2013-2014学年高中数学苏教版必修5同步辅导与检测：2.3.1等比数列的概念及通项公式

课件31张PPT。2．3　等比数列
2．3.1　等比数列的概念及通项公式数列 传说西塔发明了国际象棋而使国王十分高兴，国王决定要重赏西塔，西塔说：“我不要你的重赏，陛下，只要你在我的棋盘上赏一些麦子就行．在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放满第64个格子就行了．”区区小数，几粒麦子，这有何难，“来人．”国王令人如数付给西塔．
计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第2格内放2粒，第3个格内放22粒，…还没有到第二十格，一袋麦子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来，但是，麦粒数一格接一格飞快增长着，国王很快就看出，即便拿出全国的粮食，也兑现不了他对西塔的诺言．1．从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫等比数列，这个常数叫做等比数列的________．
2．等比数列{an}的通项公式an＝________.
3．如果a、G、b三个数满足G2＝ab.则G为a与b的________．1．公比　2.a1·qn－1(q≠0)　3.等比中项4．等比数列的性质．
(1)若{an}为等比数列，则an _______ amqn－m.
(2)若{an}为等比数列，且m＋n＝p＋q，则_____．
(3)若{an}为等比数列，则a2，a5，a8也成______．
(4)若{an}为等比数列，且公比为q，则a1a2，a2a3，a3a4也成公比等于________的等比数列．(1)＝ (2)am·an＝ap·aq　(3)等比数列　(4)q2等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q≠0)表示．
这一定义常被简述为若 ＝q(n∈N＋)，则数列{an}是等比数列．关于定义理解应注意：(1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能是0；(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”；(3) 均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒；(4)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第n(n＞3，n∈N*)项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，则此数列不是等比数列．这时可以说此数列从第2项起或从第n－1项起是一个等比数列；(5)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列；(6)常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列．若常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列，当常数列各项不为0时，它就是等比数列．等比数列的判定方法(1)an＝an－1·q(n≥2，q是不为零的常数，an－1≠0) ?{an}是等比数列．
(2)an2＝an－1·an＋1(n≥2；an－1，an，an＋1≠0)?{an}是等比数列．
(3)an＝c·qn(c、q均是不为零的常数)?{an}是等比数列．主要性质(设an＝a1qn－1，a1、q≠0)(1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列；当q＜0时，{an}是摆动数列．
(2)an＝am·qn－m(m、n∈N*)．
(3)当m＋n＝p＋q(m、n、q、p∈N*)时，有am·an＝ap·aq.
(4)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；若{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{an·bn}是公比为qq′的等比数列；数列 是公比为 的等比数列；{|an|}是公比为|q|的等比数列．(5)当数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lg an}是公差为lg q的等差数列．
(6){an}中，公比q≠1，则连续取相邻两项的和(或差)构成公比为q的等比数列．
(7)若m、n、p(m、n、p∈N*)成等差数列时，am、an、ap成等比数列．学习本节内容应注意的问题
(1)熟练运用直接依据等比数列的定义思考并解决等比数列的问题．
(2)注意灵活选设未知数．例如：三数成等比数列，可设这三数分别为 、a、aq；当四数成等比数列时，可设这四个数为
(3)在要求的几个数中，若有若干个数成等差数列，若干个数成等比数列，应尽可能先考虑用等差数列的条件设未知数．
(4)学习时注意与等差数列进行对比，学会用类比、方程的思想解决问题．等比数列的判断 已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}(　　)
A．是等比数列
B．当p≠0时是等比数列
C．当p≠0，p≠1时是等比数列
D．不是等比数列分析：利用等比数列的概念进行判断．
解析：由Sn＝pn(n∈N*)，有a1＝S1＝p，并且当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－pn－1＝(p－1)pn－1.
故a2＝(p－1)p，因此数列{an}成等比数列
故满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D.
答案：D名师点评：此题易得出错误的判断，排除错误的办法是熟悉数列{an}成等比数列的必要条件是an≠0(n∈N*)，还要注意对任意n∈N*，n≥2， 都为同一常数是其定义规定的准确含义．变式迁移1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．由a1，q确定an 已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1·a2·a3＝8，求an.分析：由等比数列通项公式，首先要求出a1和q，由于a1a3＝a，所以a2＝2，再由已知条件易求得a1和q；利用a2＝a1q，a3＝a1q2，将已知等式化归成a1与q的关系进行求解；由题设，可得a1＝ ，a3＝a2q代入已知条件进行求解．下面给出第一种思路的解答，请读者自己完成第二、三种思路的解答．名师点评：解答中易产生的错误是在求得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1后，由a3＝a1q2分别得出q＝±2或q＝± ，故所求得的an＝2n－1或an＝(－2)n－1或an＝23－n或an＝(－2)3－n.
上述错误的原因在于忽视了由于a2＝2，a1＞0必有q＞0这一隐含条件的限制．变式迁移2．在等比数列{an}中，已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝ ，求n.等差数列与等比数列的综合应用 三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．分析：因为所求三数成等差数列，且其和已知，故可设这三数为a－d，a，a＋d，再根据已知条件寻找关于a，d的两个方程，通过解方程组即可获解．
解析：设所求之数为a－d，a，a＋d，则由题设得
∴所求三数为3,5,7.名师点评：此类问题一般设等差数列的数为未知数，然后利用等比数列知识建立等式求解，另外，对本题若设所求三数为a，b，c，则列出三个方程求解，运算过程将繁冗些．因此，在计算过程中，设的未知数个数应尽可能少．变式迁移3．有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数．等比数列的应用题 从盛满a升(a＞1)纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去，问第n次操作后溶液的浓度是多少？若a＝2，至少应倒几次后才能使酒精浓度低于10%?分析：这是一道应用题，解决问题的关键是建立数学模型，使实际问题数学化．注意到开始浓度是1，操作一次后溶液的浓度是a1＝ ，操作两次后溶液浓度是a2＝a1( )，…，由此可知，每次操作后溶液浓度构成等比数列，由此便建立了数列模型．名师点评：数学应用题的解答步骤一般有：
①通过阅读，理解题意；
②寻找数量关系，建立数学模型；
③运用数学知识、方法，解决数学模型；
④回答实际问题．变式迁移4．某工厂去年的产值是100万元，计划今后3年内每年比上一年增长10%，从今年起到第3年这个工厂的年产值是多少万元？(精确到万元)解析：设去年的产值为a1，今年的产值为a2，以后各年的产值依次为a3，a4，….
因为每年比上一年增长10%，所以a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＝100，q＝1＋10%，因此，
a4＝100×(1＋10%)3＝133.1≈133(万元)．
答：从今年起到第3年这个工厂的年产值是133万元． 基础巩固1．数列a，a，a，…a，…(a∈R)必为( )
A．等差数列但不是等比数列
B．等比数列但不是等差数列
C．即是等差数，又是等比数列
D．以上都不正确D解析：a＝0时为等差数列，a≠0时为等比且等差数列．B解析：由a1，q确定an.祝您学业有成