17.3一次函数
1.一次函数
学习目标 ( 21世纪教育网版权所有 )
1.理解一次函数和正比例函数的概念；21世纪教育网
2.根据实际问题列出简单的一次函数的表达式．
3.经历由实际问题引出一次函数解析式的过程，体会数学与现实生活的联系；
学习重难点
根据实际问题列出简单的一次函数的表达式。21世纪教育网
学习过程
一、探究活动 ( 21世纪教育网版权所有 )
问题1 小明暑假第一次去北京．汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均车速是95千米/小时．已知A地直达北京的高速公路全程为570千米，小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离．21世纪教育网
分析 我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的值,显然,应该探求这两个变量的变化规律．为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,根据题意,s和t的函数关系式是：21世纪教育网
说明 找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步,这里的s、t是两个变量，s是t的函数，t是自变量，s是因变量．
问题2 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元,从现在起每个月节存12元．试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的函数关系式．
分析 我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为y元,得到所求的函数关系式为：
问题3 以上问题1和问题2表示的这两个函数有什么共同点
二、探究归纳
上述两个问题中的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的．函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为 ．一次函数通常可以表示为 的形式，其中k、b是常数，k≠0．
特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx（常数k≠0）出叫 ．正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例．
3、实践应用 ( 21世纪教育网版权所有 )
练习1 下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？
(1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)；21世纪教育网
(2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm)；
(3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨；
(4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）．
分析 确定函数是否为一次函数或正比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y＝kx＋b(k≠0)或y＝kx(k≠0)形式，所以此题必须先写出函数解析式后解答．
解 (1)
(2)
(3)
(4)
练习2 已知函数y＝(k－2)x＋2k＋1，若它是正比例函数，求k的值．若它是一次函数，求k的值．21世纪教育网
分析 根据一次函数和正比例函数的定义,易求得k的值．
解
例3 已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)y与x之间是什么函数关系；21世纪教育网
(3)求x＝2.5时，y的值．
解
四、交流反思 ( 21世纪教育网版权所有 )
一次函数、正比例函数以及它们的关系：21世纪教育网
函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数。一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式，其中k、b是常数，k≠0．
特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx（常数k≠0）出叫正比例函数．正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例．
五、达标检测 ( 21世纪教育网版权所有 )
1.已知y－3与x成正比例，且x＝2时，y＝7
(1)写出y与x之间的函数关系．
(2)y与x之间是什么函数关系．21世纪教育网
(3)计算y＝－4时x的值．(共17张PPT)
小明暑假第一次去北京.汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均速度是95千米/时.已知A地直达北京的高速公路全程570千米,小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离.
问题1
分 析
我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化.要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的值,显然,应该探究这两个量之间的变化规律.为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,则不难得到s与t的函数关系式是
s＝570－95t (1)
问题情境
问题2某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为1千克、 2千克、 3千克、 4千克、 5千克时的长度，并填入下表：
问题情境
x/千克 0 1 2 3 4 5
y/cm
3
3.5
4
4.5
5
5.5
(2)你能写出x与y之间的关系吗？
y=3+0.5x
1.某辆汽车油箱中原有油100升,汽车每行驶50千米耗油9升.
(1) 完成下表：
汽车行使路程x/千米 0 50 100 150 200 300
油箱剩余油量y/升
100
91
82
73
64
46
(2) 你能写出x与y的关系吗
y=100－0.18x
跟踪训练
1.下面的两个函数关系式:
(1)y=3+0.5x
(2) y=100－0.18x,大家讨论一下,这两个函数关系式有什么关系吗
请小组间交流.
2.若两个变量 x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(b为常数，k不等于0）的形式，则称 y是x的一次函数.（x为自变量，y为因变量.）
当b=0时，称y是x的正比例函数.
探究活动
上述函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的,我们称它们为一次函数.
一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式,其中k、b是常数,k≠0.
特别地,当b＝0时,一次函数y＝kx(常数k≠0)也叫做正比例函数.
思 考
前面所看到的函数中,哪些是一次函数
新知概括
它是一次函数.
它不是一次函数.
它是一次函数,也是正比例函数.
它是一次函数.
它不是一次函数.
它是一次函数.
1、判别下列函数中,哪些是一次函数
(1) y =-3X+7
(2) y =6X2-3X
(3) y =8X
(4) y =1+9X
(5) y =
（6）y = -0.5x-1
巩固慨念
1.已知函数y=(m+1)x+(m2-1),当m取什么值时， y是x的一次函数？当m取什么值时，y是x的正比例函数？
解：（1）因为y是x的一次函数
所以m+1 ≠ 0
m≠-1
（2）因为y是x的正比例函数
所以 m2-1=0 m=1或-1
又因为 m≠ -1 所以 m=1
例题分析
2.已知函数y＝(k－2)x＋2k＋1,若它是正比例函数,求k的值;若它是一次函数,求k的取值范围.
解:
若y＝(k－2)x＋2k＋1是正比例函数
则
k＝－
1
2
若y＝(k－2)x＋2k＋1是一次函数
则k－2≠0,
即k ≠ 2
2k＋1＝0,
k－2≠0,
解得
例题分析
3.已知y与x－3成正比例,当x＝4时, y＝3 .
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2) y与x之间是什么函数关系式;
(3)求x ＝2.5时, y的值
解:
(1) ∵ y与x－3成正比例
∴可设y ＝ k(x－3)
又∵当x＝4时, y＝3
∴3 ＝ k(4－3)
解得k ＝3
∴y ＝ 3(x－3) ＝ 3x－9
(2) y是x的一次函数;
(3)当x ＝2.5时, y ＝ 3×2.5－9 ＝－1.5
(k ≠ 0)
(1) a＝ ,
1.下列函数关系中,哪些属于一次函数,其中哪些又属于正比例函数
(1)面积为10cm 的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm);
(2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm);
(3)食堂原有煤120吨,每天要用去5吨,x天后还剩下煤y吨;
(4)汽车每小时行驶40千米,行驶的路程s(千米)和时间t(小时).
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h
a不是h的一次函数;
(2) L＝2b＋16,
L是b一次函数;
(3) y＝120－5x,
y是x一次函数;
(4) s＝40t,
s是既t的一次函数又是正比例函数.
课堂练习
汽车油箱中原有油50升，如果汽车每行驶50千米耗油9升, 求油箱的油量y（单位：升）随行驶时间x（单位：时）变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围，y 是 x 的一次函数吗？
y =50－ x
解：油量y与行驶时间x的函数关系式为：
自变量x的取值范围是：（0≤x≤50）
y =50－ x
函数
是x的一次函数。
实际应用
1. 气温随着高度的增加而下降，下降的一般规律是从地面到高空11km处，每升高1 km,气温下降6℃．高于11km时，气温几乎不再变化，设地面的气温为38℃，高空中xkm的气温为y℃．
（1）当0≤x≤11时，求y与x之间的关系式？
（2）求当x=2、5、8、11时，y的值。
（3）求在离地面13 km的高空处、气温是多少度？
（4）当气温是一16℃时，问在离地面多高的地方？
应用拓展
1、写出下列各题中x与y之间的函数关系式,并判断y是否为x的
一次函数 是否为正比例函数
(1) 汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系.
(2)一棵树现在高50厘米,每个月长高2厘米,x月后的高度为y厘米
(2) y=50+2x，y是x的一次函数，但不是x的正比例数．
(3) y= πx2,y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数。
解:(1) y = 60x , y 是 x的一次函数，也是x的正比例函数。
(3)圆的面积y(平方厘米)与半径x(厘米)之间的关系;
达标检测
2、某地区电话的月租费为25元，可打50次电话（每次3分钟），超过50次后，每次0.2元，
(1)写出每月电话费y（元）与通话次数x（x≥50）的函数关系式；
(2)求出月通话150次的电话费;
(3)如果某月通话费53.6元，求该月的通话次数。
达标检测
函数的解析式是用自变量的一次整式表示的,我们称它们为一次函数.
一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式,其中k、b是常数,k≠0.
正比例函数也是一次函数,它是一次函数的特例.
特别地,当b＝0时,一次函数y＝kx(常数k≠0)也叫做正比例函数.
课堂小结
结束寄语
1.时间是一个常数,但对勤奋者来说,是一个“变数”.
2.你在学业上的收获与你平时的付出是成正比的.
