3.3.2抛物线的简单几何性质（1） 同步练习（含解析）

3.3.2抛物线的简单几何性质（1）
一、单选题
1. 若抛物线上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
2. 已知抛物线的焦点为F，P为抛物线C上一动点，，则的周长最小值为( )
A. 4 B. C. D.
3. 已知抛物线C：上的点A到C的焦点F的距离为10，点A在直线上的射影为，点F关于y轴的对称点为，则四边形的周长为( )
A. 28 B. 32 C. 34 D. 36
4. 已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则( )
A. 8 B. 11 C. 13 D. 16
5. 如图所示，点F是抛物线的焦点，点A，B分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则的周长的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 已知拋物线的焦点为F，点P为拋物线上位于第一象限内一点，若且直线PF的斜率为，则拋物线的方程为( )
A. B. C. D.
7. 已知双曲线C：的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线E：的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线：和：的距离之和的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题
8. 点到抛物线的准线的距离为2，则a的值可以为( )
A. B. C. 8 D.
9. 已知抛物线的焦点为F，是抛物线上两动点，是平面内一定点，下列说法正确的有( )
A. 准线方程为
B. 若，则线段AB中点到x轴为3
C. 的周长的最小值为
D. 以线段AB为直径的圆与准线相切
三、填空题
10. 若抛物线上一点到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为__________.
11. 某抛物线拱桥的跨度是20米，中间拱高是5米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，其中最长的支柱高是__________米.
12. 设抛物线的焦点为F，准线为l，已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A，若，则圆的方程为__________.
13. 点，抛物线的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，的最小值为41，则p的值等于__________.
14. 给出下列命题：
①到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；
②设为两个定点，k为常数且，若，则动点P的轨迹是双曲线。
③对任意实数，直线总与某一个定圆相切。
④在平面内，到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆；
⑤方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.
其中真命题的序号是__________把你认为正确的命题的序号都填上。
15. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，AF与BC相交于点若，且的面积为，则p的值为__________
四、解答题
16. 求适合下列条件的曲线标准方程.
虚轴长为16，离心率为的双曲线的标准方程；
过点的抛物线的标准方程.
17. 已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于两点，且
求该抛物线的方程；
为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值．
18. 河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面8 m，拱圈内水面宽24 m，一条船在水面以上部分高，船顶部宽
试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；
近日水位暴涨了，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少精确到
答案和解析
1.【答案】C
解：抛物线上一点到抛物线对称轴的距离为6，
设该点为P，则P的坐标为
到抛物线的焦点的距离为10
由抛物线的定义，得…
点P是抛物线上的点，
…
由联立，解得，或，
则抛物线方程为或
故选：

2.【答案】D
解：如图，
抛物线C：的焦点为，准线方程为
过M作准线的垂线，交抛物线于P，则的周长最小．
最小值为
故选：

3.【答案】B
解：由抛物线的方程可知，，直线为抛物线C的准线，
所以，四边形为直角梯形．
因为，所以根据抛物线的定义，得，
过点A作轴于点B，则，
在中，，
所以四边形的周长为，
故选

4.【答案】C
解：由抛物线C：可知，，得到，，
设，，因为AB的中点的纵坐标为5，
所以，则
故选

5.【答案】B
解：抛物线的准线l：，焦点，
由抛物线定义可得，
圆的圆心为，半径为4，
的周长
，
由抛物线及圆可得交点的横坐标为2，
，
，
故选

6.【答案】D
解：设抛物线的准线为l与x轴的交点为B，过点P作，垂足为A，连AF，
如图所示：
直线 PF的斜率为 ，，于是，
又根据已知条件以及抛物线的性质，知，
为正三角形，，，，
而由抛物线的性质知， ，
拋物线的方程为
故选

7.【答案】B
解：双曲线C：的渐近线方程为，
右顶点到其一条渐近线的距离等于，
可得，解得，
即有，
由题意可得，解得，
即有抛物线的方程为，设焦点为F，
过点M作于点A，
作准线：于点B，
连接MF，根据抛物线的定义得，
设M到的距离为，M到直线的距离为，
，
根据平面几何知识，可得当M、A、F三点共线时，有最小值．
到直线：的距离为
的最小值是2，
由此可得所求距离和的最小值为
故选

8.【答案】AB
解：由抛物线方程得，其准线方程为，
因为点到抛物线的准线的距离为2，
所以，
解得或，
故选

9.【答案】BC
解：选项A：抛物线为，其准线方程为，焦点，故A错；
选项B：设A，B在准线上投影为，
根据抛物线定义可知
，
所以线段AB中点到x轴距离为，故B对；
选项C：设A在准线上投影为，
，
，
当三点共线时取最值，
所以的周长的最小值为，故C对；
选项D：因为点A，B没有任何限制条件，可以是抛物线上任意两点，
所以以线段AB为直径的圆与准线不一定相切，故D错；
故选

10.【答案】
解：物线上一点到其准线的距离为4，
，即，
抛物线的标准方程为
故答案为

11.【答案】
解：建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线方程为，
过定点，
将B代入，得
抛物线方程为
设最长的支柱为PQ，点P的坐标为，解得，
点Q的坐标为，
故答案为：

12.【答案】
解：由可得点F的坐标为，准线l的方程为，
由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切如图，
可得点C的横坐标为，圆的半径为1，，
又因为，
所以，所以，
所以点C的纵坐标为，
所以圆的方程为
故答案为

13.【答案】42或22
解：由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离等于该点到准线的距离，
过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则，
当位于抛物线内，
，
当M，P，D共线时，的距离最小，
由最小值为41，即，解得：，
当位于抛物线外，
当P，M，F共线时，取最小值，
即，解得：或58，
由当时，，则点在抛物线内，舍去，
故答案为：42或

14.【答案】③⑤
解：①由于定点在定直线上，可得到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是直线，不是抛物线，不正确；
②设A，B为两个定点，k为常数且，若，只有当时，动点P的轨迹是双曲线，因此不正确．
③对任意实数，由于原点到直线的距离，因此对任意实数，直线总与定圆相切，正确．
④在平面内，到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹，只有当常数大于两定点的距离时才是椭圆，因此不正确；
⑤方程的两根：，3；可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确．
其中真命题的序号是③⑤．
故答案为：③⑤．

15.【答案】
解：如图所示，
轴，，，
，
，解得，
代入可取，
，
解得
故答案为

16.【答案】解：设双曲线的实轴长为，焦距为，虚轴长为，
则，
离心率，即，
又双曲线的虚轴长为，可得，
当双曲线焦点在x轴时，所求双曲线的标准方程为；
当双曲线焦点在y轴时，所求双曲线的标准方程为；
综上所述，所求双曲线的标准方程为或
当抛物线的焦点在x轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点P的坐标代入抛物线的标准方程得，即，
此时，所求抛物线的标准方程为；
当抛物线的焦点在y轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点P的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，
此时，所求抛物线的标准方程为，
综上所述，所求抛物线的标准方程为或
17.【答案】解：直线AB的方程是，与联立，
从而有，
所以： ，
由抛物线定义得： ，
所以，
抛物线方程为 ；
由，
化简得 ，
从而 ，
从而，，
设
，
且，即，
解得或
18.【答案】解：设抛物线型拱桥与水面两交点分别为A，B，
以AB垂直平分线为y轴，拱圈最高点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，
设拱桥所在的抛物线方程为，
因点在抛物线上，代入解得，
故拱桥所在的抛物线方程是
船沿中线行驶，顶部最宽处的横坐标为3，
因，故当时，，
故水位暴涨后，船身至少应降低米.
因精确到，故船身应降低
答：船身应降低，才能安全通过桥洞．
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