3.2.1双曲线及其标准方程 同步练习（含解析）

3.2.1双曲线及其标准方程
一、单选题
1. 双曲线的焦点坐标是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 已知，，动点P满足，则点P的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
3. 平面内动点P到两定点，的距离之差为m，若动点P的轨迹是双曲线，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是
A. B. C. D.
5. 已知p：，q：方程表示双曲线，则p是q的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多选题
6. 已知点P在双曲线上，，分别是左、右焦点，若的面积为20，则( )
A. 点P到x轴的距离为 B.
C. 为钝角三角形 D.
三、填空题
7. 方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数k的取值范围是__________.
8. 已知双曲线上的点P到点的距离为9，则点P到点的距离为__________.
9. 已知动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为__________.
10. 已知，是等轴双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，，则等于__________ .
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P是双曲线左支上一点，且，若，则等于__________.
12. 已知双曲线的方程为，如图，点A的坐标为，B是圆上的点，点M在双曲线的右支上，则的最小值为__________.
四、解答题
13. 已知双曲线经过两点，求该双曲线的标准方程及其焦距.
已知双曲线C：中，且过点，求双曲线C的标准方程和焦点坐标.
15. 如图，若是双曲线的两个焦点.
若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.
16. 如图所示，B地在A地的正东方向4千米处，C地在B地的北偏东方向2千米处，河流的沿岸曲线上任意一点到A的距离比到B的距离远2千米．现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物．经测算，从M到B，C两地修建公路的费用都是a万元/千米，求修建这两条公路的最低总费用．
17. 已知双曲线过点和点
求双曲线的标准方程C；
若点M在双曲线C上，为双曲线的左、右焦点，且，求的余弦值.
18. 如图，平面上，M，N两点间距离为6，O为MN的中点，现一动点P，它在运动过程中始终保持到M点的距离比到N点的距离大共面，请建立适当的平面直角坐标系．
求出动点P运动的轨迹方程；
当的面积为时，在内画一个圆，求可画出圆的最大面积．
答案和解析
1.【答案】B
解：双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且，，
由此可得，
该双曲线的焦点坐标为，
故选：

2.【答案】B
解：由题意知点P满足双曲线的定义，
且点P在以，为焦点的双曲线的右支上，
由此可知，，则，
因此点P的轨迹方程是
故选

3.【答案】D
解：动点P的轨迹为双曲线，
，且，
，且
故选

4.【答案】C
解：由椭圆可得焦点为，
设要求的双曲线的标准方程为：，
则，，
解得，，
所求的双曲线的标准方程为：
故选

5.【答案】A
解：：方程表示双曲线，
，
或
又：
\(∵p q\)，\(q p\)，
故p是q的充分条件；反过来不成立，
则p是q的充分不必要条件
故选

6.【答案】BC
解：由双曲线方程得，，则，
由的面积为20，
得，得，即点P到x轴的距离为4，故A错误，
将代入双曲线方程得，根据对称性不妨设，
则，
由双曲线的定义知，
则，
则，故B正确，
在中，，
则，为钝角，
则为钝角三角形，故C正确，
，
则错误，
故正确的是BC，
故选：

7.【答案】
解：方程表示焦点在x轴上的双曲线，
可得：，且，
解得：
故答案为

8.【答案】17
解：双曲线，
其焦点坐标为：，，
点P在双曲线上，
，
由于
或舍去，
故答案为：

9.【答案】
解：由圆A：，可得圆心，半径；
由圆B：可得圆心，半径
设动圆的半径为R，由题意可得，
由双曲线的定义可得：动圆的圆心M在以定点，为焦点的双曲线的右支上．
，
动圆圆心M的轨迹方程为
故答案为

10.【答案】4
解：双曲线C的方程为：，
，得
由此可得，，焦距
，
，即①
又点P在双曲线C：上，
，平方得②
①-②，得
故答案为：4

11.【答案】
解：连接，取的中点H，连接，则由，
则，即在中，，
则，即
故答案为

12.【答案】
解：双曲线的方程为，
则，双曲线焦点为、，圆心为，半径为1，
所以A为左焦点，设右焦点为D，
，
则，
当C、M、D共线时，等号成立；
又，
当M、B、C共线时，等号成立，
的最小值为，
故答案为

13.【答案】解：设双曲线方程为
依题意得
解得，
所以所求双曲线的标准方程为
因为，所以，
故焦距为

14.【答案】解：，
双曲线C方程为：
又该双曲线过点，
将点代入得
双曲线C的方程为，焦点坐标为，
15.【答案】解：是双曲线的两个焦点，
则
设点M到另一个焦点的距离为m，
由抛物线定义可知，
解得或，
即点M到另一个焦点的距离为10或
是双曲线左支上的点，
，
则，
代入，
可得，
即，
所以为直角三角形，
所以
16.【答案】解：如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系xOy，
则，，连接
，
点M的轨迹是双曲线的右支．
又，
当M，A，C三点共线时等号成立．
又总费用为万元，且，
修建这两条公路的最低总费用为万元．
17.【答案】解：设双曲线的标准方程C为，
因为点和点在双曲线C上，
所以，
解得，
所以双曲线的标准方程C为，
因为点M在双曲线上，且，
所以点M在双曲线的右支上，
则有，
故，，
又，
因此在中，

，
所以的余弦值为
18.【答案】解：如图所示，以点O为坐标原点，以MN所在的直线为x轴，
建立直角坐标系，则，，
设点，则，
所以动点P是以点M，N为焦点的双曲线的右支，
由题得，，
所以，，
所以，
故动点P的轨迹方程为
设，则，
在中，
由余弦定理得，
则，
若的面积为，
则
，
化简得，
解得或舍去
要在内画一个圆，保证圆的面积最大，该圆只能为该三角形的内切圆，
设内切圆的半径为r，
则，
解得，
故可画出圆的最大面积为
第16页，共16页