2013-2014学年高中数学苏教版必修5同步辅导与检测：2.2.1等差数列的概念及通项公式

课件29张PPT。2．2　等差数列
2．2.1　等差数列的概念及通项公式数列 相信同学们都听说过天才数学家高斯小时候计算1＋2＋3＋…＋100的故事，不过，这很可能是一个不真实的传说，据对高斯素有研究的数学史家E.T.贝尔(E.T.Bell)考证，高斯的老师布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81297＋81495＋81693＋…＋100899.当布特纳刚写完这道题时，高斯也算完了，并把答案写在了小石板上，你知道高斯是如何计算的吗？1．如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于________常数，那么这个数列叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的________．
2．如果数列{an}是公差为d的等差数列，则a2＝a1＋________；a3＝a2＋________＝a1＋________，
3．等差数列的通项公式为________．
4．等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d＝a2＋________d＝a3＋________d，因此等差数列的通项公式又可以推广到an＝am＋________d(n＞m)．1．同一个　公差　 2.d　d　2d　
3.an＝a1＋(n－1)d　 4.(n－2)　(n－3)　(n－m)5．由an＝am＋(n－m)d，得d＝，则d就是坐标平面内两点A(n，an)，B(m，am)连线的________．
6．如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A可以用a，b表示为________，A称为a，b的________．
7．如果数列{an}的通项公式an＝a·n＋b，则该数列是公差为________的等差数列．8．等差数列的性质
若{an}是等差数列，公差为d，则
(1)an，an－1，…，a2，a1亦构成等差数列，公差为________．
(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…(m∈N＋)也构成等差数列，公差为________．
(3)λa1＋μ，λa2＋μ，…，λan＋μ，…(λ，μ是常数)也构成等差数列，公差为________．(1)－d　(2)md (3)λd(4)an＝am＋(n－m)d，(m，n∈N＋)这是等差数列通项公式的推广，它揭示了等差数列中任意两项之间的关系，还可变形为d＝ .
(5)若m，n，k，l，∈N*，且m＋n＝k＋l，则am＋an＝________，即序号之和相等，则它们项的和相等，
例如：a1＋an＝a2＋an－1＝…ak＋al 等差数列如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差．应当注意的是：
(1)在定义中，之所以说“从第2项起”，首先是因为首项没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数(an＋1－an＝d，n∈N＋，且n≥2)，那么这个数列不是等差数列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个等差数列．例如，数列1,4,5,6,7,8,9,10就不是等差数列，而去掉第1项后，剩下的数组成的数列就是等差数列；(2)如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列不一定是等差数列，因为这个常数可能不唯一；
(3)一个等差数列的公差d是这个数列的后一项与前一项的差．因为等差数列具有d＝an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1的特点，所以求公差可以用an＋1－an，也可以用an－an－1，还可以用a2－a1等．公差d可以是任何实数，当d＝0时，数列是常数列；当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列；
(4)等差数列的定义还可表述为：在数列{an}中，若an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数，则{an}是等差数列，常数d为公差．等差数列的判定方法(1)an＋1－an＝d(常数)?{an}是等差数列．
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)?{an}是等差数列．
(3)an＝kn＋b(k，b为常数)?{an}是等差数列．等差数列的常用性质(6){an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an－i＋1＝…
(7)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．
(8)若{bn}为等差数列，则{an±bn}，{kan＋bn}(k，b为非零常数)也是等差数列．解答等差数列有关问题时应注意的问题(1)抓住首项与公差，是解决等差数列问题的关键．
(2)等差数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，d，知任意三个就可以列方程求另外一个．
(3)熟练掌握并灵活运用定义、通项公式是解决等差数列问题的基础．
(4)寻求条件与结论的共用式以便进行整体代换，使运算更为迅速和准确．
(5)学会运用函数的思想和方法解题．等差数列定义及其应用 在等差数列中，am＝n，an＝m(m≠n)，则am＋n为(　　)
A．m－n　　B．0　　C．m2　　D．n2分析：a1，d是等差数列的基本元素，可先求出基本元素，再用它们去构成其他元素进行解答；或利用数列是特殊的函数这一点进行求解；或利用选择题的特点进行求解．解析：解法一：设首项为a1，公差为d，则
∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝m＋n－1－(m＋n－1)＝0，
故选B.解法二：设am＋n＝y，
则由三点共线有＝ ?y＝0.解法三：由am＝n，an＝m知在直角坐标平面上A(m，n)、B(n，m)两点关于直线y＝x对称，又∵A、B、C(m＋n，am＋n)是等差数列中的项，∴A、B、C在同一直线上且斜率为－1，∴ ＝－1，∴am＋n＝0.解法四：因结论唯一，故只需取一个满足条件的特殊数列：2,1,0，便可知结论，选B.
答案：B名师点评：解法一是常规解法，解法二较巧，解法三更巧，在解选择题时，我们要尽量做到小题小解或小题巧解．变式迁移1．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a101＝________.52 利用“对称值”解题 等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，
求a5＋a8.分析：利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题，求出2a1＋11d的值．
解析：解法一：根据题意，有
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，
∴4a1＋22d＝36，故2a1＋11d＝18.
而 a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d，
因此，a5＋a8＝18.解法二：根据等差数列性质，可得
a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.
名师点评：解法一设出了a1，d但并没有求出a1，d，事实上也求不出来，这种“设而不求”的方法在数学中常用，它体现了整体的思想，解法二实际上运用了等差数列的性质：若p＋q＝m＋n，p，q，m，n∈N＋，则ap＋aq＝am＋an.变式迁移2．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(　　)
A．14 B．21 C．28 D．35解析：由等差数列的性质得a3＋a4＋a5＝3a4＝12，有a4＝4，则a1＋a2＋…＋a7＝ ＝7a4＝28.
答案：C如何判断数列为等差数列 已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否成等差数列？分析：在a＋c＝2b条件下，是否有以下结果：
a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(a＋c)?
解析：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，
a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)
＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)
＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0，
∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)，
∴a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列．名师点评：如果a，b，c成等差数列，常转化成a＋c＝2b的形式去运用；反之，如果求证a，b，c成等差数列，常改证a＋c＝2b.有时应用概念解题，需要运用一些等值变形技巧，才能获得成功．变式迁移3．数列{an}中，a1＝1， 则an＝________.1．若数列{an}的通项公式是an＝2(n＋1)＋3，则此数列( )
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为3的等差数列
C．是公差为5的等差数列
D．不是等差数列A解析：利用通项公式an，求a1，d.2．在－1和8之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则( )
A．a＝2，b＝5 B．a＝－2，b＝5
C．a＝2，b＝－5 D．a＝－2，b＝－5A解析：考查项数与d之间关系．祝您学业有成