苏科版初二数学下册 第9章《中心对称图形—平行四边形》单元培优练习（含解析）

第9章 中心对称图形——平行四边形（全章复习与巩固）
（培优篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，等腰直角，点P在内，，，则PB的长为（　　）
A． B． C．5 D．5
2．下列命题：①一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组邻角相等的平行四边形是矩形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形．其中真命题个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．如图中，，是斜边的中点，将绕点A按顺时针方向旋转，点落在的延长线上的处，点B落在处，若，，则的长为（ ）
A．7.5 B．6 C．6.4 D．6.5
4．如图，中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点；③画射线，交于点，交对角线于点．若，则的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
5．如图， 在四边形 中，，， 点 为 延长线上一点，连接 AC、AE，AE交 于点H，的平分线交 于点 ．若， 点为 的中点， ， 则 的长为（ ）．
A．9 B． C．10 D．
6．如图，矩形纸片中，，，点E、G分别在上，将、分别沿翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在 ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E，交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE=OA；②EF⊥AC；③AF平分∠BAC；④E为AD中点．正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如下图，在菱形中，，，过菱形的对称中心分别作边，的垂线，交各边于点，，，，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE，CE⊥AD，点F在AB上，连接EF，EF＝CE，若BC＝6，CD＝5，则线段BF的长为( )
A． B． C． D．
10．如图，已知正方形和直角三角形，，，连接，．若绕点A旋转，当最大时，的面积是（ ）
A． B．6 C．8 D．10
二、填空题
11．如图，将绕点B逆时针旋转，得到，AC与DE、BE分别交于点F、点H，连接BF，若，则的度数为______．（用含有的式子表示）
12．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，2），B（2，5），在x轴、y轴上分别有两动点C、D，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为_____．
13．如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于_______．
14．四边形ABCD为平行四边形，己知AB＝，BC＝6，AC＝5，点E是BC边上的动点，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，设CE长为x，若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围为____________．
15．如图，已知正方形的边长为分别是边上的点且将绕点D逆时针旋转，得到若则的长为__．
16．如图，矩形 的面积为 ，对角线交于点 ；以 ， 为邻边做平行四边形 ，对角线交于点 ；以 ， 为邻边做平行四边形 ；；依此类推，则平行四边形 的面积____．
17．在矩形 中，，，， 是对角线 上不重合的两点，点 关于直线 ， 的对称点分别是点 ，，点 关于直线 ， 的对称点分别是点 ，．若由点 ，，， 构成的四边形恰好为菱形，则 的长为____．
18．如图，， 是正方形 的边 上的两个动点，满足 ，连接 交 于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，若正方形的边长为 ，则线段 的最小值是____．
三、解答题
19．如图，在中，，，D是线段延长线上一点，连接，过点A作于E．
(1)求证：；
(2)将射线绕点A顺时针旋转后，所得的射线与线段的延长线交于点F，连接．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
20．如图，在等边中，是边上一点，，点是点关于直线的对称点，点在直线上（点不与点重合），且．
(1)依题意补全图形，直接写出的度数（用含有的代数式表示）；
(2)探究、、满足的等量关系，并证明；
(3)若点在的延长线上，其余条件不变，直接写出、、满足的等量关系．
21．如图在平行四边形中，点E是边上一点，连接，交对角线于点F，过点A作的垂线交的延长线于点G，过B作垂直于，垂足为点H，交于点P，．
若，求的长；
若，求证：．
22．如图所示，在梯形中，，E是中点，，， ，，点P是边上一动点，设的长为x．
当x的值为________时，以点为顶点的四边形为直角梯形；
当x的值为________时，以点为顶点的四边形是平行四边形；
点P在上运动的过程中，以点为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
23．如图，在菱形中，，．过点作对角线的平行线与边的延长线相交于点，为边上的一个动点（不与端点，重合），连接，，．
求证：四边形是平行四边形．
求四边形的周长和面积．
记的周长和面积分别为和，的周长和面积分别为和，在点的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①，②，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围．
24．已知，正方形的边长为8，点P、G分别在射线、边上，连接，点B关于的对称点为Q，连接．
(1) 如图1，取的中点E、F，连接，若点Q刚好落在线段上，且点P在线段FC上，则的度数不可能是下列选项中的______；（填序号）
①45°，②59°，③72°
(2) 如图2，当点Q落在边上（不与点D重合）时，试判断点P是否一定在射线BC上点C的右侧，并说明理由；
(3) 在（2）的条件下，
①当时，求的长；
②若线段与相交于点N，连接，试探索点Q落在不同位置时，的度数是否发生变化，若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
参考答案
1．A
【分析】先利用等腰直角，得到，再证明，接着把绕点C顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质得到，则可判断为等腰直角三角形，从而，然后计算，从而利用勾股定理计算出AE即可．
解：∵等腰直角，
∴，
∵，
∴，
如下图，把绕点C顺时针旋转得到，连接，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故选∶A．
【点拨】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质以及旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
2．B
【分析】根据平行四边形的判定方法对①进行判断；根据矩形的判定方法对②进行判断即可；根据三角形中位线性质和菱形的判定方法对③进行判断；根据正方形的判定方法对④进行判断．
解：①错误，反例为等腰梯形；②正确，理由一组邻角相等，且根据平行四边形的性质，可得它们都为直角，从而推得矩形；③正确，理由：得到的四边形的边长都等于矩形对角线的一半；④正确．
故答案为B．
【点拨】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．判定一个命题的真假关键在于对基本知识的掌握．
3．C
【分析】过点A作于点，根据勾股定理可得的长，根据直角三角形的性质可得的长，根据，可得的长，根据勾股定理可得的长，根据旋转的性质进一步可得的长．
解：过点A作于点，如图所示：
∵，，，
根据勾股定理，得，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
∵，
根据勾股定理，可得，
根据旋转的性质，可得，
∴点是的中点，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，利用面积法求的长是解决本题的关键．
4．A
【分析】先根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝10，再利用勾股定理计算出AC＝8，利用基本作图得到BQ平分∠ABC，则根据角平分线的性质得到点O到BA的距离等于点O到BC的距离，接着利用三角形的面积公式得到S△ABO：S△BCO＝AB：BC＝OA：OC，所以OAAC．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD＝10，
∵BA⊥CA，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，AC8，
由作法得BQ平分∠ABC，
∴点O到BA的距离等于点O到BC的距离，
∴S△ABO：S△BCO＝AB：BC＝6：10＝3：5，
∵S△ABO：S△BCO＝OA：OC，
∴OA：OC＝3：5，
∴OA：AC＝3：8，
∴OAAC8＝3．
故选：A．
【点拨】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，掌握角平分线的性质是解题的关键．
5．B
【分析】先由得到，再利用角的等量代换和平行线的判定证出四边形是平行四边形，然后用角边角证出，由全等三角形的性质和已知条件得出是等腰三角形，根据三线合一性质，联系已知条件证出，最后用勾股定理进行计算即可求出AC的长．
解：∵，
∴．
∴，
四边形中，，，
∴四边形是平行四边形．
∵点为 的中点，
∴．
在和中，，
∴．
∴，．
∵，
∴AB=BE=10，DH=CH=CE=5，
∴是等腰三角形．
又∵CG是的平分线，
∴，．
∴和都是直角三角形．
∴．
∵，,
∴．
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质，还有勾股定理的应用，是一道几何综合题，综合性较强，熟练地掌握以上性质并能灵活地应用是解题的关键．
6．B
【分析】根据矩形的性质得到，，，根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，设，由勾股定理列方程得到，由折叠的性质得到，，，求得，设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论．
解：在矩形纸片中，，，
∴，，，
∵将沿翻折，翻折后点C与点F重合，
∴，，，
∴，
设，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵将沿翻折，翻折后点B与点P重合，
∴，，，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴线段GP长为，
故选：B．
【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题的关键．
7．B
解：由在 ABCD中，O为AC的中点，易证得四边形AFCE是平行四边形；然后由一组邻边相等的平行四边形是菱形与对角线互相垂直的平行四边形是菱形，求得：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵O为AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
①∵OE=OA，
∴AC=EF，
∴四边形AFCE是矩形；故错误；
②∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形；故正确；
③∵AF平分∠BAC，AB⊥AC，
∴∠BAF=∠CAF=45°，
无法判定四边形AFCE是菱形；故错误；
④∵AC⊥AB，AB∥CD，
∴AC⊥CD，
∵E为AD中点，
∴AE=CE=AD，
∴四边形AFCE是菱形；故正确．
故选B．
点睛：此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意首先证得四边形AFCE是平行四边形是关键．
8．A
【分析】先证明是等边三角形，求出EF，同理可证都是等边三角形，然后求出EH，GF，FG即可．
解：如图，连接BD，AC，
∵四边形ABCD是菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
同法可证，都是等边三角形，
∴，，
∴四边形EFGH的周长为．
故选：A．
【点拨】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
9．A
【分析】延长FE交 CD的延长线于点M，连接CF， 由平行四边形的性质得出AB∥CD，BC=AD=6，证明△AEF≌△DEM(AAS)，由全等三角形的性质得出AF=DM，EF=EM， 设BF=x，则AF=DM=5-x，由勾股定理得出方程，则可得出答案．
解：如图，延长FE交CD的延长线于点M，连接CF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，BC=AD=6，
∴∠AFE=∠EMD，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE=3，
在△AEF和△DEM中，
，
∴△AEF和△DEM（AAS），
∴AF=DM，EF=EM，
又∵EF=CE，
∴EF=CE=EM，
∴∠FCM=90°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴CE=，
∴FM=2CE=8，
∵AB∥CD，
∴∠BFC=∠DCF=90°，
设BF=x，则AF=DM=5-x，
∴CM=10-x，
∵CF2+CM2=FM2，
∴62-x2+（10-x）2=82，
∴x=，
∴BF=，
故选A．
【点拨】本题考查了平行四边形的综合应用， 熟练掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的判定是解题的关键.
10．B
【分析】作于H，由题意知绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，当为此圆的切线时，最大，即，利用勾股定理计算出，接着证明得到，然后根据三角形面积公式求解．
解：作于H，如图，
∵，
∴当绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，
∴当为此圆的切线时，最大，即，
此时，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理、圆的性质等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
11．
【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，证明得出,，证明，进而得出，证明，得出，继而根据三角形内角和定理即可求得，根据旋转的性质从而求出的度数．
解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∵将绕点B逆时针旋转，得到，
∴
∴，,
∵
∴
∴
∴,，
在中，
∴
∴
∵,
∴
∴
∵
∴
在与中，
∴，
∴
∴
∴中，
由旋转性质知，，
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，通过全等三角形的判定得到相等的线段，再根据等腰三角形的性质得到角度之间的关系进行解题．
12．（﹣6，0），（6，0）或（﹣2，0）
【分析】根据题意，画出相应的图形，然后根据平行四边形的性质和分类讨论的方法，求出点C的坐标．
解：如图所示，作AM∥x轴，作BM⊥AM轴于点M，
∵A（﹣4，2），B（2，5），
∴AM=2﹣（﹣4）=6，
∵点C、D分别在x轴、y轴上，
∴当AB∥C1D1时，则OC1=AM，此时点C1的坐标为（﹣6，0）；
当AB∥C2D2时，则OC2=AM，此时点C2的坐标为（6，0）；
当AB为对角线时，设点C3的坐标为（c，0），则，得c=﹣2，此时点C3的坐标为（﹣2，0）；
故答案为：（﹣6，0），（6，0）或（﹣2，0）．
【点拨】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形性质，画出相应的图形是解答本题的关键，注意考虑问题要全面，不要漏点．
13．2
【分析】连接AE，证明四边形AECB是平行四边形得，由勾股定理得AD=5，从而有 AD=DE=5，然后利用等腰三角形的性质可得∠DAE=∠DEA，再利用平行线的性质可得∠DAE=∠DOC，∠DEA=∠DCO，从而可得∠DOC=∠DCO，进而可得DO=DC=3，最后进行计算即可解答．
解：如下图∶连接AE，
∵，AB=EC=2，
∴四边形AECB是平行四边形，
∴，
∵ AD=， DE=5，
∴AD=DE=5，
∴∠DAE=∠DEA，
∵，
∴∠DAE=∠DOC，∠DEA=∠DC0，
∴∠DOC=∠DCO，
∴DO=DC=3，
∴AO=AD-DO=5-3=2，
故答案为∶2．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14．≤x≤3－2
【分析】如图1，当在AD上，易证由四边形为平行四边形，得到；如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，当在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，DA＝DE＝，在Rt△ABG和Rt△ACG中，利用勾股定理求出BG＝2，可得AG＝3＝DH，在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝3，可求得CE的另一个临界值，问题得解．
解：如图1，
当在AD上，此时，，，
∴，
∵ADBC，
∴四边形为平行四边形，
∴；
如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，
当在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，
∴DA＝DE＝，
在Rt△ABG和Rt△ACG中，
∴
∴BG＝2，
∴AG＝3＝DH，
在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝3，
∴CE＝3－2；
综上：x的取值范围为：≤x≤3－2．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换，勾股定理，找到临界状态求出x的长是解题的关键．
15．
【分析】由旋转可得为直角可得出由得到为可得出再由利用可得出三角形与三角形全等由全等三角形的对应边相等可得出则可得到正方形的边长为用求出的长再由求出的长设可得出在直角三角形中利用勾股定理列出关于的方程求出方程的解得到的值即为的长
解逆时针旋转得到
，
三点共线
，
，
，
，
在和中，
，
，
设
且
，
，
，
在中由勾股定理得，
，
解得：．
故答案为：．
【点拨】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
16．
【分析】如图：过点O向作垂线，垂足为E，平行四边形的面积为，根据矩形的性质,即平行四边形的面积为；同理：根据平行四边形的性质可得：，即面积，依此类推，即可得到平行四边形的面积．
解：如图：过点O向作垂线，垂足为E，过点向作垂线，垂足为F，
∵，
∴，
∵O为矩形的对角线交点，
∴
∴
∵矩形ABCD的面积
∴平行四边形AOC1B的面积
同理：根据平行四边形的性质可得：，
平行四边形面积，
依此类推：
平行四边形的面积．
故答案为．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的性质等知识点，根据平行四边形的性质得到面积的变化规律是解题的关键．
17．
【分析】先证明矩形的四个顶点均在菱形的四条边上，且分别为各自边的中点，然后证明菱形的边长等于矩形的对角线长，再证，根据等腰三角形的三线合一性质与勾股定理，求出的长，同理得的长，即可得解．
解：矩形 中，，，
，
轴对称性质，
，
点A在菱形的边上，
同理可知：点均在菱形的边上，
，
点为的中点，
同理，点为的中点，
连接，交于点，如图所示，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
又，
，
过点作于点，
，
，
，
在中，，
；
同理可求得：，
；
故答案为：．
【点拨】此题考查了矩形与菱形的性质、平行四边形与等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关的性质与判定是解答此题的关键．
18．
【分析】根据正方形的性质可得，，然后利用证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，利用证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，从而得到，然后求出，取的中点O，连接OF、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，的长度最小．
解：在正方形中，，，，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
取的中点O，连接，
则，
在中，，
根据三角形的三边关系，，
∴当O、F、C三点共线时，的长度最小，
最小值．
故答案为：．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出CF最小时点F的位置是解题关键，也是本题的难点．
19．(1)见分析 (2)①见分析；②
【分析】（1）根据等角的余角相等即可得证．
（2）①依题意画出图形即可求解；
②在上截取，使，证明，得出，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理得出，即可求解．
解：（1）设与相交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴．
（2）① 补全图形如图．
②
下面证明：
在上截取，使，
∵，
∴．
∴，，
∵，
∴．
∴
∵射线绕点顺时针旋转后与线段的延长线交于点，且，
∴，
∴．
【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了同角的余角相等，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，构造出全等三角形是解本题的关键．
20．(1)图见分析，； (2)，证明见分析；
(3)，证明见分析．
【分析】（1）利用折叠的性质得，，结合，可得，进而可得；
（2）在上取，连接．先证，推出，，再利用证明，推出，即可得出；
（3）连接，，作交于点G．先证四边形是平行四边形，得出，；再利用证明，得出，进而得出．
解：（1）解：补全图形，如下：
∵是等边三角形，
∴，，
∵点是点关于直线的对称点，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：．证明如下：
如图所示，在上取，连接．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
由（1）知，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：．证明如下：
如图所示，连接，，作交于点G．
由折叠的性质得，，，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴在和中，
，
∴，
∴．
∴．
即．
【点拨】本题考查折叠的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、线段的和差关系等知识点，综合性质较强，难度较大，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
21．(1)的长为 (2)证明见分析
【分析】（1）根据四边形是平行四边形，先证，再根据勾股定理即可求出答案；
（2）由（1）得：，可知四边形是等腰梯形，从而证，然后证，作于M，于N，即可求出答案.
解：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）得：，
∴四边形是等腰梯形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
作于M，于N，如图所示：
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴由三角形内角和定理得：，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考察的是三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，等腰梯形的性质和勾股定理，是一道综合性习题，能够充分调动所学知识是解题本题的关键．
22．(1)3或8； (2)1或11； (3)见详解
【分析】（1）如图，分别过作于M，于N，若点为顶点的四边形为直角梯形，则或，那么P与M重合或E与N重合，即可求出此时的x的值；
（2）若以点为顶点的四边形为平行四边形，那么，可有两种情况：当点在点左侧时和点在点右侧时，依次求解即可获得答案；
（3）点在边上运动的过程中，以为顶点的四边形能构成菱形．当时，四边形为平行四边形，根据已知条件计算出，即可证明四边形为菱形．
解：（1）分别过A、D作于M，于N
∵
∴是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当时，点为顶点的四边形为直角梯形，
当P与N点重合时，点为顶点的四边形为直角梯形，
，
故答案为：3或8；
（2）解：若以点为顶点的四边形为平行四边形，那么，
可有两种情况：
①当点在点左侧时，
∵是的中点，，
∴，
∴；
②当点在点右侧时，
可有．
∴当的值为1或11时，以点为顶点的四边形为平行四边形．
故答案为：1或11；
（3）点在边上运动的过程中，以为顶点的四边形能构成菱形，
理由如下：
①当点在点左侧时，如下图，过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∴，
∵是的中点，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
即此时以为顶点的四边形不能构成菱形；
②当点在点右侧时，如下图，过点作于点，
由（1）可知，当时，四边形为平行四边形，
此时，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴四边形为菱形．
综上所述，点在边上运动的过程中，以为顶点的四边形能构成菱形．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质与判定、菱形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
23．(1)见分析 (2)的周长为：，的面积为：；
(3)①；②的值为定值，这个定值为；
【分析】（1）利用菱形的性质得：，由两组对边分别平行的四边形可得结论；
（2）设对角线与相交于点．根据直角三角形角的性质得的长，由勾股定理得的长和的长，根据平行四边形的性质可得其周长和面积；
（3）①先根据三角形的周长计算，确定的最大值和最小值即可；
根据轴对称的最短路径问题可得：当在处时，的值最小，最小值是，由图形可知：当在点处时，的值最大，构建直角三角形计算即可；
②的值为定值，这个定值为，根据面积公式可得结论．
解：（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
即．
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：设对角线与相交于点．
∵四边形是菱形，，
∴．
在中，，
∴．
∴．
∴的周长为：，
的面积为：；
（3）①∵，
∵和关于直线对称，
∴当在处时，的值最小，最小值是，
当在点处时，的值最大，如图，
过作，交的延长线于，
∵，
∴，
∵，
∴，
中，，
由勾股定理得：，
∴的最大值是：，
∵为边上的一个动点（不与端点重合），
∴，
即；
②的值为定值，这个定值为；
理由是： ．
【点拨】考查了菱形的性质，直角三角形度角的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积和周长公式，解（1）的关键是熟练掌握平行四边形的判定，解（2）的关键是计算和的长，解（3）的关键是作辅助线，构建直角三角形．
24．(1)③ (2)是，见分析 (3)①3；②的度数不变，且，见分析
【分析】（1）可推出，进而得出结果；
（2）作，可证得，进而得出结果；
（3）①作，交的延长线于E，连接，在中求得，进而求得的长，设，则，在中，由勾股定理列出方程求得结果；
②先证得，，进而证得，进而得出，进一步得出结果．
（1）解：如图1，
当点P在F点时，，
当点P在C点时，，
∴，
观察四个选项，不可能是③，
故答案为：③；
（2）解：如图2，
点P落在点C的右侧，理由如下：
连接，作于E，
∵点B和点Q关于对称，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴点P是否一定在射线上点C的右侧；
（3）解：①如图3，
作，交的延长线于E，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
∴；
②如图4，
不发生变化，理由如下：
作，
由（2）可知：，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数不发生变化．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，线段垂直平分线性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
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