2013-2014学年高中数学人教A版选修2-1同步辅导与检测:3.2.1利用空间向量证明平行、垂直问题

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名称 2013-2014学年高中数学人教A版选修2-1同步辅导与检测:3.2.1利用空间向量证明平行、垂直问题
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资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2014-03-05 06:27:43

文档简介

课件26张PPT。3.2 立体几何中的向量方法
3.2.1 利用空间向量证明平行、垂直问题(一)空间向量与立体几何 1.理解空间点、直线、平面的向量表示方法.
2.能用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.
3.用向量方法证明空间中的平行关系.
4.用向量方法证明空间中的垂直关系.基础梳理1.在空间中我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P的位置就可以用向量 来确定.我们把向量 __________叫做点P的位置向量.
2.点A是直线l上一点,向量a 表示直线l的方向(方向向量).在直线l上取 =a,那么对于直线上任意一点P,一定存在实数t,使得________.
3.空间中平面α的位置可以由α内______________来确定.
设这两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为 a和b,P为平面α上任意一点,由平面向量基本定理可知,存在有序实数对(x,y),使得__________________.两条相交直线 4.直线l⊥α ,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.
5.可以利用______________________________表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.
6.证明两条直线平行,只要证明这两条直线的方向向量是____________.
7.证明两条直线垂直,只要证明这两条直线的方向向量______.
8.空间中的平行共有:____________________________.
9.空间中的垂直共有:____________________________.直线的方向向量与平面的法向量 平行(或共线) 垂直 线线平行、线面平行、面面平行 线线垂直、线面垂直、面面垂直 自测自评1.若直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则(  )
A.l1∥l2        B.l1⊥l2
C.l1、l2相交但不垂直 D.不能确定
2.若平面α、β的法向量分别为u=(2,-3,5),v=(-3,1,-4),则(  )
A.α∥β B.α⊥β
C.α、β相交但不垂直 D.以上均不正确B C 3.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为u=(-2,0,-4),则(  )
A.l∥α B.l⊥α
C.l?α D.l与α斜交B 利用方向向量和法向量判定线面位置关系 (1)设a,b分别是不重合的直线l1,l2的方向向量,根据下列条件判断l1与l2的位置关系:
①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3);
②a=(5,0,2),b=(0,4,0);
③a=(-2,1,4),b=(6,3,3).
(2)设u,v分别是不同的平面α,β的法向量,根据下列条件判断α,β的位置关系:
①u=(1,-1,2),v= ;
②u=(0,3,0),v=(0,-5,0);
③u=(2,-3,4),v=(4,-2,1).(3)设u是平面α的法向量,a是直线l的方向向量,根据下列条件判断α和l的位置关系:
①u=(2,2,-1),a=(-3,4,2);
②u=(0,2,-3),a=(0,-8,12);
③u=(4,1,5),a=(2,-1,0).
解析:(1)①∵a=(2,3,-1),
b=(-6,-9,3),
∴a=- b,∴a∥b,∴l1∥l2.
②∵a=(5,0,2),b=(0,4,0),
∴a·b=0,∴a⊥b,
∴l1⊥l2.③∵a=(-2,1,4),b=(6,3,3),
∴a与b不共线,也不垂直,∴l1与l2相交或异面.
(2)①u=(1,-1,2),v= ,
∴u·v=3-2-1=0,∴u⊥v,∴α⊥β.
②∵u=(0,3,0),v=(0,-5,0),∴u=- v,
∴u∥v,∴α∥β.
③∵u=(2,-3,4),v=(4,-2,1),
∴u与v不共线,也不垂直,
∴α与β相交但不垂直.(3)①∵u=(2,2,-1),a=(-3,4,2),
∴u·a=-6+8-2=0,
∴u⊥a,∴l?α或l∥α.
②∵u=(0,2,-3),a=(0,-8,12),∴u=- a,
∴l⊥α.
③∵u=(4,1,5),a=(2,-1,0),
∴u与a不共线,也不垂直,
∴l与α相交,但不垂直.跟踪训练1.根据下列条件,判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系.
(1)直线l1与l2的方向向量分别是
a=(2,-3,-2),b=(-2,-4,4).
(2)平面α、β的法向量分别为
u=(1,3,6),v=(-2,-6,-12).
(3)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是
a=(2,0,3),v=(1,-4,-3).
(4)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是
a=(3,2,1),v=(1,-2,1).答案: (1)l1⊥l2 (2)α∥β (3)l与α斜交 (4)l?α或l∥α平面法向量的求法 若 是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=__________.跟踪训练2.已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面ABC的一个法向量.利用空间向量证明平行问题 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,求证:平面A1BD∥平面CB1D1.证明:如图,取A为坐标原点,AB、AD、AA1所在直线分别作x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.
设正方体棱长为1,
则A1(0,0,1),B(1,0,0),
B1(1,0,1),C(1,1,0),
D(0,1,0),D1(0,1,1),跟踪训练3.如图,在四棱锥S—ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E、F分别为AB、SC的中点.
证明:EF∥平面SAD.证明:如图,建立如图所示的空间直角坐标系.
设A(a,0,0),S(0,0,b),则
B(a,a,0),C(0,a,0),1.设平面α内两个向量的坐标分别为(1,2,1)、(-1,1,2),则下列向量中是平面的法向量的是(  )
A.(-1,-2,5) B.(-1,1,-1)
C.(1, 1,1) D.(1,-1,-1)B 2.已知A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,2,-1),下列四个点中在平面ABC内的点是(  )
A.(2,3,1) B.(1,-1,2)
C.(1,2,1) D.(1,0,3)1.注意用向量中的有关公式及变形,借助建立直角坐标系将复杂的几何问题化为简单的代数问题.
2.在证明平行与垂直时,注意应用向量相关结论,如共线、共面等结论.同时也要注意与以前已经学习过的公理体系求证平行与垂直方法的适当结合,因有些题用以前的方法会更简单同时适当训练思维也有好处.祝您学业有成课件26张PPT。3.2 立体几何中的向量方法
3.2.2 利用空间向量证明平行、垂直问题(二)空间向量与立体几何 用向量方法证明空间中的垂直关系.基础梳理1.空间的垂直关系. 1.a1b1+a2b2+a3b3=0 a1=λa2,b1=λb2,c1=λc2,(λ∈R) a1a2+b1b2+c1c2=02.若直线l的一个方向向量为(1,1,1),向量(1,-1,0)及向量(0,1,-1)都与平面α平行,则l与α有什么位置关系?解析:∵(1,1,1)·(0,1,-1)=0,(1,1,1)·(1,-1,0)=0,而向量(1,-1,0)与向量(0,1,-1)不平行,
∴l⊥α.自测自评1.设直线l1的方向向量为a=(2,1,-2),直线l2的方向向量为b=(2,2,m),若l1⊥l2,则m=(  )
A.1          B.-2
C.-3 D.3
2.若两个不同平面α、β的法向量分别为u=(1,2,-1),v=(2,3,8),则(  )
A.α∥β B.α⊥β
C.α、β相交但不垂直 D.以上均不正确D B 3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于(  )
A.AC B.BD
C.A1D D.A1AB 证明线线垂直 已知空间四边形OABC中,M为BC中点,N为AC中点,P为OA中点,Q为OB中点,若AB=OC,证明:PM⊥QN.跟踪训练1.在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=a,∠BAA1=∠BAD=∠DAA1.
求证:AC1⊥BD.证明线面垂直 如右图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.
证明:AB⊥平面VAD;跟踪训练2.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD.法二:如图取D为坐标原点,DA、DC、DD1所在的直线分别作x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
设正方体棱长为2.
则O(1,1,0),A1(2,0,2),G(0,2,1),B(2,2,0),D(0,0,0),证明面面垂直 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,|AB|=|BC|=2,|BB1|=1,E为BB1的中点,求证平面AEC1⊥平面AA1C1C.证明:由题意得AB,BC,B1B两两垂直,以B为原点,以直线BA,BC,BB1分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),跟踪训练3.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DC的中点,求证平面AD1F⊥平面ADE. 证明:不妨设正方体的棱长为1,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直线坐标系Dxyz,则A(1,0,0),
D1(0,0,1),一、选择填空题
1.直角坐标系xOy中,i,j分别是与x,y轴正方向同向的单位向量.在直角三角形ABC中,若 =i+kj, =2i+j,且∠C=90°则k的值是____________.2.已知直线l与平面α垂直,直线的一个方向向量为u=(1,3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则z=________.3 空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:①建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;②通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系;③把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.祝您学业有成