苏科版初一数学下册 第7章《平面图形的认识（二）》培优练习（含解析）

第7章 平面图形的认识（二）（全章复习与巩固）
（培优练习）
一、单选题
1．下列图形中不具备稳定性的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各长度的木棒首尾相接可以组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，6 C．2，3，5 D．2，2，5
3．如图，有下列条件：①；②；③；④．其中，能判断直线的有（　　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图，大正方形与小正方形的面积之差为S，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．S C． D．
5．如图，已知平分，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是的中线，点分别为的中点．若的面积为则的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（　　）
A．50°、130° B．都是10°
C．50°、130°或10°、10° D．以上都不对
8．如下图，的度数为（ ）
A．540° B．500° C．460° D．420°
9．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ）
A． B． C．或 D．或或
10．如图，点D，E分别是△ABC边BC，AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，连接AD，BE交于点F，若△ABC的面积为18，则△BDF与△AEF的面积之差S△BDF﹣S△AEF等于（ ）
A．3 B． C． D．6
二、填空题
11．如图，点是延长线上一点，在下列条件中：①；②；③且平分；④，能判定的有__．（填序号）
12．如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则________．
13．如图，将三角形纸片ABC沿EF折叠，使得A点落在BC上点D处，连接DE，DF，．设，，则α与β之间的数量关系是________．
14．如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_____．
15．如图，在中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，当点E先出发后，点F也从点B出发，沿射线以的速度运动，分别连接．设点E运动的时间为，其中，当_______时，．
16．如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是____________°．
17．如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______．
18．如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过多少次操作 ___________
三、解答题
19．完成下面的证明．
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°．
求证：AB∥EF．
证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴AB∥　 　（　 　）．
∵∠3+∠4＝180°，
∴　 　∥　 　．
∴AB∥EF（　 　）．
20．如图，已知，．
（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
（2）若DE平分，，求的度数．
21．如图，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
22．如图，，平分，设为，点E是射线上的一个动点．
（1）若时，且，求的度数；
（2）若点E运动到上方，且满足，，求的值；
（3）若，求的度数（用含n和的代数式表示）．
23．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的倍还大．
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
24．已知直线，点E，F分别在直线上，．点P是直线上的动点（不与E重合），连接，和的平分线所在直线交于点H．
(1)如图1，若，点P在射线上．则当时，
；
(2)如图2，若，点P在射线上．
①补全图形；
②探究与的数量关系，并证明你的结论．
(3)如图3，若，直接写出与的数量关系（用含α的式子表示）．
参考答案
1．C
【分析】三角形具有稳定性，只要选项中的图形可以分解成三角形，则图形就有稳定性，据此即可确定．
解：A、可以看成两个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误；
B、可以看成三个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误；
C、可以看成一个三角形和一个四边形，而四边形不具有稳定性，则这个图形一定不具有稳定性，故本选项正确；
D、可以看成7个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了三角形的稳定性，正确理解各个图形具有稳定性的条件是解题的关键．
2．B
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边进行判断．
解：A．，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B．，能构成三角形，故此选项符合题意；
C．，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D．，不能组成三角形，故此选项不符合题意，
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握一般用两条较短的线段相加，如果大于最长那条线段就能够组成三角形．
3．B
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论．
解：①由∠1＝∠2，可得ab；
②由∠3＋∠4＝180°，可得ab；
③由∠5＋∠6＝180°，∠3＋∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到ab；
④由∠2＝∠3，不能得到ab；
故能判断直线ab的有3个，
故选：B．
【点拨】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．
4．C
【分析】根据正方形的特征分析出大正方形与小正方形的面积之差等于长方形HIFG的面积，再通过等底、等高的三角形面积相等，分析出 , ，进而推出阴影部分面积为，找出与长方形HIFG的面积的倍数关系即可得到答案．
解：如图，在大正方形ABCH与小正方形EBDF的背景下
∴长方形IEBC和长方形ABDG面积相等
∴大正方形与小正方形的面积之差等于长方形HIFG的面积
又∵ ,
∴阴影部分面积为
又∵=长方形HIFG的面积=
故选：C．
【点拨】本题考查了正方形的特征和等积转化，学会等积转化是解题关键．总结：等底、等高的三角形面积相等；等高的三角形，面积比等于底之比；等底的三角形，面积比等于高之比．
5．B
【分析】连接，并延长至点E，设，根据角平分线定义得到，由三角形外角定义求出，再利用角平分线定义求出，根据三角形内角和定义得到，由此求出的度数．
解：连接，并延长至点E，
设，
∵平分，
∴
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点拨】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角和定理，角平分线定义，正确理解图形中各角度之间的关系是解题的关键．
6．A
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两份逐步分析即可解答．
解：是的中点，的面积为，
，
是的中点，
，
．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形中线把三角形的面积分成面积相等的两份是解答本题的关键．
7．C
【分析】首先由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x°，由其中一个角比另一个角的3倍少20°，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案，注意别漏解．
解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角相等或互补．
设其中一角为x°，
若这两个角相等，则x＝3x﹣20，
解得：x＝10，
∴这两个角的度数是10°和10°；
若这两个角互补，
则180﹣x＝3x﹣20，
解得：x＝50，
∴这两个角的度数是50°和130°．
∴这两个角的度数是50°、130°或10°、10°．
故选：C．
【点拨】此题考查了平行线的性质与一元一次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，注意方程思想的应用．
8．D
【分析】根据三角形内角和定理可得，根据平角的定义和四边形内角和可得，同理可得，据此即可求解．
解：如图所示，
∵，
∴，
∵，，
∴
∵
∴，
同理可得：，
∴，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知四边形内角和等于是解题的关键．
9．D
【分析】首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．　
解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11，
∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12：
故选D．
【点拨】本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键．
10．A
【分析】由△ABC的面积为18，根据三角形的面积公式和等积代换即可求得．
解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴①，
同理，∵，，
∴，，
∴，
∴②，
由①-②得：．
故选：A．
【点拨】本题主要考查三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是等积代换．
11．③④
【分析】根据平行线的判定方法分别判定得出答案．
解：①中，，（内错角相等，两直线平行），不合题意；
②中，，（同位角相等，两直线平行），不合题意；
③中，且平分，，，故此选项符合题意；
④中，， （同旁内角互补，两直线平行），故此选项符合题意；
答案：③④．
【点拨】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
12．61°
【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．
解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，
∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，
∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，
∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，
∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，
∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，
∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°，
∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，
故答案为：61°．
【点拨】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．
13．
【分析】由折叠的性质可知：，再利用三角形内角和定理及角之间的关系证明，，即可找出α与β之间的数量关系．
解：由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据折叠的性质求出，根据角之间的关系求出，．
14．72°
【分析】首先根据正五边形的性质得到AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，然后利用三角形内角和定理得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180° 108°）÷2=36°，最后利用三角形的外角的性质得到∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°．
解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，
∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180° 108°）÷2=36°，
∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°，
故答案为72°．
【点拨】本题考查的是正多边形和圆，利用数形结合求解是解答此题的关键．
15．或
【分析】分类讨论：当点F在点C左侧时，点F再点C的右侧时，可得关于t的一元一次方程，根据解方程，可得答案．
解：∵AG∥BC，
∴A到BC的距离等于C到AG的距离，
∴当AE=CF时，S△ACE=S△AFC，
分两种情况讨论：
①点F在点C左侧时，AE=CF，
则2（t+1）=6-3.5t，
解得t=，
②当点F在点C的右侧时，AE=CF，
则2（t+1）=3.5t-6，
解得t=，
故答案为：或．
【点拨】本题考查了平行线间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据平行线的性质得到高相等，并且分类讨论．
16．105°
解：由图a知，∠EFC=155°.
图b中，∠EFC=155°，则∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°.
图c中，∠GFC=130°，则∠CFE=130°-25°=105°.
故答案为105°.
点睛：在长方形的折叠问题中，因为有平行线和角平分线，所以存在一个基本的图形等腰三角形，即图b中的等腰△CEF，其中CE=CF，这个等腰三角形是解决本题的关键所在.
17．
【分析】连接ED，由是的中线，得到，，由，得到，设，由面积的等量关系解得，最后根据等高三角形的性质解得，据此解题即可．
解：连接ED
是的中线，
，
设，
与是等高三角形，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
18．4
【分析】先根据已知条件求出△A1B1C1及△A2B2C2的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可．
解：△ABC与△A1BB1底相等（AB＝A1B），高为1：2（BB1＝2BC），故面积比为1：2，
∵△ABC面积为1，
∴．
同理可得，，，
∴；
同理可证，
第三次操作后的面积为7×49＝343，
第四次操作后的面积为7×343＝2401．
故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过4次操作．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了三角形的面积，此题属规律性题目，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可．
19．CD；同旁内角互补，两直线平行；CD；EF；若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行
【分析】先由∠1+∠2＝180°，得到AB∥CD，再由∠3+∠4＝180°，得到CD∥EF，最后得到AB∥EF．
解：证明：如图所示：
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∵∠3+∠4＝180°（已知），
∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
∴AB∥EF（若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行），
故答案为：CD；同旁内角互补，两直线平行；CD；EF；若两直线同时平行于第三条直线，则这两条直线也相互平行．
【点拨】本题考查了平行线判定定理当中的两条：第一条：同旁内角互补，两直线平行；第二条：两条直线同时平行于第三条直线，则这两条直线也相互平行；熟记并灵活运用这两条定理是解本题的关键．
20．（1）DE∥BC；（2）72°
【分析】（1）先根据已知条件得出∠EFC=∠ADC，故AD∥EF，由平行线的性质得∠DEF=∠ADE，再由∠DEF=∠B，可知∠B=∠ADE，故可得出结论．
（2）依据DE平分∠ADC，∠BDC=3∠B，即可得到∠ADC的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠EFC的度数．
解：（1）DE∥BC．
理由：∵∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，
∴∠EFC=∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF=∠ADE，
又∵∠DEF=∠B，
∴∠B=∠ADE，
∴DE∥BC．
（2）∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
又∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，
∵∠BDC=3∠B，
∴∠BDC=3∠ADE=3∠CDE，
又∵∠BDC+∠ADC=180°，
3∠ADE+2∠ADE=180°，
解得∠ADE=36°，
∴∠ADF=72°，
又∵AD∥EF，
∴∠EFC=∠ADC=72°．
【点拨】本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键．
21．∠DAE=5°，∠BOA=120°
【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．
解：如图：
∵∠CAB=50°，∠C=60°
∴∠ABC=180°50°60°=70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°90°∠C=30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，
∴∠DAE=∠DAC∠EAF=5°，
∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，
∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，
故∠DAE=5°，∠BOA=120°．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．
22．（1）60°；（2）50°；（3）或
【分析】（1）根据平行线的性质可得的度数，再根据角平分线的性质可得的度数，应用三角形内角和计算的度数，由已知条件，可计算出的度数；
（2）根据题意画出图形，先根据可计算出的度数，由可计算出的度数，再根据平行线的性质和角平分线的性质，计算出的度数，即可得出结论；
（3）根据题意可分两种情况，①若点运动到上方，根据平行线的性质由可计算出的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出的度数，再，，列出等量关系求解即可等处结论；②若点运动到下方，根据平行线的性质由可计算出的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出的度数，再，列出等量关系求解即可等处结论．
解：（1），，
，
平分，
，
，
又，
；
（2）根据题意画图，如图1所示，
，，
，
，
，
，
又平分，
，
；
（3）①如图2所示，
，
，
平分，
，
，
又，
，
，
解得；
②如图3所示，
，
，
平分，
，
，
又，
，
，
解得．
综上的度数为或．
【点拨】本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质，两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补． 两直线平行，内错角相等．合理应用平行线的性质是解决本题的关键．
23．（1）9；（2）1080 或1260 或1440 ．
【分析】（1）设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角等于，根据内角与其相邻的外角的和是 列出方程，求出的值，再由多边形的外角和为，求出此多边形的边数为；
（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理即可求出答案．
解：（1）设每一个外角为，则与其相邻的内角等于，
，
，即多边形的每个外角为，
∵多边形的外角和为，
∴多边形的外角个数为：，
∴这个多边形的边数为；
（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
①若剪去一角后边数减少1条，即变成边形，
内角和为，
②若剪去一角后边数不变，即变成边形，
内角和为，
③若剪去一角后边数增加1，即变成边形，
内角和为，
∴将这个多边形剪去一个角后，剩下多边形的内角和为或或 ．
【点拨】本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
24．(1)25 (2)①见分析；②，见分析 (3)或
【分析】（1）根据图形1，由平行线的性质，角平分线的定义和三角形的内角和定理计算即可；
（2）①先根据（1）中作法补全图形；②根据平行线的性质，角平分线的定义和三角形的内角和定理得出与的数量关系；
（3）分点P在射线上和点P在射线上两种情况，平行线的性质，角平分线的定义和三角形的内角和定理计算即可．
（1）解：∵，点P在射线上，，
∴，
∴，
∵、分别平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：25；
（2）①若，点P在射线上，
补全图形，如图所示：
②与的数量关系是，证明如下：
∵，
∴，
∵分别平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）若，则与的数值关系是：
或．
点P在射线上时，
∵，
∴，
∴，
∵分别平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
点P在射线上时，
∵，
∴，
∵分别平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，与的数值关系是或．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，关键是对这些知识的掌握和运用．
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