2013-2014学年高中数学人教A版选修2-1同步辅导与检测：1.2.2充要条件

课件20张PPT。常用逻辑用语 1.2　充分条件与必要条件
1.2.2　充要条件 1．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
2．会分析四种命题的相互关系．基础梳理1．命题“若p则q”为真时，就记作p?q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假．
2．若A?B且B?A，则称A是B的充要条件．也说A等价于B，即A?B.
例：x>y是x－y>0的充要条件．自测自评1．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件A 1＜x＜2 3．条件p：|x|>1，条件q：x<－2，则綈p是綈q的(　　)
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件又不是必要条件A 充分条件、必要条件与充要条件的判断 在下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1)p：a＞b，q：a2＞b2；
(2)p：两直线平行，q：内错角相等；
(3)p：直线l与平面α所成角大小为90°，q：l⊥α；
(4)函数f(x)＝logax(a＞1)，p：f(x1)＞f(x2)，q：x1＞x2＞0.
解析：在(1)中，p q，q p，所以(1)中的p不是q的充要条件．
在(2)(3)(4)中，p?q，所以(2)(3)(4)中的p是q的充要条件．跟踪训练1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?
(1)p：△ABC中，b2＞a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；
(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.解析：(1)p是q的充分不必要条件．(2)p是q的必要不充分条件．(3)p是q的充要条件．充要条件的证明 试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
证明：必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝ ＜0.
所以ac＜0.
充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝ ＜0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．跟踪训练2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2的充要条件是4a＋2b＋c＝0.证明：先证必要性：
∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，
∴x＝2满足方程ax2＋bx＋c＝0，
∴a·22＋b·2＋c＝0，即4a＋2b＋c＝0，∴必要性成立．
再证充分性：∵4a＋2b＋c＝0，
∴c＝－4a－2b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－4a－2b＝0，即(x－2)(ax＋2a＋b)＝0.
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，∴充分性成立．
因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2的充要条件是4a＋2b＋c＝0.一、选择填空题
1．a＝1是两直线x＋ay＝2a＋2与ax＋y＝a＋1平行的(　　)
A．充要条件　　　　　
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件A 2．“m＝－ ”是“直线(m－2)x＋3my＋1＝0与直线(m＋2)x＋(m－2)y－3＝0相互垂直”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：两直线垂直用(m－2)(m＋2)＋(m－2)·3m＝0求解．
答案：A1．判断充要条件的三种方法
(1)定义法：首先分清条件和结论，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件；
(2)从集合角度解释，利用集合间的包含关系判断：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若B?A，则A是B的必要条件或B是A的充分条件；若A＝B，则A、B互为充要条件；
(3)等价法：即利用等价关系“A?B?綈B?綈A”判断，对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题，一般运用等价法．2．理解“充要条件”的概念，对于符号“?”要熟悉它的各种同义词语“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，……，“反之也真”等．
3．数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质．
4．证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性)．祝您学业有成