2013-2014学年高中数学苏教版必修5同步辅导与检测：1.3正弦定理、余弦定理的应用

课件34张PPT。1.3　正弦定理、余弦定理的应用 解三角形 2006年10月12日，中国宣布了自己的探月计划：中国将在2007年把“嫦娥一号”绕月卫星送入太空，2012年实现发射软着陆器登陆月球．路透社报道：中国将在2024年把人送上月球．
登陆月球如此困难，除了存在很多科学难题外还因为月球与地球相距很远，有38万公里．很久以前，数学家们就测量计算出了这个距离．你知道他们是如何计算的吗？这就要利用解斜三角形的知识．1．(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线上方的角称为仰角，视线在水平线下方的角称为俯角，如图1.
(2)方位角：从指北方向线按顺时针转到目标方向线所成的水平角，如方位角是45°，指北偏东45°，即东北方向．
(3)方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角，如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°，如图2所示．(4)李强出校门向东，前进200米，再向北走200米便回到家中，李强家在学校的哪个方向？
答案：东偏北45度方向200米处．
2．地面上三个点A、B、C，若B在A正北方向上，C在A北偏东20°方向上，C在B东偏北25°方向上，则C在A东偏北70°方向上，C在B北偏东65°方向上，A在C西偏南70°方向上，B在C西偏南25°方向上，B在C南偏西65°方向上．
3．(1)山下B点望山上A点仰角为30°，则山上A点望山下B点俯角为30°.
(2)方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的水平角．若水平面上点A处测得点B的方位角是120°，则点B在点A东偏南30°方向上．
4．(1)A点望B、C的视角是指∠BAC的大小．
(2)在△ABC中，A＝105°，B＝30°，则C点望A、B的视角为45°.
5．(1)坡度是指斜坡所在平面与水平面的夹角．
(2)沿坡度为30°的斜坡直线向上行走100米，实际升高了50米．
6．东北方向是指东偏北45°的方向．10．设Rt△ABC的两直角边长为a，b，则它的内切圆半径r＝(a＋b－)．
11．设△ABC的周长为2p，内切圆半径为r，则△ABC的面积＝pr.
12．S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
解斜三角形应用题的步骤(1)准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、象限角、方位角、方向角等．
(2)根据题意画出图形．
(3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要算法简练、计算准确，最后作答．在实际应用中的有关名称、术语 实际应用问题中有关的名称、术语
(1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．
(2)方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角．
(3)方位角：从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角．
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．三角形中有关公式还需要熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式．需注意问题(1)会在各种应用题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，灵活选用正、余弦定理解之．
(2)搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和相等关系．
(3)理解各种应用问题中的有关名词、术语，如坡角、俯角、仰角、方向角、方位角等．
(4)会利用经纬仪器及皮尺等测量工具进行实地测量，会按照要求写实习报告，会用计算器计算测量结果，提高动手操作能力及数学语言表达能力．求不可到达两点间距离 隔河有两目标A与B但不能到达，在岸边选取相距 km的C、D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)．求两目标A，B之间的距离．分析：由题意作出平面示意图(如右图所示)，在四边形ABCD中，需由已知条件求出AB的长．由图形可知，在△ACD与△BCD中，利用正弦定理可求得AC与BC，然后在△ABC中，由余弦定理可求出AB.名师点评：如果涉及解多个三角形的问题，在解题中就应注意解题过程的优化．如求AB的长，也可选择在△ABD中应用余弦定理求解，但此时必须求出AD与BD的长，显然求AD不如求AC容易，另外，本题没有要求取近似值，故不应将写成2.236.变式迁移在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O东偏南α角方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？正、余弦定理在追击问题中的应用分析：在解题前必须画出示意图，但应该明确以下几个概念：其一是方位角；其二是沿什么方向追，即按什么方位角航行；其三是最快追上，即应理解为按直线航行，且两船所用时间相等．在此基础上，通过解三角形，即可求出CD的方位角及由C到D所需的航行时间． 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为( －1) km的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A为2 km的C处的缉私船奉命以10 km/h的速度追截走私船．此时走私船正以10 km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．名师点评：解题时应明确，方位角是相对每一点而言的，因此，从这个意义上来说，方位角是一个动态角，在理解题意时，应把方位角看活，否则在理解题意上将可能产生失误．变式训练 2.如右图所示，一缉私艇
在A处发现在北偏东45°方向，
距离12 n mile的海面上有一走
私船C正以10 n mile/h的速度
沿东偏南15°方向逃窜．
缉私艇的速度为14 n mile/h，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°＋α的方向去追，求追及所需的时间和α角的正弦值．正、余弦定理的综合运用 如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m，求此山对于地平面的斜度的倾斜角θ.(提示：cos 42.94°＝ －1)分析：设山对于地平面的斜度的倾斜角∠EAD＝θ，这样可在△ABC中利用正弦定理求出BC；再在△BCD中，利用正弦定理得到关于θ的三角函数等式，进而解出θ角．名师点评：解应用题，首先要增强应用数学的意识．解应用题可分两步：第一步，先分析问题，抓住实际问题中的数量关系，将其转化成一般数学问题；第二步，利用所学知识和方法解决这个数学问题，其中的关键在于如何将实际问题数学化，也就是说如何将实际问题等价转化成一个数学问题．变式训练 3.如图所示，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 n mile，在A处看灯塔C在货轮北偏西30°，距离为8 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．祝您学业有成