2013-2014学年高中数学苏教版必修2同步辅导与检测：1.2.3直线与平面的位置关系

课件67张PPT。立体几何初步 1．2　点、线、面之间的位置关系
1．2.3　直线与平面的位置关系取一块形状为平行四边形ABCD的木板，将平行四边形ABCD木板的一边AB紧靠桌面并绕AB转动，当AB的对边CD转动到任意一个位置时，是不是都与桌面所在的平面平行？为什么？1．一条直线和一个平面的位置关系：
(1)直线在平面内——__________________；
(2)直线和平面相交——________________；
(3)直线和平面平行——___________________.
2．直线与平面平行的判定定理
语言叙述：______，那么这条直线和这个平面平行．该定理常表述为：“线线平行，则线面平行．”符号语言：若____________，且________∥________，则l∥α.1．有无数个公共点　有且只有一个公共点　没有公共点
2．如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行　
l?α，m?α　l　m3．该定理的作用：__________.用该定理判断直线a和平面α平行时，必须具备三个条件：①_________；②__________；③___________.三个条件缺一不可．
4．直线和平面平行的性质定理
(1)文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．简称为：“____________________”．
(2)符号语言：若______∥________，______，________，则l∥m.
(3)直线和平面平行的性质定理中有三个条件：①_________；②_________；③__________.这三个条件是缺一不可的条件．3．证明线面平行　直线a不在平面α内，即a?α　直线b在平面α内，即b?α　两直线a、b平行，即a∥b
4．(1)若线面平行，则线线平行
(2)l　α　l?β　α∩β＝m
(3)直线l和平面α平行　平面α和平面β相交于直线m　直线l在平面β内5．直线与平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平面a内的____________________，我们就说直线a与平面α互相垂直．
6．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，同样，____________________.
7．从平面外一点引平面的垂线，____________________，叫做这个点到这个平面的距离．5．任意一条直线都垂直
6．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直
7．这个点和垂足间的距离8．直线与平面垂直的判定定理
(1)文字语言：如果一条直线和一个平面内的______，那么这条直线垂直于这个平面．
(2)符号语言：若________，________，________，________，________，则l⊥α.
9．直线和平面垂直的性质定理
(1)文字语言：如果两条直线________，那么这两条直线平行．即垂直于同一个平面的两条直线平行．
(2)符号语言：已知直线a，b和平面α，若________，________，那么a∥b.8．(1)两条相交直线垂直　
(2)l⊥m　l⊥n　m∩n＝B　m?α　n?α
9．(1)垂直于同一个平面　(2)a⊥α　b⊥α10．直线和平面相交包括________和________两种，后者叫做这个平面的斜线，其交点叫斜足，斜线上任意一点与斜足间的线段，叫做这个点到平面的斜线段．
11．直线和平面所成角：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．特别：①当一直线垂直于平面，所成的角是________；②当一直线平行于平面或在平面内，所成角为________角；③直线和平面所成角的范围是________；④直线和平面所成角是斜线与该平面内直线所成角的________．
12．求斜线与平面所成角的一般步骤：(1)____________；(2)__________________；(3)__________________．10．直线与平面垂直　直线与平面不垂直
11．直角　0°　 　最小值
12．(1)找出斜线在给定平面内的射影　
(2)指出并论证斜线与平面所成的角　
(3)在含有斜线与平面所成的角的三角形中，利用平面几何或三角函数知识求出这个角直线和平面的位置关系空间的直线与平面有如下三种位置关系：(1)直线在平面内——有无数个公共点；(2)直线与平面相交——有一个公共点；(3)直线与平面平行——没有公共点．为便于掌握三者间的从属关系可分类为：
同学们在学习时要借助于直线与平面的三种位置关系的画法和符号表示加强理解和掌握．判断直线在平面内的常用方法是：①公理1；②反证法．判断直线和平面相交的常用方法是：①证明直线和平面有且只有一个公共点；②反证法．直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．该定理常表述为：“线线平行，则线面平行．”数学语言为：若l?α，m?α，且l∥m，则l∥α.
这一定理告诉我们“证明线面平行的实质是证明线和平面内的一条直线平行”．请同学们谨记：线线平行和面面平行都具有传递性，但线面平行却没有传递性，即命题“a∥b，b∥α?a∥α”是假命题．
直线与平面平行的判定方法除了(1)依定义采用反证法；(2)判定定理；(3)利用公理4这三种方法外；还可利用后面将要学习的面面平行的性质，即两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面．直线和平面平行的性质定理如果一条直线和已知平面平行，经过这条直线的平面和已知平面相交，那么这条直线和交线平行，简称“若线面平行，则线线平行”．该定理的实质是由线面平行推出线线平行，常用于证明线线平行问题．但要谨记“线”的特殊性——是过已知直线的平面与已知平面的“交线”．虽然由线面平行，能得到线与平面内的无数条直线平行，但并不是和平面内的每一条直线都平行，若直线和平面平行，则这条直线与平面内的直线的位置关系包括平行和异面．直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
该定理是证明线面垂直的重要方法，应用时要谨记“两条相交直线”这一条件．定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．直线和平面垂直的性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．即垂直于同一个平面的两条直线平行．
定理的证明运用了“反证法”，同学们要在老师的指导下完成定理的证明并由此掌握反证法的使用条件及操作过程．该定理既给出了“线面垂直”和“面面垂直”之间的相互转化关系，同时也给出了证明线线平行的又一方法．因此，利用该定理即可以证明线线垂直，也可以证明线线平行．直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．包括0°角、直角、锐角，因此直线和平面所成角的范围是 .求斜线与平面所成的角一般步骤：
①找出斜线在给定平面内的射影；②指出并论证斜线与平面所成的角；③在含有斜线与平面所成的角的三角形中，利用平面几何或三角函数知识求出这个角．直线和平面所成角是通过其相应的平面角的大小来表示的，教材中由直线与平面垂直的定义及斜线和射影来定义直线和平面所成的角，在学习直线与平面垂直的定义时要区分“任意”与“无数”两个词的不同含义，命题“如果直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直”是假命题．直线与平面的位置关系 下列命题中正确的命题的个数为________．
①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．解析：对于①，直线与平面平行，只是说明直线与平面没有公共点，也就是直线与平面内的直线没有公共点，没有公共点的两条直线其位置关系除了平行之外，还有
异面，如右图．正方体ABCD－A1B1C1D1，A1B1∥平面ABCD，A1B1与BC的位置关系是异面，并且容易知道，异面直线A1B1与BC所成的角为90°，因此命题①是错误的．对于③，如右图，∵A1B1∥AB，A1D1∥AD且AD、AB?平面ABCD，A1D1、A1B1?平面ABCD，∴A1B1∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，可以说明过平面外一点不只有一条直线与已知平面平行，而是无数多条，可以想象，经过面A1B1C1D1内一点A1的任一条直线，与平面ABCD的位置关系都是平行的．∴命题③也是错误的．对于④，我们可以继续借用正方体ABCD－A1B1C1D1来举反例，如右图，取AD、BC的中点分别为E、F，A1D1、B1C1的中点G、H，连接EFHG，∵E、F、H、G分别为AD、BC、B1C1、A1D1的中点，∴可以证明，EFHG为平行四边形，且该截面恰好把正方体一分为二，A、D两个点到该截面的距离相等，且AD∩平面EFHG＝E，∴命题④也是错误的．
对于②，把一直角三角板的一直角边放在桌面内，让另一直角边抬起，即另一直角边与桌面的位置关系是相交，可以得出在桌面内与直角边所在的直线平行的直线与另一直角边垂直．
∴正确命题的个数只有一个．
答案：1个规律总结：正方体(或长方体)是立体几何中的一个重要的、又是最基本的模型，而且立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱”之称．本例中的命题①③④就是利用这个“百宝箱”来判定它们的真假的．变式训练1．下列说法中正确的是________．
①直线l平行于平面α内无数条直线，则l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，直线b?α，则a∥α；
④若直线a∥b，直线b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．解析：对于①，∵直线l虽然与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α.
∴①错误．
对于②，∵直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行．∴②错误．
对于③，∵直线a∥b，直线b?α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，
∴a不一定平行于α.∴③错误．
对于④，∵a∥b，b?α，那么a?α或a∥α，
∴a能与平面α内的无数条直线平行，从而填④.
答案：④直线与平面平行的判定定理 已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，求证：平面EFG和AC平行，也和BD平行．分析：欲证明AC∥平面EFG，根据直线和平面平行的判定定理，只需证明AC平行于平面EFG内的一条直线，由图可知，只需证明AC∥EF.
证明：如右图，连接AC、EG、EF、GF.
在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，
∴AC∥EF，AC?平面EFG，EF?平面EFG.
于是AC∥平面EFG.
同理可证，BD∥平面EFG.
方法点拨：由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的程序是：①寻求两直线的平行关系；②证明这两条直线一条在平面内，另一条在平面外；③由判定定理得出结论．这个证明线面平行的步骤可概括为：过直线，作平面，得交线，若线线平行，则线面平行．变式训练2．P是?ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ.证明：连接AC交BD于点O，如右图．
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AO＝OC.
连接OQ，则OQ在平面BDQ内，且OQ是△APC的中位线，
∴PC∥OQ.
∵PC在平面BDQ外，但OQ?平面BDQ，
∴PC∥平面BDQ.直线与平面平行的性质定理 过正方体AC1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求证：BB1∥EE1.分析：本题是考查线面平行的判定定理和性质定理的应用，同时考查了同学们的空间想象能力，综合推理能力等．
证明：如右图所示，∵CC1∥BB1，
∴CC1∥平面BEE1B1(直线和平面平行的判定定理)．
又∵平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1，
∴CC1∥EE1(直线和平面平行的性质定理)．
由于CC1∥BB1，∴BB1∥EE1.方法点拨：(1)本题应用了两个定理和一个公理，是对所学知识的一个初步综合，利用线面平行的判定定理和性质定理，完成了平面问题和空间问题的相互转化．
(2)利用线面平行的性质定理解题的步骤：①确定(或寻找)一条直线平行一个平面；②确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面；③确定交线；④由定理得出结论．变式训练3．四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.证明：如右图，连接AC交BD于O，连接MO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴AP∥OM.
根据直线和平面平行的判定定理，则PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
根据直线和平面平行的性质定理，∴PA∥GH.直线与平面垂直的概念 过一点与已知直线垂直的平面只有一个．
已知：点A和直线a.(如下图)
求证：过点A和直线a垂直的平面只有一个．分析：必须证明存在性和唯一性．
证明：不论点A是否在直线a上(如上图)，设过点A与直线a垂直的平面为α.如果还有一个平面β过点A且与直线a垂直，且α∩β＝l.设过点A和直线a且不过l的平面为γ，且α∩γ＝b，β∩γ＝c.
∵a⊥α，a⊥β，∴a⊥b，a⊥c.
这样在同一平面γ内，过一点A就有两条直线b，c都与a垂直，这是不可能的．所以，过点A和直线 a垂直的平面只有一个．规律总结：(1)由直线与平面垂直的定义可知，“若直线a⊥平面α，则a垂直于α内任一条直线”，它也可作为定理来运用．
(2)本例的结论以及课本上例题的结论“过一点与一个平面垂直的直线有且只有一条”都可作为定理来运用．
(3)反证法是证明唯一性问题的有效方法．变式训练4．给出以下结论：
①若直线a垂直平面α内的无穷多条直线，则直线a垂直平面α；②无论直线a与平面α是否垂直，a总垂直平面α内的无穷多条直线；③若直线a垂直平面α内的两条直线，则直线a垂直平面α；④若直线a垂直平面α内的所有直线，则直线a垂直平面α.
其中正确的结论为________(写出序号即可)．解析：①是错的，如果这无数条直线都是互相平行的，即使直线a垂直于这些直线，直线a也不一定垂直平面α，可能是斜交；③也是错的，也可能是与①一样的情形．
答案：②④直线与平面垂直的判定定理 如右图，已知空间四边形ABCD的边BC＝AC，AD＝BD，引BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH⊥平面BCD.分析：若证AH⊥平面BCD，只需利用直线和平面垂直的判定定理，证AH垂直平面BCD中两条相交直线即可．
证明：取AB中点F，连CF、DF，
∵AC＝BC，∴CF⊥AB.
又∵AD＝BD，∴DF⊥AB，∴AB⊥平面CDE，
∴AB⊥CD.
又BE⊥CD，且AB∩BE＝B，
根据直线与平面垂直的判定定理，直线CD⊥平面ABE.∴CD⊥AH.
而AH⊥BE，∵BE∩CD＝E∴AH⊥平面BCD.
方法点拨：利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的程序是：①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．变式训练5．如右图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，H是△ABC的垂心．
求证：PH⊥平面ABC.证明：∵H是△ABC的垂心，
∴AH⊥BC.
∵AP⊥PB，AP⊥PC，且PB∩PC＝P，
∴AP⊥平面PBC.
又BC?平面PBC，∴AP⊥BC，AP∩AH＝A.
∴BC⊥平面APH，∴BC⊥PH.
同理，AB⊥PH.又AB∩BC＝B.
∴PH⊥平面ABC.直线与平面垂直的性质定理 设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线(与两异面直线都垂直且相交的直线)．
(1)若a，b都平行于平面α，则AB⊥α；
(2)若a，b分别垂直于平面α、β，且α∩β＝c，则AB∥c.分析：依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥α；证明线与线的平行，由于此时垂直的关系很多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB∥c.证明：(1)如右图，在α内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面α的交线为a′，设直线b与点P确定的平面与平面α的交线为b′.
∵a∥α，b∥α，∴a∥a′，b∥b′.
又∵AB⊥a，AB⊥b，∴AB⊥a′，AB⊥b′，∴AB⊥α.(2)如右图，过B作BB′⊥α，
则BB′∥a，∴AB⊥BB′.
又∵AB⊥b，
∴AB垂直于由b和BB′确定的平面．
∵b⊥β，∴b⊥c，
又∵BB′⊥α，∴BB′⊥c.
∴c也垂直于由BB′和b确定的平面．
故c∥AB.规律总结：由第(2)问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直．如本题中，通过作出辅助线BB′，构造出平面，即由相交直线b与BB′确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证得．变式训练6．如右图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.
(1)求证：E、B、F、D1四点共面；
(2)若点G在BC上，BG＝ ，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面BCC1B1.证明：(1)如右图，在DD1上取点N，使DN＝1，连接EN、CN，则AE＝DN＝1，CF＝ND1＝2.
因为AE∥DN，ND1∥CF，所以四边形ADNE、CFD1N都为平行四边形．从而EN綊AD，FD1綊CN.
又因为AD綊BC，所以EN綊BC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，从而FD1∥BE.
因此，E、B、F、D1四点共面．(2)如图(2)所示，GM⊥BF，又BM⊥BC，所以∠BGM＝∠CFB，BM＝BG·tan∠BGM＝BG·tan∠CFB＝
因为AE綊BM，所以四边形ABME为平行四边形，
从而AB∥EM.
又AB⊥平面BCC1B1，所以EM⊥平面BCC1B1.直线与平面垂直的性质 如右图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F.
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.分析：本题是证线线垂直问题，可通过证线面垂直来实现．结合上图，欲证AF⊥SC，只需证SC垂直于AF所在平面，即SC⊥平面AEF，由已知，欲证SC⊥平面AEF，只需证AE垂直于SC所在平面，即AE⊥平面SBC，再由已知只需证AE⊥BC，而要证AE⊥BC，只需证BC⊥平面SAB，而这可由已知得证．
证明：(1)∵SA⊥平面AC，BC?平面AC，
∴SA⊥BC.
∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，
∴BC⊥AE.
又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC.
又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC，
又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD，∴DC⊥AG.
又由(1)有SC⊥平面AEF，AG?平面AEF.
∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD.
方法点拨：上述直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行的相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．7．如右图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，求证：OO1⊥平面ABCD.证明：证法一：连接O1A，O1C，
在正方体中，
∵AA1⊥A1B1，AA1⊥A1D1，且A1B1∩A1D1＝A1，
∴A1A⊥平面A1C1，
∵A1C1?面A1C1，
∴A1A⊥A1C1，变式训练同理CC1⊥A1C1，
又∵A1O1＝O1C1，AA1＝CC1，
∴△AA1O1≌△CC1O1，∴O1A＝O1C.
∵O为AC中点，∴OO1⊥AC.
同理OO1⊥BD，
AC∩BD＝O.
∴OO1⊥平面ABCD.证法二：在正方体中，
AA1⊥AB，AA1⊥AD，
∵AB∩AD＝A，
AA1⊥平面ABCD，
∵AA1綊BB1，BB1綊CC1，
∴AA1綊CC1
∴四边形AA1C1C为平行四边形．
又∵O、O1分别为AC、A1C1的中点，
∴OO1∥AA1，
∴OO1⊥平面ABCD.直线与平面所成的角 已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在平面α内的射影之间的距离为 ，求直线AB和平面α所成的角．分析：平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，首先应想到A、B两点与平面α所处的位置关系．A、B两点与平面α的位置不外乎有以下两种情形：(1)点A、B位于平面α的同侧； (2)点A、B位于平面α的异侧．应按这两种情形来解答直线AB与平面α所成角的大小．解析：(1)当点A、B位于平面α的同侧时，如右图所示，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1.则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝ .由点A向BB1作垂线，垂足为H，则AB与平面α所成的角即为AB与AH所成的角，即∠BAH为AB和平面α所成的角．
Rt△BHA中，AH＝A1B1＝ ，BH＝BB1－AA1＝1.
∴直线AB与平面α所成的角为30°.(2)当点A、B位于平面α的异侧时，如下图所示，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1.AB与平面α相交于点C，A1B1为AB在平面α上的射影．
∴∠BCB1或∠ACA1为直线AB与平面α所成的角．
在Rt△BCB1中，BB1＝2.
在Rt△AA1C中，AA1＝1.
∵△BCB1∽△ACA1，方法点拨：(1)根据问题的具体情况，想到问题可能出现的各种情况，然后分类处理，是解好本题的关键．
(2)求斜线与平面所成的角的程序：
①作图：作(或找)出斜线在平面的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．
②证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
③计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．变式训练8．如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．解析：连接BC1交B1C于点O，连接A1O.
设正方体的棱长为a，
∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，
∴A1B1⊥平面BCC1B1.
∴A1B1⊥BC1.又BC1⊥B1C，
∴BC1⊥平面A1B1CD.基础巩固直线与平面平行的判定定理和性质定理1．如果点M是两条异面直线a、b外的一点，则过点M且与a、b都平行的平面________．解析：过点M分别作直线a、b的平行线，则 只有这两条相交直线确定的平面与a、b都平行，故只有一个．
答案：只有1个能力升级直线与平面平行的综合应用10．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是________．解析：当A、B在平面α同侧时，直线AB和平面α平行；当A、B在平面α异侧时，直线AB和平面α相交．
答案：平行或相交祝您学业有成