2013-2014学年高中数学苏教版必修2同步辅导与检测：1.1.4直观图画法

课件32张PPT。立体几何初步 1．1　空间几何体
1．1.4　直观图画法如下图所示的建筑物是江南著名古镇之一的乌镇，它是由不同的几何体组合而成的，建筑工人在建造时要依据工程设计的图纸进行施工，工程师是利用什么方法画出图纸呢？1．____________________叫做空间图形的直观图．
2．斜二测画法是一种画直观图的方法，是一种特殊的平行投影画法，其步骤为：①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'＝________，它们确定的平面表示水平面；②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成______或______的线段；③已知图形中________的线段，在直观图中保持原长度不变，________的线段，长度变为原来的一半．1．表示空间图形的平面图形
2．45°或135°　平行于x'轴　y'轴　平行于x轴
平行　于y轴3．画水平放置图形的步骤：①在水平放置的图形中建适当的直角坐标系x-O-y，使图形中的点尽可能地在________；②画出直观图中的坐标系x'-O'-y'，使∠x'O'y'＝________；③在原图中取关键点，得到____________线段；④按照画法规则，____________，在直观图的坐标系中取出相应的点，得到相应的直观图．坐标轴上或关于坐标轴对称　45°或135°　在坐标轴上或与坐标轴平行的　平行于x轴的线段长度不变，与y轴平行的减半4．画空间几何直观图的步骤：①取相互垂直的Ox、Oy轴，再取Oz轴，使______________；②画O'x'、O 'y'、O'z'，使____________________；③画底面：平行于x轴的线段在直观图中长度________，平行于y轴的线段在直观图中长度________；④画侧棱(或高)：平行于z轴的线段在直观图中长度________；⑤成图：顺次连接各个线段的端点，构成直观图(注意实线与虚线)．∠xOz＝90°且∠yOz＝90°　∠x'O'y'＝45°(或135°)，∠x'O'z'＝90°　不变　减半　不变用斜二测画法画水平放置图形的步骤1.在水平放置的图形中建适当的直角坐标系x-O-y，使图形中的点尽可能地在坐标轴上或关于坐标轴对称；
2.画出直观图中的坐标系x‘-O’-y‘，使∠x’O‘y’＝45°或135°；
3.在原图中取关键点，得到在坐标轴上或与坐标轴平行的线段；
4.按照画法规则，平行性不变，长度与y轴平行的减半，在直观图的坐标系中取出相应的点，得到相应的直观图．用斜二测画法画空间几何体直观图的步骤1.取互相垂直的Ox、Oy轴，再取Oz轴，使∠xOz＝90°；且∠yOz＝90°；
2.画O'x'、O'y'、O'z'，使∠x'O'y'＝45°(或135°)，∠x'O'z'＝90°；
3.画底面：平行于x轴的线段在直观图中长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度减半；
4.画侧棱(或高)：平行于z轴的线段在直观图中保持长度不变；
5.成图：顺次连接各个线段的端点，构成直观图(注意实线与虚线)．斜二测画法画直观图 用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图． 分析：用斜二测画法画直观图，要先将图形上的各点转化到平行于坐标轴的线段上或坐标轴上，再利用斜二测画法的规则求出对应的点．
解析：(1)画轴，如下图(1)所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面，以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm，分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱，过A、B、C、D各取分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.
(4)成图，顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图如上图(2)．规律总结：(1)用斜二测画法作空间图形(立体图形)的直观图，原图形的高在直观图中不变．
(2)不同的选取方法意味着解题的难易，为了保证画图既快又准，应充分注意以下两点：
①充分利用图形的对称性；②尽可能让更多的顶点在坐标轴上．
在应用斜二测画法画直观图时，首先要观察分析，选取恰当的坐标系，再应用斜二测画法画直观图．变式训练1．用斜二测画法画水平放置的边长为12厘米、15厘米、21厘米的三角形的直观图．分析：首先应先建立坐标系，可以以点B为坐标原点，线段BC所在直线为x轴，再用斜二测画法画水平放置的三角形的直观图．
解析：步骤：(1)在已知图形中取直线BC为x轴，垂直BC的直线为y轴，两轴相交于点B，如下图(1)，画对应的x′轴和y′轴，两轴交于点D，使∠x'Dy′＝45°，如下图(2)．(2)过点A作BC的垂线，垂足为G，在x′轴上截取DH＝BG，截取DE＝BC，过H作直线HF平行于y′轴，在直线HF上截取线段HF等于线段AG的一半．
(3)连接DF、EF，△FDE即为水平放置的△ABC的直观图．由三视图画直观图 根据下图的三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．分析：由常见几何体的三视图及三视图的画法，再画实物图．
解析：(1)由俯视图并结合其他两个视图可以看出，这个物体是由一个圆柱和一个正四棱柱组合而成，圆柱的下底面圆和正四棱柱的上底面正方形内切，它的实物草图如下图(1)．
(2)由三视图知，该物体下部分是一个长方体，上部分的表面是两个等腰梯形和两个等腰三角形，它的实物草图如下图(2)．规律总结：由三视图想象几何体的实物图，要分清组合体中每一部分是什么几何体，三视图在机械制造、工程建设中起到主要作用．变式训练2．画出一个正三棱台的直观图(尺寸为：上、下底面边长为1 cm、2 cm，高1 cm)． (1)画轴：如下图，画x轴、y轴、z轴三轴相交于O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画下底面：在y轴的负半轴上取一点D,使OD＝ cm，过D作x轴的平行线AB，使AB＝2 cm，在y轴的正半轴上取一点C使OC＝ cm.连接BC、CA，则△ABC为正三棱台的下底面．
(3)画上底面：在z轴上取线段OO′，使OO′＝1 cm，过O′点作O'x'∥Ox，O'y'∥Oy.建立坐标系x'O'y'，在x'O'y′中，重复(2)的步骤，使A′B′＝1 cm，得上底面A′B′C′.
(4)连线成图：连接AA′、BB′、CC′，则三棱台ABC－A′B′C′为要求的三棱台的直观图．由直观图还原实际图形 下图(1)为一个平面图形的直观图，请画出它的实际形状．分析：先建立45°角的坐标系，再建立直角坐标系，然后还原成实际图形．
解析：建立如下图(1)所示的坐标系x'A'y'，再建立一个直角坐标系，如下图(2)所示．在x轴上截取线段AB＝A′B′，在y轴上截取线段AD，使AD＝2A′D′.
过B作BC∥AD，过D作DC∥AB，使BC与DC交于点C，则四边形ABCD为A′B′C′D′的实际图形．
规律总结：将水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形，其作法就是逆用斜二测画法，也就是使平行于x轴的线段长度不变，而平行于y轴的线段长度为原来的2倍．变式训练3．如右图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．过B′作B′D′∥y′轴交O′A′于D′，取直角坐标系xOy；选取OA＝O′A′，OD＝O′D′，作DB∥y轴，且DB＝2D′B′，连接BO、BA，则△BOA即为原图形．如右图所示．水平面放置的平面图形的面积 已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为________．解析：先根据题意，画出直观图，然后根据直观图
△A′B′C′的边长及夹角求解．规律总结：求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高，也就是原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的线段，以此为依据来求出相应的高线即可．变式训练4．对于一个底边在x轴上的正三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的________倍．直观图的斜二测画法1．利用斜二测画法得到的：
①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是________．解析：因平行性不改变，故②正确，①也正确；平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，故③、④不正确．
答案：①②能力升级平面图形、空间几何体的直观图的画法7．画出水平放置的等腰梯形的直观图．画法：
(1)如图(1)，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，画出对应的直观图中的坐标系O'x'y'，使∠x'O'y'＝45°(或135°)；
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝ OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴并使C′D′＝CD；(3)连接B′C′、D′A′，如图(2)，所得到的四边形A′B′C′D′即是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．祝您学业有成