2013-2014学年高中数学苏教版必修5同步辅导与检测：2.3.2等比数列的前n项和
文档属性
| 名称 | 2013-2014学年高中数学苏教版必修5同步辅导与检测：2.3.2等比数列的前n项和 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 596.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-03-04 20:26:08 | ||
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文档简介
课件37张PPT。2．3 等比数列
2．3.2 等比数列的前n项和 数列 九章算术有一道“耗子穿墙”的问题：今有垣厚5尺，两鼠相对，大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？各穿几何．
在实际上是一个等比数列求和的问题，他的解法也很简单，答案是两天不足，三天有余．这节内容，我们就来探讨等比数列前n项和的求法，推导出公式后运用它去计算诸如此类的问题．前n项和公式的导出 注意问题(1)上述证法中，解法一为错位相减法，解法二为合比定理法，解法三为拆项法．各种方法在今后的解题中都经常用，要用心体会．
(2)公比为1与公比不为1时公式不同，若公比为字母，要注意分类讨论．
(3)当已知a1，q，n时，用公式Sn＝ ，当已知a1，q，an时，用公式 .
(4)在解决等比数列问题时，如已知a1，an，n，q，Sn的任意三个，可由通项公式或前n项和公式求解其余两个．前n项和重点性质的证明Sn的简单应用 在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，Sn＝126，求n和q.分析：利用等比数列的性质，将a2·an－1转变成a1·an，从而易求得a1和an，然后再求n和q的值．等比数列的性质应用分析：运用等比数列前n项和的有关性质进行求解．
解析：∵{an}为等比数列，∴Sm，S2m－Sm，S3m－S2n，即20,60－20，S3m－60成等比数列，∴S3m－60＝80，
∴S3m＝140.名师点评：等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…为等比数列，对此性质要熟悉，要注意灵活运用．此题如不用此性质来解，而用求和公式来解过程十分烦琐．变式迁移1．已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和，a1，a7，a4成等差数列．
求证：2S3，S6，S12－S6成等比数列．求等比数列前n项和 求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n项的和．名师点评：(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用这一思路和方法．
(2)要善于识别题目类型，特别是等比数列部分中公比为负数的情形更值得注意．
(3)在写出“Sn”与“qSn”的表达时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．等比数列的综合应用 已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn＋1＝4an＋2，a1＝1.
(1)设bn＝an＋1－2an，求证数列{bn}是等比数列；
(2)设cn＝ ，求证数列{cn}是等差数列；
(3)求数列{an}的通项公式及前n项和公式．分析：(1)利用Sn＋1＝4an＋2及等比数列定义证明；(2)利用等比数列的定义证明；(3)借助(2)的结果及Sn＋1＝4an＋2求解．
解析：(1)∵Sn＋1＝4an＋2，∴Sn＋2＝4an＋1＋2.以上两式等号两边分别相减，
得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an，
即an＋2＝4an＋1－4an，
变形得an＋2－2an＋1＝2(aa＋1－2an)，
∵bn＝an＋1－2an，∴bn＋1＝2bn.
由上可知，数列{bn}是公比为2的等比数列，
且由S2＝a1＋a2＝4a1＋2，又a1＝1，得a2＝5，
故b1＝a2－2a1＝3，故bn＝3·2n－1.
∴an＝2ncn＝(3n－1)·2n－2.
当n≥2时，Sn＝4an－1＋2＝(3n－4)·2n－1＋2.
由于S1＝a1＝1也适合此公式．
故所求{an}的前n项和公式为Sn＝(3n－4)2n－1＋2.名师点评：本题第(3)问中求数列{an}的前n项和Sn时，应避免利用通项公式an＝(3n－1)2n－2逐项相加求和，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(3×1－1)·21－2＋(3×2－1)·22－2＋(3×3－1)·23－2＋…＋(3n－1)·2n－2，因为如若这样，将使计算过程陷入烦琐，同时，根据已知等式Sn＋1＝4an＋2，即然已知an＝(3n－1)·2n－2，也完全没有必要逐项相加求和．变式迁移等比数列的实际应用 某地现有居民住房的总面积a m2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．
(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少？(可取1.110≈2.6)
(2)过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少？(保留到小数点后第1位)名师点评：本题主要考查阅读能力、分析能力，解题思维障碍主要是对“10%的住房增长率”搞不清楚，要知道，它实际上是上一年住房的增长率．变式迁移3．某林场原有木材量为a，木材每年以25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x，为了实现经过20年达到木材总存量翻两番，求每年砍伐量的最大值(lg 2＝0.3)．基础巩固1．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是( )
A．179 B．211 C．243 D．275B2．等比数列{an}中，a1＝2，前3项和S3＝26，则公比q为( )
A．3 B．－4 C．3或－4 D．－3或4C解析：S3＝a1＋a2＋a3＝26，即2＋2q＋2q2＝26.祝您学业有成
2．3.2 等比数列的前n项和 数列 九章算术有一道“耗子穿墙”的问题：今有垣厚5尺，两鼠相对，大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？各穿几何．
在实际上是一个等比数列求和的问题，他的解法也很简单，答案是两天不足，三天有余．这节内容，我们就来探讨等比数列前n项和的求法，推导出公式后运用它去计算诸如此类的问题．前n项和公式的导出 注意问题(1)上述证法中，解法一为错位相减法，解法二为合比定理法，解法三为拆项法．各种方法在今后的解题中都经常用，要用心体会．
(2)公比为1与公比不为1时公式不同，若公比为字母，要注意分类讨论．
(3)当已知a1，q，n时，用公式Sn＝ ，当已知a1，q，an时，用公式 .
(4)在解决等比数列问题时，如已知a1，an，n，q，Sn的任意三个，可由通项公式或前n项和公式求解其余两个．前n项和重点性质的证明Sn的简单应用 在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，Sn＝126，求n和q.分析：利用等比数列的性质，将a2·an－1转变成a1·an，从而易求得a1和an，然后再求n和q的值．等比数列的性质应用分析：运用等比数列前n项和的有关性质进行求解．
解析：∵{an}为等比数列，∴Sm，S2m－Sm，S3m－S2n，即20,60－20，S3m－60成等比数列，∴S3m－60＝80，
∴S3m＝140.名师点评：等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…为等比数列，对此性质要熟悉，要注意灵活运用．此题如不用此性质来解，而用求和公式来解过程十分烦琐．变式迁移1．已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和，a1，a7，a4成等差数列．
求证：2S3，S6，S12－S6成等比数列．求等比数列前n项和 求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n项的和．名师点评：(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用这一思路和方法．
(2)要善于识别题目类型，特别是等比数列部分中公比为负数的情形更值得注意．
(3)在写出“Sn”与“qSn”的表达时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．等比数列的综合应用 已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn＋1＝4an＋2，a1＝1.
(1)设bn＝an＋1－2an，求证数列{bn}是等比数列；
(2)设cn＝ ，求证数列{cn}是等差数列；
(3)求数列{an}的通项公式及前n项和公式．分析：(1)利用Sn＋1＝4an＋2及等比数列定义证明；(2)利用等比数列的定义证明；(3)借助(2)的结果及Sn＋1＝4an＋2求解．
解析：(1)∵Sn＋1＝4an＋2，∴Sn＋2＝4an＋1＋2.以上两式等号两边分别相减，
得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an，
即an＋2＝4an＋1－4an，
变形得an＋2－2an＋1＝2(aa＋1－2an)，
∵bn＝an＋1－2an，∴bn＋1＝2bn.
由上可知，数列{bn}是公比为2的等比数列，
且由S2＝a1＋a2＝4a1＋2，又a1＝1，得a2＝5，
故b1＝a2－2a1＝3，故bn＝3·2n－1.
∴an＝2ncn＝(3n－1)·2n－2.
当n≥2时，Sn＝4an－1＋2＝(3n－4)·2n－1＋2.
由于S1＝a1＝1也适合此公式．
故所求{an}的前n项和公式为Sn＝(3n－4)2n－1＋2.名师点评：本题第(3)问中求数列{an}的前n项和Sn时，应避免利用通项公式an＝(3n－1)2n－2逐项相加求和，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(3×1－1)·21－2＋(3×2－1)·22－2＋(3×3－1)·23－2＋…＋(3n－1)·2n－2，因为如若这样，将使计算过程陷入烦琐，同时，根据已知等式Sn＋1＝4an＋2，即然已知an＝(3n－1)·2n－2，也完全没有必要逐项相加求和．变式迁移等比数列的实际应用 某地现有居民住房的总面积a m2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．
(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少？(可取1.110≈2.6)
(2)过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少？(保留到小数点后第1位)名师点评：本题主要考查阅读能力、分析能力，解题思维障碍主要是对“10%的住房增长率”搞不清楚，要知道，它实际上是上一年住房的增长率．变式迁移3．某林场原有木材量为a，木材每年以25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x，为了实现经过20年达到木材总存量翻两番，求每年砍伐量的最大值(lg 2＝0.3)．基础巩固1．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是( )
A．179 B．211 C．243 D．275B2．等比数列{an}中，a1＝2，前3项和S3＝26，则公比q为( )
A．3 B．－4 C．3或－4 D．－3或4C解析：S3＝a1＋a2＋a3＝26，即2＋2q＋2q2＝26.祝您学业有成