3.2.2双曲线的简单几何性质(1) 同步练习（含解析）

3.2.2双曲线的简单几何性质(1)
一、单选题
1. 双曲线C：的离心率是( )
A. 3 B. C. 2 D.
2. 双曲线的两条渐近线夹角是( )
A. B. C. D.
3. 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数k的值是( )
A. 16 B. C. D.
4. 已知双曲线为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为1，则该双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
5. 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则( )
A. B. C. 4 D.
6. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则m的值为( )
A. B. C. D.
7. 若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题
8. 已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线C的渐近线方程为
B. 双曲线C的实轴长为8
C. 双曲线C的焦点到渐近线的距离为3
D. 双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为
9. 已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是( )
A. E的渐近线方程为 B.
C. E的离心率等于 D.
10. 定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.以下关于共轭双曲线的结论正确的是( )
A. 与共轭的双曲线是
B. 互为共轭的双曲线渐近线相同
C. 互为共轭的双曲线的离心率为、，则
D. 互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上
三、填空题
11. 已知双曲线E的一条渐近线方程为，且焦距大于4，则双曲线E的标准方程可以为__________写出一个即可
12. 已知二次曲线，当时，该曲线的离心率的取值范围是__________.
13. 双曲线的渐近线与圆相切，则__________.
14. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是__________.
15. 若方程所表示的曲线为C，则有以下几个命题：
当时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆；
当时，曲线C表示双曲线；
当时，曲线C表示圆；
存在，使得曲线C为等轴双曲线.
以上命题中正确的命题的序号是__________.
四、解答题
16. 已知双曲线的方程为，求此双曲线的焦点坐标，渐近线方程，顶点坐标，离心率．
17. 已知双曲线方程是
若离心率，求双曲线的渐近线方程；
求双曲线焦点到渐近线的距离
18. 已知焦点在y轴上的椭圆的方程为，求k的取值范围：
已知双曲线的离心率，求实数k的取值范围.
19. 已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，
求双曲线的渐近线方程；
当时，的面积为，求此双曲线的方程．
20. 已知双曲线的实轴长为
若C的一条渐近线方程为，求b的值；
设、是C的两个焦点，P为C上一点，且，的面积为9，求C的标准方程
答案和解析
1.【答案】D
解：双曲线C：化为标准方程是，
其离心率是
故答案选：

2.【答案】B
解：双曲线的两条渐近线的方程为：，
所对应的直线的倾斜角分别为，，
双曲线的两条渐近线的夹角为，
故选

3.【答案】C
解：双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，实轴长为4，虚轴长为，
可得，
故选：

4.【答案】B
解：根据等轴双曲线知，
又因为焦点到渐近线的距离为，所以，
故该双曲线的方程为：
故选


5.【答案】A
解：双曲线的标准方程为，
则，，，
由双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，
可得，即，解得，
故选：

6.【答案】D
解：由题意，双曲线的渐近线方程为：，
因为双曲线的一条渐近线方程为，
可得，解得
故选：

7.【答案】C
解：双曲线的一条渐近线为，
直线可化为，
由题意可得，即，
又，
，
又双曲线离心率，
双曲线离心率
故选
8.【答案】ABC
解：由双曲线 C的方程为，得，，
所以，
其渐近线方程为，故A正确；
双曲线C的实轴长为，故B正确；
双曲线C的右焦点到渐近线的距离为；故C正确；
双曲线C的右焦点到双曲线的右顶点的距离为，故D错误；
故选

9.【答案】BCD
解：如图，
由，可得M为的中点，又O为的中点，
可得，，，，，故B，D正确；
设，则，，
则，可得，
，则双曲线的渐近线方程为即为
故A错误，C正确；
故选

10.【答案】BCD
解：对于A选项，由共轭双曲线的定义可知，与共轭的双曲线是，A错误；
对于B选项，双曲线的渐近线方程为，
双曲线的渐近线方程为，B正确；
对于C选项，设，双曲线的离心率为，
双曲线的离心率为，
所以，当且仅当时，等号成立，C正确；
对于D选项，设，双曲线的焦点坐标为，
双曲线的焦点坐标为，这四个焦点都在圆上，D正确.
故选

11.【答案】满足或即可
解：双曲线E的一条渐近线方程为，
设双曲线E的标准方程为，
当时，该双曲线的焦距为，即，解得；
当时，该双曲线的焦距为，即，解得；
双曲线的标准方程为或，
令可得双曲线的标准方程为
故答案为：满足或即可

12.【答案】
解：，
曲线方程化为，曲线为双曲线，
，
故答案为

13.【答案】
解：双曲线的渐近线方程为，即，
圆心到直线的距离，
故答案为

14.【答案】2
解：双曲线的右焦点
到一条渐近线的距离为，
可得：，
可得，即，
所以双曲线的离心率为：
故答案为：

15.【答案】②③
解：方程所表示的曲线为C，
①当时，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故①错误；
②当时，，曲线C表示双曲线，正确；
③当时，曲线C表示圆，正确；
④因为，不存在，使得曲线C为等轴双曲线，故④错误.
故答案为②③.

16.【答案】解：，
，则
因此焦点坐标为，渐近线方程为
顶点坐标为，离心率为

17.【答案】解：离心率，则，
即，
则双曲线的渐近线方程为
由得，即，
因为，
所以，
取双曲线一个焦点为，
取一渐近线为，即
所以焦点到渐近线的距离为：
18.【答案】解：方程表示焦点在y轴上的椭圆，
，
解之得，
故实数k的取值范围是
解：若双曲线的离心率，
，
则有，即，
解得，
故实数k的取值范围是
19.【答案】解：因为双曲线的渐近线方程为，坐标为，
则点到渐近线距离为，
所以又因为，
解得，
故所求双曲线的渐近线方程是
因为，由余弦定理得
，
即
又由双曲线的定义得，
平方得，
相减得
根据三角形的面积公式得
，
得再由中结论得，
故所求双曲线方程是
20.【答案】解：因为双曲线的实轴长为2，
即，则，
又双曲线一条渐近线方程为，
即，
所以
双曲线定义可得：，
又，的面积为9，
所以：，且，
所以，
故，
所以，因此，；
故双曲线C的标准方程为：
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