)判断(1)中所得回归模型拟合效果如何．
解析：(1)根据表中数据作出散点图，从而可以判断出用线性回归模型来拟合数据．
计算得加工时间对零件数的线性回归方程为y＝0.668x＋54.93.
残差数据如下表：^^^(2)以零件数为横坐标，残差为纵坐标作出残差图如图所示：
由图可知，残差点分布较均匀，即用上述回归模型拟合数据效果很好．但需注意，由残差图也可以看出，第4个样本点和第5个样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错误．非线性回归分析 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
试建立y与x之间的回归方程．由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝ln y.
解析：根据上表中的数据画出散点图如右图所示：画出散点图如下图所示．
由表中数据可得z与x之间的回归直线方程：
z＝0.693＋0.020x，则有 y＝e0.693＋0.020x.
^^跟踪练习3．若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，由例3中求出的回归方程，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为82 kg的在校男生体重是否正常？1．对于线性相关系数r，下列说法中正确的是( )
A．|r|∈(－∞，＋∞)，|r|越大，相关程度越大；反之，相关程度越小
B．|r|≤1，r越大，相关程度越大；反之，相关程度越小
C．|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相差程度越小
D．以上说法都不正确C2．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心(4,5)，则回归直线方程为( )
A. y＝1.23x＋0.08 B. y＝0.08x＋1.23
C. y＝1.23x＋4 D. y＝1.23x＋5^^^^AC4．①任何两个变量之间一定是线性相关的；
②线性回归方程的拟合效果与选择数据多少无关；
③函数关系一定是相关关系；
④如果样本点只有两个，则用最小二乘法计算得到的直线方程与两点式求出的方程一致．
上述说法中错误的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个D5．(2011年山东卷)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程 y＝ bx＋ a中的b为＋9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元^^^^答案：B6．收集一只棉铃虫的产卵数y与温度x的几组数据后发现两个变量有相关关系，并按不同的曲线来拟合y与x之间的关系，算出了对应的相关指数R2的值如下表：B7．(2011年广东卷)某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.185则能体现A，B两个变量有更强的线性相关性的为___________________________.?
答案：丁9．在10年期间，一城市居民年收入与某种商品的销售额之间的关系见下表：(1)画出散点图；
(2)如果散点图中各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的线性回归方程；
(3)试预测居民年收入50亿元时这种商品的销售额．故所求线性回归方程为 y＝1.447x－15.84.
(3)根据上面求得的线性回归方程，当居民年收入50亿元时， y＝1.447×50－15.84＝56.51(万元)，
即这种商品销售额大约为56.51万元．^^10．为了研究三月下旬的平均气温(x)与四月二十号前棉花害虫化蛹高峰日(y)的关系，某地区观察了2007年至2012年的情况，得到下面的数据：
据气象台预测，该地区在2013年三月下旬平均气温为 27 ℃，试估计2013年四月化蛹高峰日为哪天？
∴回归直线方程为 y＝－2.2x＋71.6.
当x＝27时，y＝－2.2×27＋71.6＝12.2.
据此，可估计该地区2013年4月12日或13日为化蛹高峰日．^^11．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)^^解析：(1)如图：
故线性回归方程为y＝0.7x＋0.35.
(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．1．确定线性回归方程的步骤3．非线性回归问题
在大量实际问题中，研究的两个变量不一定都呈现线性相关关系，它们之间可能呈现指数关系或对数关系等非线性关系．此时可以由已知的数据画出散点图，并把散点图与已经学习过的各种函数，如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比较，挑出跟这些散点拟合最好的函数，然后再采用数量的置换，把问题转化为线性回归分析问题．如y＝c1ec2x，可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，令z＝ln y则变换后样本点应该分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围．特别提醒：(1)将幂型函数y＝axm(a为正的常数，x，y取正值)化为线性函数．
如果将y＝axm两边同取以10为底的对数，则有
lg y＝mlg x＋lg a.
令u＝lg y，v＝lg x，lg a＝b，代入上式，得u＝mv＋b，其中m，b是常数．这是u，v的线性函数．如果以u为纵坐标，v为横坐标，则u＝mv＋b的图形就是一直线．
(2)将指数型函数y＝cax(a＞0，c＞0且为常数)化为线性函数．将y＝cax两边同取以10为底的对数，有lg y＝
xlg a＋lg c，令lg y＝u，lg a＝k，lg c＝b，得u＝kx＋b，其中，k和b是常数.感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束