3.3.2抛物线的简单几何性质（2） 同步练习（含解析）

3.3.2抛物线的简单几何性质（2）
一、单选题
1. 抛物线的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，，垂足为K，则的面积是( )
A. 4 B. C. D. 8
2. 已知直线与抛物线相切，则 a等于( )
A. B. C. D. 4
3. 已知直线与抛物线交于两点A、B，且两交点纵坐标之积为，则直线恒过定点.( )
A. B. C. D.
4. 已知A，B为抛物线E：上异于顶点O的两点，是等边三角形，其面积为，则p的值为( )
A. 2 B. C. 4 D.
二、多选题
5. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点，，点P在l上的射影为，则( )
A. 若，则
B. 以PQ为直径的圆与准线l相切
C. 设，则
D. 过与抛物线C有且仅有一个公共点直线至多有2条
6. 设M，N是抛物线上的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM与ON的斜率之积为，则.( )
A. B. 以MN为直径的圆的面积大于
C. 直线MN过定点 D. 点O到直线MN的距离不大于2
三、填空题
7. 如图，过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于点A、B、C、D，则的值是__________
8. 抛物线上到直线距离最短的点的坐标是__________；最短距离是__________.
9. 已知抛物线的一条弦AB恰好以为中点，则弦AB所在直线方程是__________.
10. 已知点和抛物线C：，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若，则_________.
四、解答题
11. 已知抛物线C：经过点
求抛物线C的方程及其准线方程；
设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
12. 已知抛物线的焦点为F，过F且与x轴垂直的直线交该抛物线于A，B两点，
求抛物线的方程；
过点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若的面积为4，求直线l的斜率其中O为坐标原点
13. 已知抛物线C：过点过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
求证：A为线段BM的中点．
14. 如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的点作斜率分别为，的直线，分别交抛物线E于B，C两点．
求抛物线E的标准方程和准线方程；
若，证明：直线BC恒过定点．
15. 本小题分
已知抛物线C：的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为
求p；
若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求面积的最大值.
答案和解析
1.【答案】C
解：由抛物线的定义可得，
的斜率等于，
的倾斜角等于，
，
，故为等边三角形.
又焦点，AF的方程为，
设，，
由得， ，
，
等边三角形的边长，
的面积是，
故选

2.【答案】C
解：由消去 y得，
由于直线与抛物线相切，
所以解得
故选

3.【答案】C
解：设直线AB方程为，斜率为0的直线不需要考虑，不可能与抛物线交于两点，
联立得，
所以，
所以，
所以，
所以直线恒过定点
故选

4.【答案】A
解：设，，
，
又，，
，
即
又、与p同正，
，即
由抛物线对称性，知点B、A关于x轴对称．
又，所以不妨设直线OB的方程为：，
联立，解得
面积为，
，
又，
故选

5.【答案】ABC
解：由题知，，抛物线C的焦点，准线方程为
A.若，则，所以A正确;
B.设直线PQ的方程为，
代入抛物线C的方程整理，得，
，
线段PQ的中点坐标为，
以PQ为直径的圆的圆心为，半径为，
圆心到抛物线C的准线的距离，
以PQ为直径的圆与准线l相切，所以B正确;
C.设，则，
当且仅当M，P，F三点共线时等号成立，所以C正确;
D.当直线过点且与x轴平行时，直线与抛物线C有且只有一个公共点，
过点且与抛物线C相切的直线有两条，此时直线与抛物线C有且只有一个公共点，
所以过点与抛物线C有且只有一个公共点的直线有3条，所以D错误.
故选

6.【答案】CD
解：不妨设M为第一象限内的点，
①当直线轴时，，由，
得，，
所以直线OM，ON的方程分别为：和
与抛物线方程联立，得，，
所以直线MN的方程为，此时，
以MN为直径的圆的面积，故A、B不正确．
②当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN的方程为，
与抛物线方程联立消去x，得，
则
设，，则
因为，所以，
则，
即，
所以，即，
所以直线MN的方程为，即
综上可知，直线MN为恒过定点的动直线，故C正确；
易知当时，原点O到直线MN的距离最大，最大距离为2，
即原点O到直线MN的距离不大于故D正确．
故选：

7.【答案】1
解：设A、D的坐标分别为，，依题意知焦点，则设直线AD方程为：，
联立消去x，得，
，
又根据抛物线定义得，，
，，
故答案为

8.【答案】
解：设为抛物线上任一点，
则P到直线的距离
时，d取最小值，此时
故答案为

9.【答案】
解：设，，
代入抛物线方程得，①，，②，
①-②整理得，
中点为，
，，
，
则弦AB所在直线方程为，即为
故答案为

10.【答案】2
解：抛物线C：的焦点为，
过A，B两点的直线方程为，
联立可得，，
，
设，，
则，，
，
，
，
，，
，
，
整理可得，，
，
即，
，
故答案为

11.【答案】解：抛物线C：经过点可得，即，
可得抛物线C的方程为，准线方程为；
证明：抛物线的焦点为，
设直线方程为，联立抛物线方程，可得，
设，，则有，，
可得，，
直线OM的方程为，即，
直线ON的方程为，即，
可得，，
可得AB的中点的横坐标为，
即有AB为直径的圆心为，
半径为
，
可得圆的方程为，
化为，
由，可得或
则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点，
12.【答案】解：由抛物线的定义得，
抛物线的方程为；
设直线l的方程为，，，
直线l与抛物线有两个交点，
，
直线方程可化为，
代入，得，
且恒成立，
，，
，
又点O到直线l的距离，
，
解得，即
13.【答案】解：过点，
，
解得，
抛物线C的方程为，
焦点坐标为，准线为；
证明：由题意可得，直线MN的斜率存在，
设过点的直线方程为，，
，，
直线OP为，直线ON为：，
由题意知，，
由，可得，
，，且，
，
为线段BM的中点．
14.【答案】解：设抛物线的方程为，，
代入，可得，
抛物线E的标准方程为，准线方程为；
证明：设，，
则直线AB方程，
直线AC方程，
联立直线AB方程与抛物线方程，
消去y，得，
①，同理②
由得，
所以BC直线方程为，③
，
由①②③，整理得
由且，得，，
故直线BC经过定点
15.【答案】解：点到圆M上的点的距离的最小值为，解得；
由知，抛物线的方程为，即，则，
设切点，，
则易得，
从而得到，
设：，联立抛物线方程，消去y并整理可得，
，即，且，，
，
，
点P到直线AB的距离，
①，
又点在圆M：上，
故，代入①得，，
而，
当时，
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