2013-2014学年高中数学人教A版选修2-1同步辅导与检测：2.3.1双曲线及其标准方程

课件25张PPT。圆锥曲线与方程 2.3　双曲线
2.3.1　双曲线及其标准方程 1．了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2．了解双曲线的定义、几何图形、标准方程．基础梳理 1．双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
例：动点P到点M(－2,0)及点N(2,0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是(　　)
A．双曲线　　　　　　B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
2．取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如下图所示直角坐标系．设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c，那么F1、F2的坐标分别是(－c,0)、(c,0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a，b2
＝c2－a2，双曲线的标准方程为 (a＞0，b＞0)．A 例：焦点在x轴上的双曲线中，a＝3，b＝4，双曲线的标准方程为______________．
3．取过焦点F1、F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立直角坐标系．设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(0，－c)、(0，c)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值
等于常数2a，b2＝c2－a2，双曲线的标准方程为： (a＞0，b＞0)．例：焦点在y轴上的双曲线中，a＝3，c＝4，双曲线的标准方程为____________．
4．设P是双曲线 上一点， F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|＝8，则|PF2|等于(　　)
A．6或10　　B．4　　C．4或12　　D．12C 自测自评1．点F1，F2是两个定点，动点P满足 ＝2a (a为非负常数)，则动点P的轨迹是(　　)
A．两条射线
B．一条直线
C．双曲线
D．前三种情况都有可能
2．双曲线 的焦点坐标是(　　)
A．(± ，0)　　　　　 B．(0，± )
C．(±1,0) D．(0，±1)D A 3．双曲线 上一点P到点(5,0)的距离为15，则点P到点(－5,0)的距离为(　　)
A．7 B．23
C．7或23 D．5或25C 求双曲线的标准方程 　 (1)求焦点是F1(0，－4)，F2(0,4)且过点P(2 ，－6)的双曲线的标准方程；
(2)求焦点在y轴上，且过点P1(3，－4)，P2 的双曲线的标准方程．跟踪训练1．根据下列条件，分别求双曲线的标准方程．
(1)过点 ，且焦点在坐标轴上；
(2)c＝ ，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．分析：求标准方程要先定位再定量．点评：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．双曲线的定义 在△ABC中，已知|BC|＝4，且sin C－sin B＝ sin A，求顶点A的轨迹方程．解析：以BC所在直线为x轴，以线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如右图所示，则B(－2,0)，C(2,0)．
∵sin C－sin B＝ sin A，
∴|AB|－|AC|＝ |BC|＝2，
∴动点A(x，y)的轨迹是以B(－2,0)，C(2,0)为焦点的双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
∵2c＝4,2a＝2，∴c＝2，a＝1，∴b2＝c2－a2＝3.
∴顶点A的轨迹方程为x2－ ＝1(x＞1)．点评：(1)选取的坐标系不同，则曲线的方程不同，但曲线的形状不会发生变化，解题中，要注意合理选取坐标系，这样能使所求曲线的方程更简洁．
(2)如果曲线是实际问题得到的，要注意到曲线的范围使实际问题有意义．跟踪训练2．已知定点A(3,0)和定圆C：(x＋3)2＋y2＝16，动圆和圆C相外切，并且过点A，求动圆圆心P的轨迹方程．答案：双曲线的定义及标准方程的应用 若方程 表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围．跟踪训练 3．求与双曲线 有公共焦点，且过点(3 ，2)的双曲线方程．一、选择填空题
1．双曲线 焦点在y轴上，则(　　)
A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0
C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0C D 1．到两个定点的距离差为常数(小于两个定点的距离)的点的轨迹是双曲线的一支；到两个定点的距离差的绝对值为常数(小于两个定点的距离)的点的轨迹是双曲线；到两个定点的距离差为常数(等于两个定点的距离)的点的轨迹是射线；
2．双曲线中a、b、c的关系是c2＝a2＋b2，与椭圆不同；
3．双曲线中a、b的大小关系不确定，当a＝b时叫等轴双曲线；
4．双曲线求解方式可借鉴椭圆的解法，但注意不要混淆；
5. 表示双曲线的充要条件是mn＜0.祝您学业有成