苏科版初二数学下册 第9章《中心对称图形—平行四边形》单元基础练习（含解析）

第9章 中心对称图形——平行四边形（全章复习与巩固）
（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．正方形是特殊的矩形，正方形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线相等且互相平分
3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝AD时，它是菱形 B．当AC＝BD时，它是正方形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC⊥BD时，它是菱形
4．如图，在中，，将绕着点A顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，矩形的顶点，，，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．已知：如图所示：点D，E分别是的边的中点．
求证：，且．
证明：延长到点F，使EF＝DE，连接．∵，∴四边形是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：①∴；②．即；③四边形是平行四边形；④，且．则正确的证明顺序应是（　　）
A．①→③→②→④ B．①→③→④→② C．②→③→①→④ D．②→③→④→①
8．如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为　　
A． B． C． D．
9．如图，在正方形中，对角线、相交于点O． E、F分别为、上一点，且，连接，，．若，则的度数为（ ）
A．50° B．55° C．65° D．70°
10．如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，则：
①；
②图中共有6对全等三角形；
③若，，则；
④；
其中正确的结论有（　　）
A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣5）关于原点对称的点的坐标是 ___________________．
12．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，添加一个条件____________，使菱形是正方形．
13．如图，中，，则的长为_________．
14．已知，某小区要在一块矩形ABCD的空地上建造一个四边形花园EFGH，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，若AB=6m，AD=10m，则四边形EFGH的面积为______________m2．
15．如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为_________．
16．如图，两个边长为a的正方形重叠，其中一个的顶点在另一个的对角线的交点上，则重叠部分的面积为___________________平方单位．
17．如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为________
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．
三、解答题
19．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
(1)将向左平移6个单位长度得到，请画出；
(2)画出关于点的中心对称图形；
(3)若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为___________，旋转角度为__________°．
20．如图，在△ABC中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，连接AD，CF．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若AB＝6，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长．
21．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，OE＝OF．
（1）求证：AECF；
（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
22．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
23．提出问题：（1）如图1，已知在锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，连接、，则线段与线段的数量关系是 ；
（2）如图2，在中，，分别以边、向外作正方形和正方形，连接，，．猜想线段与线段的有什么关系？并说明理由．（提示：正方形的各边都相等，各角均为）
（3）在（2）的条件下，探究与面积是否相等？说明理由．
24．如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A 顺时针旋转60°得到 ，连接 ．
（1）用等式表示 与CP的数量关系，并证明；
（2）当∠BPC＝120°时，
①直接写出 的度数为 ；
②若M为BC的中点，连接PM，请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．
参考答案
1．B
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则此项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键．
2．B
【分析】根据正方形的性质以及矩形的性质即可得出结论．
解：A、对角线互相平分是矩形和正方形都具有的性质，不符合题意；
B、对角线互相垂直是正方形具有而矩形不具有的性质，符合题意；
C、对角线相等是矩形和正方形都具有的性质，不符合题意；
D、对角线相等且互相平分是矩形和正方形都具有的性质，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握相关的图形性质定理是解本题的关键．
3．B
【分析】根据菱形、矩形和正方形的判定逐项判断即可得.
解：A.由有一组邻边相等的平行四边形是菱形得：当时，它是菱形，则此项正确，不符合题意；
B.由对角线相等的平行四边形是矩形得：当时，它是矩形，不一定是正方形，则此项不正确，符合题意；
C.由有一个角是直角的平行四边形是矩形得：当时，它是矩形，则此项正确，不符合题意；
D.由对角线互相垂直的平行四边形是菱形得：当时，它是菱形，则此项正确，不符合题意.
故选：B.
【点拨】本题考查了菱形、矩形和正方形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定方法是解题关键.
4．A
【分析】根据旋转的性质和，从而可以求得′和的度数，从而可以求得的度数．
解：∵将绕着点A顺时针旋转后，得到，且点在上，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查旋转的性质和等腰三角形的性质，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
5．B
【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可．
解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，
∴DF= AB=4，
∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE=BC=7，
∴EF=DE-DF=3，
故选：B
【点拨】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．
6．D
【分析】过点B作BG⊥x轴于G，过点C作CH⊥y轴于H，根据矩形的性质得到点C的坐标，求出∠COE=45°，OC=4，过点C作CE⊥x轴于E，过点C1作C1F⊥x轴于F，由旋转得∠COC1=75°，求出∠C1OF=30°，利用勾股定理求出OF，即可得到答案．
解：过点B作BG⊥x轴于G，过点C作CH⊥y轴于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，ADBC，∠CDA=∠DAB=90°，
∴∠HCD=∠ADO=∠BAG，
∵∠CHD=∠BGA=90°，
∴△CHD≌△AGB（AAS），
∵，，，
∴CH=AG=5-1=4，DH=BG=2，
∴OH=2+2=4，
∴C（4，4），
∴OE=CE=4，
∴∠COE=45°，OC=4，
如图，过点C作CE⊥x轴于E，过点C1作C1F⊥x轴于F，
由旋转得∠COC1=75°，
∴∠C1OF=30°，
∴C1F=OC1=OC=2，
∴OF=，
∴点C1的坐标为，
故选：D．
【点拨】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．
7．C
【分析】先正确书写出三角形中位线的证明过程再进行排序．
解：先延长到点F，使，连接，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴②，即，
∴③四边形是平行四边形，
∴①，
∴④，且，
∴正确的证明顺序为：②→③→①→④，
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线的证明过程是解题关键．
8．B
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB=∠BDF=∠DBC，由三角形的外角性质求出∠BDF=∠DBC=∠DFC=20°，再由三角形内角和定理求出∠A，即可得到结果．
解：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
由折叠可得∠ADB=∠BDF，
∴∠DBC=∠BDF，
又∠DFC=40°，
∴∠DBC=∠BDF=∠ADB=20°，
又∵∠ABD=48°，
∴△ABD中，∠A=180°-20°-48°=112°，
∴∠E=∠A=112°，
故选B．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出的度数是解决问题的关键．
9．C
【分析】根据正方形的性质证明△AOF≌△BOE（SAS），得到∠OBE=∠OAF，利用OE=OF，∠EOF=90°，求出∠OEF=∠OFE=45°，由此得到∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，进而得到∠CBE的度数．
解：在正方形中，AO=BO，∠AOD=∠AOB=90°，∠CBO=45°，
∵，
∴△AOF≌△BOE（SAS），
∴∠OBE=∠OAF，
∵OE=OF，∠EOF=90°，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∵，
∴∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，
∴∠CBE=∠CBO+∠OBE=45°+20°=65°，
故选：C．
【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记正方形的性质是解题的关键．
10．B
【分析】根据平行四边形的性质得出，，证明，得出，判断①，根据平行四边形是中心对称图形，得出6对全等三角形，进而判断②，根据三角形三边关系得出的取值范围，判断③，根据全等三角形的性质判断④．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
在和中，
∴，
∴，故①正确，
由平行四边形的中心对称性，全等三角形有：，，，，，共6对，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴，故④正确；
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质和三边关系的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
11．（2，5）
【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数即可求解．
解：点P（﹣2，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（2，5）
故答案为：（2，5）
【点拨】本题考查了关于原点对称的两个点的坐标特征，掌握“关于原点对称的点的横坐标、纵坐标分别互为相反数”是解题的关键．
12．（答案不唯一）
【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．
如∠ABC=90°或AC=BD．
故答案为：AC=BD（答案不唯一）
【点拨】本题考查特殊四边形的判定，关键是根据菱形的性质及正方形的判定解答．
13．
【分析】利用平行四边形的性质先求解再利用勾股定理求解 从而可得答案.
解：
故答案为：
【点拨】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键.
14．30
【分析】根据矩形的性质推出BE＝AF，得到平行四边形BFHA，推出，AB＝HF，同理得到BC＝EG，，推出HF⊥EG，根据三角形的面积公式求出即可．
解：连接HF、EG，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∵H、F分别为边AD、BC的中点，
∴AH＝BF，
∴四边形BFHA是平行四边形，
∴AB＝HF=6m，，
同理BC＝EG=10m，，
∵AB⊥BC，
∴HF⊥EG，
∴四边形EFGH的面积为：
故答案为：30．
【点拨】本题主要考查了对矩形的性质，平行四边形的性质和判定，四边形面积的计算，能求出HF、EG的长和HF⊥EG，是解题的关键．
15．45°
【分析】根据题意知虚线为线段AB的垂直平分线，得AE=BE，得；结合°，，可计算的度数．
解：
∵
∴
∴
故答案为：45°．
【点拨】本题考查了菱形的性质，及垂直平分线的性质，熟知以上知识点是解题的关键．
16．
【分析】根据题意，证明△COF≌△DOE进而可得四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD．
解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD，
∴∠DOC＝∠EOF＝90°，
∴∠DOE＝∠COF，
在△COF和△DOE中，
，
∴△COF≌△DOE（ASA），
∴S△COF＝S△DOE，
∴四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD＝a2，
∴重叠部分的面积为a2，
故答案为a2．
【点拨】本题考查了根据正方形的性质求正方形重叠面积，三角形全等的性质与判定，证明△COF≌△DOE是解题的关键．
17．
【分析】连接，根据题意得出就是所求的的最小值的线段，根据等边三角形的性质，结合，得出为等边三角形，根据E为的中点，得出，根据勾股定理，计算出即可．
解：∵在菱形中，与互相垂直平分，
∴点B、D关于对称，
连接，则，
则就是所求的的最小值的线段，
∵E为的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为3．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，根据题意得出ED就是所求的的最小值的线段，是解题的关键．
18．或##或
【分析】连接，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分点在线段上和的延长线上，且，勾股定理求得即可．
解：如图，连接，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
，，
，
根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且，
，
如图，在中，，
在中，
故答案为：或．
【点拨】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点的位置是解题的关键．
19．(1)作图见分析 (2)作图见分析 (3)；
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，；
（3）两个三角形成中心对称，对应点连线的交点即为旋转中心.
解：（1）解：如图，
点，，的坐标分别是，，，
将向左平移6个单位长度后，点，，的对应点分别为点，，，
∴点，，的坐标分别是，，，
将点，，顺次连接得，
∴即为所作；
（2）如图，
点，，关于点的对称点分别为点，，，
∴点，，的坐标分别是，，，
将点，，顺次连接得，
∴即为所作；
（3）如图，若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为，旋转角度为.
故答案为：；.
【点拨】本题考查作图—旋转变换，平移变换等知识，根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，对应点连线都交于一点，交点即为旋转中心；确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离；作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．解题的关键是掌握旋转变换的性质，平移变换的性质.
20．（1）见分析；（2）6﹣6．
【分析】(1)由E是AC的中点知AE=CE，由AB//CD知∠AFE=∠CDE，据此根据“AAS”即可证△AEF≌△CED，从而得AF=CD，结合AB//CD即可得证；
(2) 过C作CM⊥AB于M，先证明△BCM是等腰直角三角形，得到BM＝CM，再由含30°角的直角三角形的性质解得AC＝2AM，BM＝CM＝AM，最后根据AM+BM＝AB，解题即可．
解：（1）证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵CD//AB，
∴∠AFE＝∠CDE，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED（AAS），
∴AF＝CD，
又∵CD//AB，即AF//CD，
∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）解：过C作CM⊥AB于M，如图所示：
则∠CMB＝∠CMA＝90°，
∵CD//AB，
∴∠B+∠DCB＝180°，
∴∠B＝180°﹣135°＝45°，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴BM＝CM，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ACM＝30°，
∴AC＝2AM，BM＝CM＝AM，
∵AM+BM＝AB，
∴AM+ AM＝6，
解得：AM＝3 ﹣3，
∴AC＝2AM＝6 ﹣6．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
21．（1）见分析；（2）
【分析】（1）由矩形的性质得出OA=OC，根据OE=OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF；
（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC，即可得出矩形ABCD的面积．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴∠OAE=∠OCF，
∴AECF；
（2）∵OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=∠COD=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=6，
∴AC=2OA=12，
在Rt△ABC中，BC==，
∴矩形ABCD的面积=AB BC==．
【点拨】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和求出BC是解决问题的关键．
22．（1）见分析；（2）24
【分析】（1）根据题意可证明，得到OD＝OE，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可；
（2）根据AB=BC，AO=CO，可证明BD为AC 的中垂线，从而推出四边形AECD为菱形，然后根据条件求出DE的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可．
解：（1）证明：在△AOE 和△COD中，
∴．
∴OD＝OE．
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD 是平行四边形．
（2）∵AB＝BC，AO＝CO，
∴BO为AC的垂直平分线，．
∴平行四边形 AECD是菱形．
∵AC＝8，
．
在 Rt△COD 中，CD＝5，
，
∴，
，
∴四边形 AECD 的面积为24．
【点拨】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与面积计算，掌握基本的判定方法，熟练掌握菱形的面积计算公式是解题关键．
23．（1）；（2），，见分析；（3），见分析
【分析】（1）由“SAS”可证△ADC≌△ABE，可得BE＝CD；
（2）由“SAS”可证△EAC≌△BAG，可得CE＝BG，∠AEC＝ABG，即可证明CE⊥BG；
（3）由“AAS”可证△ABC≌△AEH，可得EH＝BC，由三角形的面积公式可得结论．
解：（1）∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝90°，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴BE＝CD，
故答案为： ；
（2），；理由如下：
如图，设AB与CE的交点为P，
∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，
∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC＝90°，，
，
，
在和中，，
，
，，
，，
，
；
即：，；
（3）如图，过点作交延长线于；
，
，，
，
在和中，，
，
，
，
．
【点拨】本题是四边形综合题，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．（1），理由见分析；（2）①60°；②PM＝，见分析
【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得AB＝AC，∠BAC＝60°，再由由旋转可知：从而得到，可证得，即可求解 ；
（2）①由∠BPC＝120°，可得∠PBC＋∠PCB＝60°．根据等边三角形的性质，可得∠BAC＝60°，从而得到∠ABC＋∠ACB＝120°，进而得到∠ABP＋∠ACP＝60°．再由，可得 ，即可求解；
②延长PM到N，使得NM＝PM，连接BN．可先证得△PCM≌△NBM．从而得到CP＝BN，∠PCM＝∠NBM．进而得到 ．根据①可得，可证得，从而得到 ．再由 为等边三角形，可得 ．从而得到 ，即可求解．
解：（1） ．理由如下：
在等边三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，
由旋转可知：
∴
即
在和△ACP中
∴ ．
∴ ．
（2）①∵∠BPC＝120°，
∴∠PBC＋∠PCB＝60°．
∵在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＋∠ACB＝120°，
∴∠ABP＋∠ACP＝60°．
∵ ．
∴ ，
∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°．
即 ；
②PM＝ ．理由如下：
如图，延长PM到N，使得NM＝PM，连接BN．
∵M为BC的中点，
∴BM＝CM．
在△PCM和△NBM中
∴△PCM≌△NBM（SAS）．
∴CP＝BN，∠PCM＝∠NBM．
∴ ．
∵∠BPC＝120°，
∴∠PBC＋∠PCB＝60°．
∴∠PBC＋∠NBM＝60°．
即∠NBP＝60°．
∵∠ABC＋∠ACB＝120°，
∴∠ABP＋∠ACP＝60°．
∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°．
即 ．
∴ ．
在△PNB和 中
∴ （SAS）．
∴ ．
∵
∴ 为等边三角形，
∴ ．
∴ ，
∴PM＝ ．
【点拨】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键．
2