2013-2014学年高中数学苏教版必修2同步辅导与检测：1.2.2空间两条直线的位置关系

课件31张PPT。立体几何初步 1．2　点、线、面之间的位置关系
1．2.2　空间两条直线的位置关系在天安门广场上，旗杆所在的直线与长安街所在的直线，它们既不相交，也不平行，它们具有怎样的位置关系呢？旗杆与天安门广场、天安门广场与地面又有怎样的位置关系呢？1．空间的两条直线有如下三种关系：
①相交直线：_______________；②平行直线；同一平面内，__________公共点；③异面直线：__________在任何一个平面内，没有公共点．__________和__________统称为共面直线．
2．公理4：文字语言：____________________的两条直线互相平行；符号语言：设a、b、c是三条直线，a∥b，c∥b?________.1．同一平面内，有且只有一个公共点　没有　不同　相交直线　平行直线
2．平行于同一条直线　a∥c3．空间中的等角定理：空间中，如果两个角的__________，那么这两个角__________________．
4．异面直线所成的角：已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的____________叫异面直线a与b所成的角(夹角)．3．两边分别对应平行　相等或互补
4．锐角(或直角)空间两条直线的位置关系①共面：空间的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面．共面的两条直线位置关系又分平行和相交两种．
②异面直线：把既不相交也不平行的直线叫做异面直线，异面直线判定方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过该点的直线是异面直线．
空间的两条直线的位置关系的判定是以平面的基本性质和推论为重要依据的，位置关系的表示则是通过相关符号语言实现的，以下几种常用的符号语言同学们要记牢．①点A在直线b上，记作A∈b，点B不在直线b上，记作：B?b；②点B在平面α内，记作B∈α，点B不在平面α内，记作：B?α；③直线a在平面α内，记作a?α，直线a不在平面α内，记作a?α等．公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行；用数学符号表示为：设a、b、c是三条直线，a∥b，c∥b?a∥c.
公理4将平面内两条直线的传递性推广到了空间中，是证明线线平行的重要依据之一，但要注意：并不是所有平面内的结论都能推广到空间中来．等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．
等角定理的实质是空间中角的平移，定理实际上是以下两个结论的组合：①如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边且两边的方向分别相同，那么这两个角相等；②如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边且有一组边的方向相同，另一组边的方向相反，那么这两个角互补．其中“角的两边分别平行”这个条件要特别注意，谨记等角定理的逆命题不成立．异面直线所成的角已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a′∥a、b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(夹角)．
异面直线a与b所成角的大小是由其平面所成角的大小来度量的，求异面直线所成角的一般步骤是：
①根据定义作出或找出两异面直线所成的角；②使该角为某个三角形的内角；③解这个三角形求角，其中通过平移法作出其平面角是关键，解答相关题目时要谨记异面直线所成角的取值范围．千万不要把相交直线所成的钝角作为异面直线所成的角．若求出的是钝角，应取它的补角作为异面直线所成的角．异面直线的判断与证明 如右图，在空间四边形ABCP中，连接AC、PB，D、E是PC上不重合的两点，F、H分别是PA、PB上的点，且与点P不重合．
求证：EF和DH是异面直线．分析：根据两直线异面的定义，要直接证明两直线异面是比较困难的，因而往往从问题的反面入手，即采用反证法，当然，还可以直接使用异面直线的判定定理：“过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线”，而进行直接的证明．证明：证法一：假设EF、DH不是异面直线，则由两直线的位置关系知，它们必在同一个平面α内．
∴E∈α，D∈α，∴ED?α，即PC?α.
∴P∈α，C∈α.又∵H∈α，∴PH?α.
∵B∈PH，∴B∈α.
同理，由F∈α可得：A∈α.
由此可知，P、A、B、C四点都在平面α内，这与四点是空间四边形的四个顶点相矛盾．
故假设不真，于是EF与DH是异面直线．证法二：∵PA∩PC＝P，
∴PA、PC确定一个平面，不妨记平面为α.
∵E∈PC，F∈PA，∴E∈α，F∈α.
∴EF?α.
∵D∈PC，
∴D∈α，且D?EF.
∵PB∩α＝P，H∈PB，
∴H?α.
∴EF与DH是异面直线．规律总结：(1)异面直线的判定方法一般要有两种：①利用异面直线的判定定理；②反证法．
(2)证明两直线异面，常用反证法．反证法也是常用的一种重要的思维方式和数学方法，它在立体几何中有着广泛的应用．反证法的一般步骤为：
①反设：即作出与命题结论相反的假设；
②归缪：以所作的假设为依据，通过严格的逻辑推理，导出矛盾；
③结论：判断产生矛盾的原因在于所作的假设是错误的，因而原命题正确．导出逻辑矛盾时常出现以下几种情形：
①与定义、公理、定理、推论及性质等的矛盾；
②与已知条件的矛盾；
③与假设的矛盾；
④自相矛盾．变式训练1．如右图所示，已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c.求证：AD与BC是异面直线．证明：(反证法)假设AD与BC共面，所确定的平面为α，那么点P、A、B、C、D都在平面α内．∴直线a、b、c都在平面α内，此与已知条件a、b、c不共面相矛盾．∴AD和BC是异面直线．求异面直线所成的角 如右图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求：
(1)异面直线AB与A1D1所成的夹角；
(2)AD1与DC1所成的夹角．分析：依据异面直线所成的角(或夹角)的定义来求．
解析：(1)∵A1B1∥AB，而A1D1⊥A1B1，
∴A1D1⊥AB，∴AB与A1D1所成的夹角为90°.(2)连接AB1，B1D1，∵AB1∥DC1，
∴AB1与AD1所成夹角即为DC1与AD1所成的夹角．
又AD1＝AB1＝B1D1，
∴△AB1D1为正三角形．
∴AD1与AB1所成夹角为60°.
∴AD1与DC1所成夹角为60°.
规律总结：(1)求异面直线所成的角就是要通过平移转化的方法将异面直线转化成同一平面内的直线所成的角，放到同一三角形中求解．
(2)要多角度的平移，不能局限于一个平面．变式训练2．如右下图，空间四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD、AC的中点，若BC＝AD＝2EF，求直线EF与直线AD所成的角．解析：因为E是BD中点，F是AC中点，故联想三角形中位线定理，取CD中点G，将AD平移至FG，故EF与FG所成的角(∠EFG)就是平面直线EF与AD所成的角．由BC＝AD＝2EF，得EF＝EG＝FG，所以△EFG为正三角形，所以∠EFG＝60°，即EF与AD所成的角为60°.平行公理的应用 如右图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，且AC与BD所成的角为90°.
求证：四边形EFGH是矩形．分析：充分利用平行线的传递性和推论3以及确定矩形的条件．
证明：证明：∵E、H分别为AB、DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH∥BD，且EH＝ BD.同理FG∥BD，且FG＝ BD，
∴EH∥FG，且EH＝FG，
∴四边形EFGH为平行四边形．
又∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF∥AC，又FG∥BD，
∴∠EFG为AC与BD所成的角．
而AC与BD所成的角为90°，
∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．
规律总结：平行公理的本质是线线平行的传递性．变式训练3．如右图所示，三棱锥A－BCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)若AC＝BD，求证：四边形EFGH为菱形；
(3)当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？(3)当AC⊥BD且AC＝BD时，四边形EFGH为正方形．
∵EF∥AC，EH∥BD，
∴∠FEH为AC、BD所成的角，即∠FEH＝90°，由(2)知，四边形EFGH为正方形．基础巩固空间两条直线之间的位置关系1．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB、CD在原正方体中的位置关系是________．解析：首先把平面图形还原为正方体，如下图，根据图形可以很容易的看出△ABC是等边三角形．
答案：相交成60°角能力升级两直线位置关系的判断与证明7．如下图，这是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条线段所在的直线是异面直线的有________对．解析：还原为正方体后观察．
答案：3祝您学业有成