3.2.2双曲线的简单几何性质(2)
一、单选题
1. 已知斜率为1的直线l与双曲线的右支交于A,B两点,若,则直线l的方程为 ( )
A. B. C. D.
2. 已知圆的一条切线与双曲线没有公共点,则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 设是双曲线的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且,则的面积为
A. 3 B. C. D. 5
4. 已知,是双曲线C:的两个焦点,,离心率为,是双曲线C上的一点,若,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 若直线与双曲线有公共点,则双曲线的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. 已知双曲线方程为,过的直线L与双曲线只有一个公共点,则L的条数共有( )
A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条
7. 已知双曲线C:,若直线l:与双曲线C交于不同的两点M,N,且M,N都在以为圆心的圆上,则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题
8. 已知双曲线C:的左,右焦点分别为,,过作垂直于渐近线的直线l交两渐近线于A,B两点,若,则双曲线C的离心率可能为( )
A. B. C. D.
9. 已知双曲线的左、右焦点分别为、,左、右顶点分别为A、B,O为坐标原点.点P为双曲线上任意一点异于实轴端点,过点作的平分线的垂线,垂足为Q,连接则下列结论正确的有.( )
A. B.
C. D.
三、填空题
10. 若直线与双曲线交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆上,则m的值为__________.
11. 直线与双曲线相交于不同的两点若点分别在双曲线的左、右两支上,则实数k的取值范围为__________;若以线段AB为直径的圆经过坐标原点,则实数k的值为__________.
12. 已知双曲线C:的右焦点为F,过F的直线l与C交于A、B两点,若,则满足条件的l的条数为__________.
13. 已知双曲线的离心率为2,,分别是双曲线的左、右焦点,点,,点P为线段MN上的动点,当取得最小值和最大值时,的面积分别为,,则__________.
四、解答题
14. 设A,B分别为双曲线的左,右顶点,双曲线的实轴长为,焦点到渐近线的距离为
求双曲线的方程;
已知直线与双曲线的右支交于M、N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使,求t的值及点D的坐标.
15. 如图,平面上,P、Q两地间距离为4,O为PO中点,M处为一基站,设其发射的电波为直线,测量得,且O、M间距离为,现一机器人N正在运行,它在运行过程中始终保持到P地的距离比到Q地的距离大、O、M、N及电波直线均共面,请建立适当的平面直角坐标系.
求出机器人N运行的轨迹方程;
为了使机器人N免受M处发射的电波的影响即机器人接触不到过点M的直线,求出电波所在直线斜率k的取值范围.
16. 已知双曲线E:的两条渐近线方程为,且点为E上一点.
求E的标准方程;
设M为E在第一象限的任一点,过M的直线与E恰有一个公共点,且分别与E的两条渐近线交于点A,B,设O为坐标原点,证明:面积为定值.
17. 已知双曲线的离心率为2,过点且斜率为1的直线l交双曲线C于A,B两点.且
求双曲线C的标准方程.
设Q为双曲线C右支上的一个动点,F为双曲线C的右焦点,在x轴的负半轴上是否存在定点使得?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
解:设直线l的方程为,,
由得,
则,,
又因为,且A、B是直线l与双曲线右支的交点,
所以,且,
即,且,
解得,且,
所以,
所以直线l的方程为
故选
2.【答案】B
解:由题意,圆心到直线的距离,,
圆的一条切线与双曲线没有公共点,
与其中一条渐近线斜率比较即可,
,,
双曲线C的离心率的取值范围是
故答案选:
3.【答案】D
解:由已知得
设,
由,得,
所以,
代入,解得
所以,
故选
4.【答案】A
解:由题意,,,,
双曲线方程为
,
,
,
,
,
故选:
5.【答案】B
解:双曲线的渐近线方程为,
由双曲线与直线有交点,
则有,
即有,
则双曲线的离心率的取值范围为
故选:
6.【答案】B
解:由题意可得:双曲线的渐近线方程为:,
点是双曲线的右顶点,故直线与双曲线只有一个公共点;
过点平行于渐近线时,直线L与双曲线只有一个公共点,有2条,
所以,过的直线L与双曲线只有一个公共点,这样的直线共有3条.
故选
7.【答案】A
解:设,,
由,
则①,
且,,
设MN的中点为,则,,
,N在以A为圆心的圆上,,
为MN的中点,
,
,②,
由①②得或,
故选
8.【答案】BC
解:由题意得直线 l垂直于渐近线,则,
由双曲线性质得,,
由,得或
当时,如图:
在中,,
由双曲线渐近线性质得,,
因此有
,化简得,
故离心率;
当时,如图:
在中,,在中,,
因为,利用二倍角公式,得,
化简得,故离心率
综上所述,离心率e的值为或
故选
9.【答案】ABD
解:如图所示:
A选项,延长交于点C,
因为PQ为的平分线,,
故Q为的中点,,
又因为,即O为的中点,
故OQ为的中位线,
所以,,
又因为P、、C共线,
故,故A正确;
B选项,由定义可知,
因为,而,
故,而,
故,故B正确;
C选项,若,
则,
则,题中无说明,故不成立,故C错误;
D选项,因为,,
当轴时,,故D正确.
故选:
10.【答案】
解:设A,B两点的坐标分别为,,线段AB的中点为
由得,
则,
,
点在圆上,
,
故答案为
11.【答案】
解:由直线与双曲线,得,
因为A, B在双曲线的左右两支上,所以,
解得
假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点,设,,
则,即,
,
即,
,
整理得,符合条件,
故答案为;
12.【答案】3
解:,,,则,若A、B都在右支上,
当AB垂直于x轴时,将代入得,则,满足,
若A、B分别在两支上,,两顶点的距离为,
满足的直线有2条,且关于x轴对称,
综上满足条件的l的条数为
故答案为:
13.【答案】4
解:离心率为,即,,
,,可得MN的方程为,
设,,,
可得,
由表示原点O与P的距离的平方,
显然OP垂直于MN时,最小,
由OP:,即,联立直线,
可得,即,
当P与N重合时,可得最大,
可得,
即有
故答案为:
14.【答案】解:双曲线的渐近方程为,焦点为,
焦点到渐近线的距离为,
又,
,
双曲线的方程为
设点,
由得: ,
,
,,
有,
又点在双曲线上, ,
解得,点D在双曲线的右支上,
,
,此时点
15.【答案】解:如图所示,以点O为坐标原点,以PQ所在的直线为x轴建立直角坐标系,
则,
设点,则,
所以动点N是以点为焦点的双曲线的右支,
由题得,
所以,
所以动点N的轨迹方程为
由题得点M的坐标为,
设直线的方程为,即:,
联立直线和,
消去y得
当时,若,此时直线就是双曲线的渐近线,符合题意;
当,此时直线与双曲线右支一定有交点,不符合题意;
当时,由得,
所以,
所以
综合得
所以电波所在直线斜率k的取值范围
16.【答案】解:当时,E的标准方程为,代入,解得
故E的标准方程为
直线斜率显然存在,设直线方程为,与联立得:
由题意,且,化简得:
设,
将与联立,解得;与联立,解得
由,,故面积为定值
17.【答案】解:设双曲线C的焦距为2c,由双曲线C的离心率为2知,所以,
从而双曲线C的方程可化为,
由得,
设,,
因为,
所以,,
因为,所以,
于是,解得,
所以双曲线C的标准方程为;
假设存在,点满足题设条件.由知双曲线C的右焦点为,
设为双曲线C右支上一点,
当时,因为,
所以,于是,所以
当时,,,
因为,所以,
将代入并整理得,
所以,解得
综上,满足条件的点M存在,其坐标为
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