6.1 平面向量的概念-2022-2023学年高一数学同步学案+练习(人教A版2019必修第二册)(含解析)

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名称 6.1 平面向量的概念-2022-2023学年高一数学同步学案+练习(人教A版2019必修第二册)(含解析)
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文件大小 6.2MB
资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-01-29 19:24:24

文档简介

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6.1 平面向量的概念
【学习要求】
1.理解向量的有关概念及向量的几何表示。
2.理解共线向量、相等向量的概念。
3.正确区分向量平行与直线平行。
【思维导图】
【知识梳理】
1.向量的概念
1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
2)数量:只有大小没有方向的量称为数量.
2.向量的几何表示
1)有向线段
具有方向的线段叫做有向线段,它包含三个要素:起点、方向、长度,如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作,线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||.
2)向量的表示
(1)几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.
(2)字母表示:向量可以用字母a,b,c,…表示 (印刷用黑体a,b,c,书写时用,,).
3.模、零向量、单位向量
向量的大小,称为向量的长度(或称模),记作||.长度为0的向量叫做零向量,记作0;长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
4.相等向量与共线向量
1)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
(1)记法:向量a与b平行,记作a∥b. (2)规定:零向量与任意向量平行.
2)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
3)共线向量:由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上,所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
【高频考点】
高频考点1. 平面向量的概念
【方法点拨】
1.理解向量概念应关注的两点
(1)本书所学向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.
(2)相等向量是平行(共线)向量,但平行(共线)向量不一定是相等的向量.
2.对平行向量、相等向量概念的理解
(1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量,规定零向量与任意向量平行,即对任意的向量a,都有0∥a,这里注意概念中提到的“非零向量”.
(2)对于任意两个相等的非零向量,都可以用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.在平面上,两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量,因为向量完全由它的方向和模确定的.
(3)相等向量是平行(共线)向量,但平行(共线)向量不一定是相等向量.
1.(2022·河北·高一课时练习)给出下列物理量:
①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功;⑨时间.
其中不是向量的有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】C
【详解】①质量,⑥路程,⑦密度,⑧功,⑨时间只有大小,没有方向,故不是向量,其余均为向量,故共有5个不是向量. 故选:C
2.(2022·上海·高一课时练习)给出下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤路程;⑥功;⑦加速度.其中是向量的有( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
【答案】A
【详解】解:速度、位移、力、加速度4个物理量是向量,它们都有大小和方向.故选:
3.(2022·河南郑州·高一校联考期中)下列命题中正确的有( )
A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合 B.若和是都是单位向量,则
C.若,则与的夹角为0° D.零向量与任何向量共线
【答案】D
【分析】根据平面向量的概念依次判断即可得出.
【详解】对A,两个向量相等,则它们的大小和方向相同,与位置无关,故A错误;
对B,若和是都是单位向量,则,方向不一定相同,故B错误;
对C,若,则与的夹角为或,故C错误;
对D,根据共线向量的定义规定,零向量与任何向量共线,故D正确.故选:D.
4.(2022·山东·高一课时练习)对下列命题:(1)若向量与同向,且,则;(2)若向量,则与的长度相等且方向相同或相反;(3)对于任意向量,若与的方向相同,则;(4)由于方向不确定,故不与任意向量平行;(5)向量与平行,则向量与方向相同或相反.其中正确的命题的个数为____个
【答案】1
【详解】(1)向量不可比较大小,故(1)错误;
(2)向量的模长相等,不能确定方向的关系,故(2)错误;
(3)当向量模长相等,且方向相同时,则向量相等,故(3)正确;
(4)与任意向量平行,故(4)错误;
(5)若与有一个向量是零向量,则方向不确定,故(5)错误. 故正确的命题个数为1. 答案:1.
5.(2022·山东·高一课时练习)下列四个命题正确的是( )
A.两个单位向量一定相等 B.若与不共线,则与都是非零向量
C.共线的单位向量必相等 D.两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
【答案】B
【解析】由相等向量、共线向量的概念逐一核对四个选项得答案.
【详解】解:两个单位向量一定相等错误,可能方向不同;
若与不共线,则与都是非零向量正确,原因是零向量与任意向量共线;
共线的单位向量必相等错误,可能是相反向量;
两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误,原因是向量可以平移.故选:B.
【点睛】本题考查命题的真假判断与运用,考查了平行向量、向量相等的概念,属于基础题.
高频考点2 . 向量的几何表示
【方法点拨】用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后依据向量模的大小确定有向线段的终点.必要时,需依据三角形的相关知识求出向量的方向或长度,选择合适的比例关系作出向量.
1.(2022.重庆.高一期中)在如图所示的坐标纸中,用直尺和圆规画出下列向量:
(1)=4,点A在点O正南方向;(2),点B在点O北偏西45°方向;
(3)=2,点C在点O南偏西30°方向.
【解析】解:根据题意,在如图所示的坐标纸中,画出对应的向量如下:
2.(2022·广东·高一课时练习)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格纸中有两个定点A,B.点C为小正方形的顶点,且.
(1)画出所有的向量;(2)求的最大值与最小值.
【答案】(1)见解析;(2)最大值为,最小值为.
(1)画出所有的向量,如图所示:
(2)由(1)所画的图知,①当点C位于点C1或C2时,||取得最小值=;
②当点C位于点C5或C6时,||取得最大值=;所以||的最大值为,最小值为.
3.(2022·河北·高一课时练习)一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B,然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛,最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛.
(1)试作出向量;(2)求.
【答案】(1)作图见解析;(2)400(海里).
【详解】(1)建立如图所示的直角坐标系,向量即为所求.
(2)根据题意,向量与方向相反,故向量,又,
∴在中,,故为平行四边形,
∴,则(海里).
4.(2022·山东·高一课时练习)已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地,再从地按南偏东方向飞行到达地,再从地按西南方向飞行到达地.画图表示向量,并指出向量的模和方向.
【答案】答案见解析.
【详解】以为原点,正东方向为轴正方向,正北方向为轴正方向建立直角坐标系.
由题意知点在第一象限,点在x轴正半轴上,点在第四象限,
向量如图所示,由已知可得,为正三角形,所以.
又,,所以为等腰直角三角形,
所以,.故向量的模为,方向为东南方向.
5.(2022·重庆·高一课时练习)在如图所示的网格图中,每个小方格的边长为1个单位长度,请你用直尺和圆规画出下列向量.
(1);(2),使;(3),使;(4),使∥.
【解析】解:根据题意,(1);(2),使;(3),使;(4),使∥.如图所示:
高频考点3 . 向量的模
【方法点拨】向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.
1.(2022·全国·高一专题练习)如图,在中,点D E F分别是边BC CA AB的中点,在以A B C D E F为端点的向量中,与向量的模相等的向量的个数是___________.
【答案】5
【分析】由向量的概念,结合几何图形写出与模相等的向量,即知个数.
【详解】由图知:与向量的模相等的向量有,
∴共有5个.
故答案为:5.
2.(2022·高一课时练习)已知,若,则________.
【答案】
【分析】直接由勾股定理求值即可.
【详解】由勾股定理可知,,即.
故答案为:.
3.(2022春·山东菏泽·高一统考期中)数轴上点A,B分别对应,则向量的长度是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【分析】根据数轴上的点的位置,直接计算长度,即可得解.
【详解】数轴上点A,B分别对应,则向量的长度即.故选:C.
4.(2022山西忻州·高一校考阶段练习)下列说法正确的是(  )
A.单位向量都相等 B.若,则 C.若,则 D.若,则
【答案】D
【解析】根据向量的概念,向量的两个要素:大小和方向性,即可判断各选项.
【详解】对于A,单位向量的大小都相等,但方向不一定相同,所以单位向量不一定都相等,所以A错误;
对于B,两个向量不相等,可以大小相等,方向不同,因而当时可能,所以B错误;
对于C,两个向量的模相等,但方向可以不同,因而当时和不一定平行,所以C错误;
对于D,若两个向量的模不相等,则两个向量一定不相同,所以若,则成立,所以D正确.综上可知,D为正确选项,故选:D
【点睛】本题考查了向量的概念,向量的两个要素:大小和方向性,属于基础题.
5.(2022·上海浦东新·高一校考期末)下列结论中,正确的是( )
A.零向量只有大小没有方向 B.
C.对任一向量,总是成立的 D.与线段的长度不相等
【答案】B
【分析】根据平面向量的概念,逐一判断即可得出答案.
【详解】既有大小又有方向的量叫向量,则零向量既有大小又有方向,故A错误;
由于与方向相反,长度相等,故B正确;
因为零向量的模为0,故C错误;
与线段的长度相等,故D错误. 故选:B.
高频考点3 . 零向量和单位向量
【方法点拨】零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作.
单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量
①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.
②要注意0与的区别与联系:0是一个实数,是一个向量,且有;书写时表示零向量,一定不能漏掉0上的箭头.
③单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同.
④在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆.
1.(2022·江苏高一月考)下列说法中,正确的是( )
①长度为0的向量都是零向量;②零向量的方向都是相同的;
③单位向量都是同方向;④任意向量与零向量都共线.
A.①② B.②③ C.②④ D.①④
【答案】D
【分析】根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误.
【详解】①长度为0的向量都是零向量,正确;②零向量的方向任意,故错误;
③单位向量只是模长都为1的向量,方向不一定相同,故错误;
④任意向量与零向量都共线,正确;故选:D
2.(2022·江西南昌·高一校考期中)下列结论中正确的为( )
A.两个有共同起点的单位向量,其终点必相同 B.向量与向量的长度相等
C.对任意向量,是一个单位向量 D.零向量没有方向
【答案】B
【分析】利用单位向量的概念可判断A选项的正误;利用向量模的定义可判断B选项的正误;取可判断C选项的正误;利用零向量的定义可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项,两个单位向量的模相等,但这两个单位向量的方向不确定,故A错;
对于B选项,向量与向量的模相等,B对;对于C选项,若,则无意义,C错;
对于D选项,零向量的方向任意,D错.故选:B.
3.(2022春·新疆·高一校考阶段练习)下列说法正确的是( )
A.单位向量均相等 B.单位向量
C.零向量与任意向量平行 D.若向量,满足,则
【答案】C
【分析】对于A:由方向不一定相同否定结论;对于B:单位向量.否定结论;
对于C:零向量与任意向量平行.即可判断;对于D:,的方向可以是任意的. 否定结论.
【详解】对于A:单位向量的模相等,但是方向不一定相同.故A错误;
对于B:单位向量.故B错误;对于C:零向量与任意向量平行.正确;
对于D:若向量,满足,但是,的方向可以是任意的.故选:C
4.(2023·全国·高三专题练习)下列关于零向量的说法正确的是( )
A.零向量没有大小 B.零向量没有方向
C.两个反方向向量之和为零向量 D.零向量与任何向量都共线
【答案】D
【分析】根据零向量的定义和性质即可判断.
【详解】根据零向量的概念可得零向量的长度为零,方向任意,故A、B错误;
两个反方向向量之和不一定为零向量,只有相反向量之和才是零向量,C错误;
零向量与任意向量共线,D正确.故选:D.
5.(2022·高一课时练习)下列说法中,正确的是( )
①长度为0的向量都是零向量;②零向量的方向都是相同的;
③单位向量都是同方向;④任意向量与零向量都共线.
A.①② B.②③ C.②④ D.①④
【答案】D
【分析】根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误.
【详解】①长度为0的向量都是零向量,正确;②零向量的方向任意,故错误;
③单位向量只是模长都为1的向量,方向不一定相同,故错误;
④任意向量与零向量都共线,正确;故选:D
高频考点5. 相等向量和平行(共线)向量
【方法点拨】在平面图形中寻找共线、相等向量的方法:
1.在平面图形中寻找共线向量时,应逐个列举,做到不重不漏,可先找在同一条直线上的共线向量,然后找平行直线上的共线向量,要注意一条线段对应两个共线向量,方向相同但长度不等的有向线段表示不同的共线向量.
2相等向量一定是共线向量,因此在找相等向量时,可以从共线向量中筛选,找出长度相等且方向相同的共线向量即可.
注意:判断两向量是否共线的关键是看两向量所在的直线是否平行或重合;判断两向量是否相等不仅要看两向量所在的直线是否平行或重合,还要看两向量的模是否相等、方向是否相同.
在平面图形中找相等向量、共线向量时,要注意利用三角形的中位线定理、平行四边形的性质等平面几何知识寻找线线之间的相等或平行关系.
1.(2022秋·陕西渭南·高一阶段练习)下列说法正确的是( )
A.若,则 B.若,则存在唯一实数使得
C.若,,则 D.与非零向量共线的单位向量为
【答案】D
【分析】对A,向量模相等,则向量相等或相反;对B,向量共线定理判断;对C,利用向量平行(或共线)的性质判断,对D利用非零向量的单位向量的求解方法求解.
【详解】若,则或,所以选项A错误;
若,此时 不存在,选项B错误;
若,由,,不一定得到,选项C不正确;
由向量为非零向量,根据单位向量的定义,选项D正确. 故选:D.
2.(2022·江苏高一课时练习)下列命题中正确的是( )
A.两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同
B.两个有公共终点的向量,一定是共线向量
C.两个有共同起点且共线的向量,其终点必相同
D.若与是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上
【答案】A
【分析】根据向量相等与共线的概念即可解决.
【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等,因此起点相同时终点必相同,故A正确;
两个有公共终点的向量,可能方向不同,也可能模长不同,故B错误;
两个有共同起点且共线的向量可能方向不同,也可能模长不同,终点未必相同,故C错误;
与是共线向量,也可能是AB平行于CD,故D错误. 故选:A
(2022·全国·高一课时练习)如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,则与相等的向量( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】AB选项均与方向不同,C选项与模长不等,D选项与方向相同,长度相等.
选:D
4.(2022·辽宁·高一课时练习)如图,在正六边形ABCDEF中,点O是对角线AD BE CF的交点,在以A B C D E F O为端点的向量中与向量相等的向量的个数是___________.
【答案】3
【详解】由题图知:与向量相等的向量有,∴共有3个.故答案为:3
5.(2022·江苏·高一课时练习)如图所示,O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.(1)写出与相等的向量;(2)写出与共线的向量;(3)向量与是否相等?
【答案】(1);(2);(3)不相等.
【详解】(1)根据相等向量的概念,可得与相等的向量有:向量.
(2)由共线向量的定义,可得与共线的向量有.
(3)根据图形,可得与的方向相反,所以向量与不相等
高频考点6 . 利用向量关系研究几何图形的性质
【方法点拨】利用向量关系证明或判断线段平行或相等的方法:
(1)证明或判断线段相等,只需证明或判断相应向量的长度(模)相等.
(2)证明线段平行,先证明相应的向量共线,再说明线段不重合.
常用的两个结论:①若=,且A,B,C,D四点不共线,则四边形ABCD为平行四边形;若四边形ABCD为平行四边形,则=. ②若//,则A,B,C三点共线
1.(2022·重庆高一课时练习)如图所示,在平行四边形中,,分别是,的中点.
(1)写出与向量共线的向量;(2)求证:.
【答案】(1),,;(2)证明见解析.
【分析】根据条件,可得四边形为平行四边形,即可写出与向量共线的向量;
根据题意可得出四边形是平行四边形,从而得出,,进而得出结论.
(1)解:因为在平行四边形中,,分别是,的中点,,,
所以四边形为平行四边形,所以.所以与向量共线的向量为:,,.
(2)证明:在平行四边形中,,.
因为,分别是,的中点,所以且,
所以四边形是平行四边形,所以,,故.
2.(2022·山东高一课时练习)如图,已知在 ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=FCAC,用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形.
【解析】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴,且,
∵AE=FCAC,∴,
∴,

∴,∴DE=FB,DE∥FB,∴四边形DEBF是平行四边形.
3.(2022·江苏高一课时练习)在△ABC中,点M为边AB的中点,点N为边AC的中点,
求证:.
【解析】证明:如图所示,
△ABC中,点M为边AB的中点,点N为边AC的中点,所以MN∥BC,且MNBC,
即||||,且与的方向相同,所以.
4.(2022·北京高一课时练习)如图,在 ABCD中,点M为AB的中点,点N在BD上,3BN=BD.求证:M,N,C三点共线.
【解析】解:设,

∴3 ∴
又有公共点M ∴M,N,C三点共线.
5.(2022·高一课时练习)如图,点D,E,F分别是△ABC的三边BC,AB,AC上的点,且都不与A,B,C重合,=.求证:△BDE∽△DCF.
【答案】证明见解析
【分析】根据=,可得且,从而可得DE∥AF,即可证得∠C=∠BDE,∠FDC=∠B,即可得证.
【详解】证明:因为=,所以且,故四边形AEDF是平行四边形,
所以DE∥AF,则∠C=∠BDE,
由DF∥EA,得∠FDC=∠B,故△BDE∽△DCF.
【课后训练】
全卷共22题 满分:150分 时间:120分钟
一 选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2022春·河南许昌·高一统考期末)已知P在所在平面内,满足,则P是的( )
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
【答案】A
【分析】由向量模的定义结合三角形的四心定义判断.
【详解】表示到三点距离相等,为外心.
故选:A.
2.(2023·全国·高三专题练习)如图,等腰梯形中,对角线与交于点,点、分别在两腰、上,过点,且,则下列等式中成立的是(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由梯形的几何性质可判断AB选项;推导出为的中点,可判断CD选项.
【详解】在等腰梯形中,、不平行,、不平行,AB均错;
因为,则,则,则,即,即,
,则,,即为的中点,
所以,,C错,D对.故选:D.
3.(2022·全国·高三专题练习)下列结论中,正确的是( )
A.长的有向线段不可能表示单位向量
B.若O是直线l上的一点,单位长度已选定,则l上有且只有两个点A,B,使得,是单位向量
C.方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量不可能是共线向量
D.一人从A点向东走500米到达B点,则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
【答案】B
【分析】根据单位向量、共线向量等知识对选项进行分析,从而确定正确答案.
【详解】一个单位长度取时,长的有向线段刚好表示单位向量,故A错误;
根据单位向量的知识可知,B选项正确;
方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量是一对方向相反的向量,
因此是平行向量,所以两向量为共线向量,故C错误;
根据位移的定义可知,向量表示这个人从A点到B点的位移,所以D错误.故选:B
4.(2022·陕西西安·高一统考期末)下列命题正确的是( )
A.若,则 B.向量与向量的长度相等
C.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等 D.若,则
【答案】B
【分析】根据向量的相关概念即可逐一判断.
【详解】对于A;当,则不一定平行,故A错,
对于B;向量与向量是相反向量,故长度相等,故B正确,
对于C;两个单位向量平行,可能方向相同也可能相反,故向量不一定相等,故C错,
对于D;向量有方向和大小,不能比较大小,故D错,故选:B
5.(2022秋·四川成都·高三校考期中)关于向量,,下列命题中,正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,,则
【答案】B
【分析】根据平面向量的相关定义,判断选项.
【详解】A.由平面向量的定义可知,向量的模相等,向量不一定相等,故A错误;
B.两个向量是相反向量,则两个向量平行,故B正确;
C.向量不能比较大小,故C错误;
D.当向量时,与不一定平行,故D错误;故选:B
6.(2022秋·浙江丽水·高一统考期末)若为非零向量,则“”是“共线”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】表示与同向的单位向量,共线可能同向共线、也可能反向共线,再由充分性、必要性的定义可求出答案.
【详解】依题意为非零向量, 表示与同向的单位向量,表示与同向的单位向量,
则表示与同向的单位向量,所以能推出共线,所以充分性成立;
共线可能同向共线、也可能反向共线,所以共线得不出,所以必要性不成立.故选:B.
7.(2022·山西大同·高一校考期中)下列说法正确的是( )
A.单位向量都相等 B.若,则
C.若,则 D.若,(),则与是平行向量
【答案】D
【分析】根据相等向量,共线向量的定义判断可得;
【详解】解:对于,单位向量的模长相等,但方向不一定相同,所以错误;
对于,当时,其模长与可能相等或,或,所以错误;
对于,当时,不一定有,因为要且与同向,所以错误;
对于,,(),则与是平行向量,正确.故选:.
【点睛】本题考查了平面向量的基本概念应用问题,属于基础题.
8.(2022·高一课时练习)若是任一非零向量,是单位向量,下列各式:①;②;③;④;⑤,其中正确的有( )
A.③④⑤ B.②③⑤ C.①③④ D.③④
【答案】D
【分析】根据向量模的概念可判断①;利用向量共线的定义可判断②;利用向量模的概念可判断③、④;根据单位向量的概念可判断⑤.
【详解】①||>||不正确,是任一非零向量,模长是任意的,故不正确;
②∥,则与为共线向量,故不正确;③,向量的模长是非负数,故正确;
④||=1,故正确;⑤是单位向量,是单位向量,两向量方向不一定相同,故不正确. 选D.
二 选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2022秋·广东佛山·高二校考开学考试)下面关于向量的说法正确的是( )
A.单位向量:模为的向量 B.零向量:模为的向量
C.平行共线向量:方向相同或相反的向量 D.相等向量:模相等,方向相同的向量
【答案】ABCD
【分析】根据平面向量的基本定义逐个辨析即可.
【详解】根据向量的定义可得,模为的向量为单位向量,模为的向量为零向量,方向相同或相反的向量为共线向量,模相等,方向相同的向量为相等向量,ABCD均正确,故选:ABCD.
10.(2022·高一课时练习)下列说法中错误的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则与可能共线 D.若,则一定不与共线
【答案】ABD
【分析】根据相等向量和共线向量的定义判断即可.
【详解】解:因为向量既有大小又有方向,所以只有方向相同、大小(长度)相等的两个向量才相等,故A错误;两个向量不相等,但它们的模可以相等,故B错误;
无论两个向量的模是否相等,这两个向量都可能共线故C正确,D错误.故选:ABD.
11.(2022·高一单元测试)下列说法中正确的是( )
A.若为单位向量,则 B.若与共线,则或
C.若,则 D.是与非零向量共线的单位向量
【答案】CD
【分析】根据向量的基本概念,以及零向量和单位向量的定义,逐项判定,即可求解.
【详解】对于A中,向量的方向不一定相同,所以A错误;
对于B中,向量与的长度不一定相等,所以B错误;
对于C中,由,根据零向量的定义,可得,所以C正确;
对于D中,由,可得与向量同向,
又由的模等于,所以是与非零向量共线的单位向量,所以D正确.故选:CD.
12.(2022秋·广西桂林·高一校考期末)下列关于向量的描述中,不正确的有( )
A.有向线段就是向量 B.若向量与向量共线,则四点共线
C.零向量没有方向 D.若,则
【答案】ABC
【分析】由有向线段和向量定义可知A错误;由共线向量定义可知B错误;根据零向量方向任意可知C错误;由相等向量定义知D正确.
【详解】对于A,有向线段是固定的,向量是可以平行移动的,二者不是相等关系,A错误;
对于B,若和是平行四边形的一组对边,此时向量与向量共线,但四点不共线,B错误;对于C,零向量方向任意,C错误;
对于D,若,则大小相等,方向相同,D正确.故选:ABC.
三 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2022·山西运城·高一校考)在棱长为的正方体的个顶点中选个点作为向量的顶点和终点,则其中:单位向量共有___个与向量相反的向量,模长为的向量共有____个.
【答案】
【分析】利用单位向量、相反向量的定义即可得出共个与向量相反的向量;由于正方体的对角线长度为,即可得出模长为的向量共有个.
【详解】如图所示,
其中单位向量有与相反,共个;
正方体棱长为,正方体体对角线长为,
模长为的向量有,,,,,,,,共个.故答案为:,.
14.(2022·全国·高一专题练习)给出下列命题:
①若,则与的方向相同或相反;②若,,则;
③若两个模相等的向量互相平行,则这两个向量相等;
④若=,=,则=,其中正确的是________.(填序号)
【答案】④
【分析】利用平行向量、相等向量的定义依次判断各个命题作答.
【详解】因零向量的方向是任意的,且零向量与任意向量平行,则当=,对于任意的向量,都有,①错误;
当=时,对于任意的向量,都有,,而,不一定共线,②错误;
两个模相等的向量互相平行,其方向可能相反,③错误;
由两个向量相等的定义及性质得④正确.故答案为:④
15.(2022·全国·高一假期作业)设O是正方形ABCD的中心,则①=;②;③与共线;④⊥.其中,所有正确结论的序号为________.
【答案】①②③④
【分析】根据向量相等、平行(共线)和垂直等知识进行分析,从而确定正确答案.
【详解】∵与方向相同,长度相等,∴=,①正确;
∵A,O,C三点在一条直线上,∴,②正确;
∵,∴与共线,③正确;
∵∠COD=90°,∴⊥,④正确.故答案为:①②③④
16.(2022春·甘肃庆阳·高一统考期末)在等边△ABC中,D,E,F分别为BC,AB,AC的中点,写出一个与向量垂直的向量:______.(用字母作答)
【答案】 (答案不唯一)
【分析】先计算出,从而可判断与其垂直的向量.
【详解】如图,连接, ,
因为为等边三角形,D为中点,故,
所以与向量垂直的向量有(答案不唯一,,,,,,,也可以).
故答案为:(答案不唯一).
四 解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.(2022·全国·高一专题练习)如图,是正六边形的中心,且,,.在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中,问:
(1)与相等的向量有哪些?(2)的相反向量有哪些?(3)与的模相等的向量有哪些?
【答案】(1) (2)
(3)
【分析】根据相等向量、相反向量、向量模长的概念,结合图形进行分析求解即可.
(1)由相等向量定义知:与相等的向量有.
(2)由相反向量定义知:的相反向量有.
(3)由向量模长定义知:与的模相等的向量有.
18.(2022·全国·高一专题练习)如图,在矩形ABCD中,AD=2AB=2,M,N分别为AD和BC的中点,以A,B,C,D,M,N为起点和终点作向量,回答下列问题:
(1)在模为1的向量中,相等的向量有多少对?
(2)在模为的向量中,相等的向量有多少对?
【答案】(1)18对(2)4对
【分析】(1)根据图形和已知条件,可逐一列出模为1的向量,相等的向量,再确定对数即可;
(2)根据图形和已知条件,可逐一列出模为的向量,相等的向量,再确定对数即可;
(1)解:在模为1的向量中,相等的向量有:
①,共有6对;②,共有6对;
③,共有3对;④,共有3对;
所以模为1的向量中,相等的向量共有18对.
(2)解:在模为的向量中,相等的向量有:
.共有4对.
19.(2022·高一)如图,和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形,设的边长为a,写出图中给出的长度为的所有向量中,
(1)与向量相等的向量;(2)与向量共线的向量;(3)与向量平行的向量
【答案】(1),;(2),,,,;(3),,,,.
【分析】(1)利用相等向量定义可得解;(2)利用共线向量定义可得解;(3)利用平行向量定义可得解.
【详解】(1)与向量相等的向量,即与向量大小相等,方向相同的向量,有,;
(2)与向量共线的向量,即与向量方向相同或相反的向量,有,,,,;
(3)与向量平行的向量,即与向量方向相同或相反的向量,有,,,,
20.(2023·高一课时练习)如图,某人从点A出发,向西走了200m后到达B点,然后改变方向,沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点,最后又改变方向,向东走了200m到达D点,发现D点在B点的正北方.
(1)作出、、(图中1个单位长度表示100m);(2)求的模.
【答案】(1)作图见解析(2)
【分析】(1)根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置,即可做出所有向量;
(2)由题意可知,四边形是平行四边形,则可求得的模.
【详解】(1)根据题意可知,B点在坐标系中的坐标为,
又因为D点在B点的正北方,所以,
又,所以,即D、 C两点在坐标系中的坐标为,;
即可作出、、如下图所示.
(2)如图,作出向量,由题意可知,且,
所以四边形是平行四边形,则,所以的模为
21.(2022·高一课时练习)在如图的方格纸上,已知向量,每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量,使;
(2)在图中画一个以A为起点的向量,使,并说出向量的终点的轨迹是什么?
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析,终点的轨迹是以A为圆心,半径为的圆
【分析】(1)(2)根据相等向量与向量模的几何意义,画出向量,即可得解;
(1)解:根据相等向量的定义,所作向量与向量平行,且长度相等.图如下所示:
(2)解:由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心,半径为的圆.
22.(2022·全国·高三专题练习)在平行四边形中,,分别为边、的中点,如图.
(1)写出与向量共线的向量; (2)求证:.
【答案】(1),(2)证明见解析
【分析】(1)由题意直接写出与向量共线的向量即可;
证明四边形是平行四边形即可证明.
(1)据题意,与向量共线的向量为:, ;
(2)证明:是平行四边形,且,分别为边,的中点,
,且,四边形是平行四边形,
,且,.
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6.1 平面向量的概念
【学习要求】
1.理解向量的有关概念及向量的几何表示。
2.理解共线向量、相等向量的概念。
3.正确区分向量平行与直线平行。
【思维导图】
【知识梳理】
1.向量的概念
1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
2)数量:只有大小没有方向的量称为数量.
2.向量的几何表示
1)有向线段
具有方向的线段叫做有向线段,它包含三个要素:起点、方向、长度,如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作,线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||.
2)向量的表示
(1)几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.
(2)字母表示:向量可以用字母a,b,c,…表示 (印刷用黑体a,b,c,书写时用,,).
3.模、零向量、单位向量
向量的大小,称为向量的长度(或称模),记作||.长度为0的向量叫做零向量,记作0;长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
4.相等向量与共线向量
1)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
(1)记法:向量a与b平行,记作a∥b. (2)规定:零向量与任意向量平行.
2)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
3)共线向量:由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上,所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
【高频考点】
高频考点1. 平面向量的概念
【方法点拨】
1.理解向量概念应关注的两点
(1)本书所学向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.
(2)相等向量是平行(共线)向量,但平行(共线)向量不一定是相等的向量.
2.对平行向量、相等向量概念的理解
(1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量,规定零向量与任意向量平行,即对任意的向量a,都有0∥a,这里注意概念中提到的“非零向量”.
(2)对于任意两个相等的非零向量,都可以用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.在平面上,两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量,因为向量完全由它的方向和模确定的.
(3)相等向量是平行(共线)向量,但平行(共线)向量不一定是相等向量.
1.(2022·河北·高一课时练习)给出下列物理量:
①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功;⑨时间.
其中不是向量的有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.(2022·上海·高一课时练习)给出下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤路程;⑥功;⑦加速度.其中是向量的有( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
3.(2022·河南郑州·高一校联考期中)下列命题中正确的有( )
A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合 B.若和是都是单位向量,则
C.若,则与的夹角为0° D.零向量与任何向量共线
4.(2022·山东·高一课时练习)对下列命题:(1)若向量与同向,且,则;(2)若向量,则与的长度相等且方向相同或相反;(3)对于任意向量,若与的方向相同,则;(4)由于方向不确定,故不与任意向量平行;(5)向量与平行,则向量与方向相同或相反.其中正确的命题的个数为____个
5.(2022·山东·高一课时练习)下列四个命题正确的是( )
A.两个单位向量一定相等 B.若与不共线,则与都是非零向量
C.共线的单位向量必相等 D.两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
高频考点2 . 向量的几何表示
【方法点拨】用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后依据向量模的大小确定有向线段的终点.必要时,需依据三角形的相关知识求出向量的方向或长度,选择合适的比例关系作出向量.
1.(2022.重庆.高一期中)在如图所示的坐标纸中,用直尺和圆规画出下列向量:
(1)=4,点A在点O正南方向;(2),点B在点O北偏西45°方向;
(3)=2,点C在点O南偏西30°方向.
2.(2022·广东·高一课时练习)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格纸中有两个定点A,B.点C为小正方形的顶点,且.
(1)画出所有的向量;(2)求的最大值与最小值.
3.(2022·河北·高一课时练习)一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B,然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛,最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛.
(1)试作出向量;(2)求.
4.(2022·山东·高一课时练习)已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地,再从地按南偏东方向飞行到达地,再从地按西南方向飞行到达地.画图表示向量,并指出向量的模和方向.
5.(2022·重庆·高一课时练习)在如图所示的网格图中,每个小方格的边长为1个单位长度,请你用直尺和圆规画出下列向量.
(1);(2),使;(3),使;(4),使∥.
高频考点3 . 向量的模
【方法点拨】向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.
1.(2022·全国·高一专题练习)如图,在中,点D E F分别是边BC CA AB的中点,在以A B C D E F为端点的向量中,与向量的模相等的向量的个数是___________.
2.(2022·高一课时练习)已知,若,则________.
3.(2022春·山东菏泽·高一统考期中)数轴上点A,B分别对应,则向量的长度是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.(2022山西忻州·高一校考阶段练习)下列说法正确的是(  )
A.单位向量都相等 B.若,则 C.若,则 D.若,则
5.(2022·上海浦东新·高一校考期末)下列结论中,正确的是( )
A.零向量只有大小没有方向 B.
C.对任一向量,总是成立的 D.与线段的长度不相等
高频考点3 . 零向量和单位向量
【方法点拨】零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作.
单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量
①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.
②要注意0与的区别与联系:0是一个实数,是一个向量,且有;书写时表示零向量,一定不能漏掉0上的箭头.
③单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同.
④在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆.
1.(2022·江苏高一月考)下列说法中,正确的是( )
①长度为0的向量都是零向量;②零向量的方向都是相同的;
③单位向量都是同方向;④任意向量与零向量都共线.
A.①② B.②③ C.②④ D.①④
2.(2022·江西南昌·高一校考期中)下列结论中正确的为( )
A.两个有共同起点的单位向量,其终点必相同 B.向量与向量的长度相等
C.对任意向量,是一个单位向量 D.零向量没有方向
3.(2022春·新疆·高一校考阶段练习)下列说法正确的是( )
A.单位向量均相等 B.单位向量
C.零向量与任意向量平行 D.若向量,满足,则
4.(2023·全国·高三专题练习)下列关于零向量的说法正确的是( )
A.零向量没有大小 B.零向量没有方向
C.两个反方向向量之和为零向量 D.零向量与任何向量都共线
5.(2022·高一课时练习)下列说法中,正确的是( )
①长度为0的向量都是零向量;②零向量的方向都是相同的;
③单位向量都是同方向;④任意向量与零向量都共线.
A.①② B.②③ C.②④ D.①④
高频考点5. 相等向量和平行(共线)向量
【方法点拨】在平面图形中寻找共线、相等向量的方法:
1.在平面图形中寻找共线向量时,应逐个列举,做到不重不漏,可先找在同一条直线上的共线向量,然后找平行直线上的共线向量,要注意一条线段对应两个共线向量,方向相同但长度不等的有向线段表示不同的共线向量.
2相等向量一定是共线向量,因此在找相等向量时,可以从共线向量中筛选,找出长度相等且方向相同的共线向量即可.
注意:判断两向量是否共线的关键是看两向量所在的直线是否平行或重合;判断两向量是否相等不仅要看两向量所在的直线是否平行或重合,还要看两向量的模是否相等、方向是否相同.
在平面图形中找相等向量、共线向量时,要注意利用三角形的中位线定理、平行四边形的性质等平面几何知识寻找线线之间的相等或平行关系.
1.(2022秋·陕西渭南·高一阶段练习)下列说法正确的是( )
A.若,则 B.若,则存在唯一实数使得
C.若,,则 D.与非零向量共线的单位向量为
2.(2022·江苏高一课时练习)下列命题中正确的是( )
A.两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同
B.两个有公共终点的向量,一定是共线向量
C.两个有共同起点且共线的向量,其终点必相同
D.若与是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上
(2022·全国·高一课时练习)如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,则与相等的向量( )
A. B. C. D.
4.(2022·辽宁·高一课时练习)如图,在正六边形ABCDEF中,点O是对角线AD BE CF的交点,在以A B C D E F O为端点的向量中与向量相等的向量的个数是___________.
5.(2022·江苏·高一课时练习)如图所示,O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.(1)写出与相等的向量;(2)写出与共线的向量;(3)向量与是否相等?
高频考点6 . 利用向量关系研究几何图形的性质
【方法点拨】利用向量关系证明或判断线段平行或相等的方法:
(1)证明或判断线段相等,只需证明或判断相应向量的长度(模)相等.
(2)证明线段平行,先证明相应的向量共线,再说明线段不重合.
常用的两个结论:①若=,且A,B,C,D四点不共线,则四边形ABCD为平行四边形;若四边形ABCD为平行四边形,则=. ②若//,则A,B,C三点共线
1.(2022·重庆高一课时练习)如图所示,在平行四边形中,,分别是,的中点.
(1)写出与向量共线的向量;(2)求证:.
2.(2022·山东高一课时练习)如图,已知在 ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=FCAC,用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形.
3.(2022·江苏高一课时练习)在△ABC中,点M为边AB的中点,点N为边AC的中点,
求证:.
4.(2022·北京高一课时练习)如图,在 ABCD中,点M为AB的中点,点N在BD上,3BN=BD.求证:M,N,C三点共线.
5.(2022·高一课时练习)如图,点D,E,F分别是△ABC的三边BC,AB,AC上的点,且都不与A,B,C重合,=.求证:△BDE∽△DCF.
【课后训练】
全卷共22题 满分:150分 时间:120分钟
一 选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2022春·河南许昌·高一统考期末)已知P在所在平面内,满足,则P是的( )
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
2.(2023·全国·高三专题练习)如图,等腰梯形中,对角线与交于点,点、分别在两腰、上,过点,且,则下列等式中成立的是(  )
A. B. C. D.
3.(2022·全国·高三专题练习)下列结论中,正确的是( )
A.长的有向线段不可能表示单位向量
B.若O是直线l上的一点,单位长度已选定,则l上有且只有两个点A,B,使得,是单位向量
C.方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量不可能是共线向量
D.一人从A点向东走500米到达B点,则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
4.(2022·陕西西安·高一统考期末)下列命题正确的是( )
A.若,则 B.向量与向量的长度相等
C.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等 D.若,则
5.(2022秋·四川成都·高三校考期中)关于向量,,下列命题中,正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,,则
6.(2022秋·浙江丽水·高一统考期末)若为非零向量,则“”是“共线”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
7.(2022·山西大同·高一校考期中)下列说法正确的是( )
A.单位向量都相等 B.若,则
C.若,则 D.若,(),则与是平行向量
8.(2022·高一课时练习)若是任一非零向量,是单位向量,下列各式:①;②;③;④;⑤,其中正确的有( )
A.③④⑤ B.②③⑤ C.①③④ D.③④
二 选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2022秋·广东佛山·高二校考开学考试)下面关于向量的说法正确的是( )
A.单位向量:模为的向量 B.零向量:模为的向量
C.平行共线向量:方向相同或相反的向量 D.相等向量:模相等,方向相同的向量
10.(2022·高一课时练习)下列说法中错误的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则与可能共线 D.若,则一定不与共线
11.(2022·高一单元测试)下列说法中正确的是( )
A.若为单位向量,则 B.若与共线,则或
C.若,则 D.是与非零向量共线的单位向量
12.(2022秋·广西桂林·高一校考期末)下列关于向量的描述中,不正确的有( )
A.有向线段就是向量 B.若向量与向量共线,则四点共线
C.零向量没有方向 D.若,则
三 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2022·山西运城·高一校考)在棱长为的正方体的个顶点中选个点作为向量的顶点和终点,则其中:单位向量共有___个与向量相反的向量,模长为的向量共有____个.
14.(2022·全国·高一专题练习)给出下列命题:
①若,则与的方向相同或相反;②若,,则;
③若两个模相等的向量互相平行,则这两个向量相等;
④若=,=,则=,其中正确的是________.(填序号)
15.(2022·全国·高一假期作业)设O是正方形ABCD的中心,则①=;②;③与共线;④⊥.其中,所有正确结论的序号为________.
16.(2022春·甘肃庆阳·高一统考期末)在等边△ABC中,D,E,F分别为BC,AB,AC的中点,写出一个与向量垂直的向量:______.(用字母作答)
四 解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.(2022·全国·高一专题练习)如图,是正六边形的中心,且,,.在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中,问:
(1)与相等的向量有哪些?(2)的相反向量有哪些?(3)与的模相等的向量有哪些?
18.(2022·全国·高一专题练习)如图,在矩形ABCD中,AD=2AB=2,M,N分别为AD和BC的中点,以A,B,C,D,M,N为起点和终点作向量,回答下列问题:
(1)在模为1的向量中,相等的向量有多少对?
(2)在模为的向量中,相等的向量有多少对?
19.(2022·高一)如图,和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形,设的边长为a,写出图中给出的长度为的所有向量中,
(1)与向量相等的向量;(2)与向量共线的向量;(3)与向量平行的向量
20.(2023·高一课时练习)如图,某人从点A出发,向西走了200m后到达B点,然后改变方向,沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点,最后又改变方向,向东走了200m到达D点,发现D点在B点的正北方.
(1)作出、、(图中1个单位长度表示100m);(2)求的模.
21.(2022·高一课时练习)在如图的方格纸上,已知向量,每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量,使;
(2)在图中画一个以A为起点的向量,使,并说出向量的终点的轨迹是什么?
22.(2022·全国·高三专题练习)在平行四边形中,,分别为边、的中点,如图.
(1)写出与向量共线的向量; (2)求证:.
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