MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1导数的教材分析与备考建议
2005年新课程卷《考试说明》要求，在导数这一部分需掌握函数在一点处的导数的定义和几何意义，弄清函数在一点处的导数，导数和导函数的区别与联系，掌握求导公式，导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，利用导数求函数的极大、小值，求函数在连续闭区间的最大、小值，或利用求导法解决一些实际应用问题。全国高考十一省卷中明确地反映出导数及其应用已成为新高考的一个热点，题型从填空题和选择题到解答题均有涉及2006年高考《导数》考查内容有哪些？各知识点考查的要求是什么？试题以怎么样的形式出现，是我们每位教师十分关心的事。下面我们以近几年的全国高考中新课程卷以及九省的模拟试题和上海市试卷为依据，结合高考的发展趋势以及课改的要求，谈谈自已的一些看法，供老师们参考，有足之处，请指正。
1、 考点分析
课题类型 主要考查内容 题号 分值 所占比例
广东卷 1、集合运算2、函数的连续性3、求反函数4、利用导数求切线方程5、利用导数研究方程的根 （2）（3）（16）（19）（21） 5541212 25.3%
福建卷 1、求函数的定义域2、函数及反函数图像关系3、函数对称性应用4、函数连续性应用5、利用导数求单调性 （3）（7）（11）（14）（21） 5551212 22%
辽宁卷 1、求函数极限2、函数应用题3、求函数最值4、求导数、反函数以及解函数不等式 （14）（20）（21）（22） 4121412 28%
天津卷 1、对数函数在闭区间上最值求法2、求反函数3、求二次函数中参数范围4、利用导数方程求函数极值及切线方程 （5）（11）（14）（20） 55412 17.3%
重庆卷 1、求函数定义域2、二次方程根的分布3、求曲线上某点切线方程及其夹角4、求三次函数极值点与解不等式 （1）（7）（14）（20） 55412 17.3%
北京卷 1、求集合运算2、二次函数求参数范围3、函数性质4、指数方程求解5、求函数最大值6、函数与数列综合题7、含绝对值的函数应用 （1）（5）（8）（10）（13）（18）（19） 555551412 34%
上海卷 1、集合运算2、函数图像与不等式3、含绝对值函数的单调性4、求函数解析式5、研究函数定义域间关系6、二次函数与反比例函数的综合应用 （3）（5）（10）（15）（19）（20） 44441414 29.3%
说明：
1、函数在高考试卷中所占比例：函数在国家考试中心命制的四套试卷中比例稳定在20%左右，而其他省市试卷中基本上也是以20%的比例进行命题，湖北卷理科试题中函数所占比例相对较少只有12.7%，而上海卷、北京卷、广东卷、辽宁卷均超过25%，其中北京卷达到最高比例34%，上海卷也达到29.3%。
2、对函数知识的考查面比较宽：许多省市对函数的考查较为全面，如基础知识点中集合运算。利用基本性质解题涉及到求函数的定义域、值域、函数值、反函数、函数解析式。同时亦有关于函数去处理方程中有关应用题。而且还有借助导数作为工具去研究函数的单调性，求极值，最值以及求曲线上某点处的切线方程来命题。对综合性和灵活性要求更强的就是将函数与数列，函数与不等式相结合来命制压轴题。
3、对函数的考查既检验考生对知识的掌握又突出对能力的考查：几乎每一套试题中均有三至四道选择题或填空题，这主要强调对基础知识的考查。同时也至少出现一道解答题，有的省市试卷中出现两到三道解答题，如广东卷、北京卷、上海卷有两道解答题，而辽宁卷中出现三大题均与函数相关。解答题对理性思维能力以及运算能力均提出较高的要求。
4、复习建议：在对函数这一知识点复习时，既要重视基本概念和基本计算的复习巩固，同时还需进行综合训练。函数是学习其他知识的基础，同时又是一门重要工具。它对于三角函数学习，以及对于学习和研究数列，不等式均能提供必要的工具和指导。是命题者有兴趣命制优秀试题之处。因此习时须投入较大的工作量。
导数在近四年中在全国新课程卷和上海市高考中出现的形式及题型。
2、 考点举例及其分析说明
1、 利用导数定义证明求导公式
2003年江苏卷16：己知，为整数，(1)设，证明：；
(2)设，对任意。证明：
2、 会利用初等函数的导数公式、四则运算法则以及复合函数求导法则求函数的导数
2004浙江卷12．设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且则不等式的解集是 （ ）
A． B．
C． D．
（11）设是函数的导函数，的图象如图所示，
则的图象最有可能的是（ ）
3、求曲线上某一定点的切线方程（或求某一点处切线斜率）
2004湖北卷1．与直线的平行的抛物线的切线方程是 （ ）
A． B．
C． D．
2004全国(吉林卷)3．曲线在点（1，－1）处的切线方程为 （ ）
A． B． C． D．
2004广东卷19．
(12分)设函数
(1) 证明: 当0< a < b ,且时,ab >1;
(2) 点P (x0, y0 ) (0< x0 <1 )在曲线上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x0表达).
3、 利用导数的意义研究变化率
例1．(98年)
向高为的水瓶中注水，注满为止。如果注水量与水深的函数关系的图象如右所示，那么水瓶的形状是
(B)
2004湖北卷16．
某日中午12时整，甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距离对时间的变化率是 km/h.
4、 与导数有关的函数性质
2005湖北卷（6）
在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5、 求函数的解析式
2001年高考(天津卷)
己知函数在处有极小值，试确定的值，且求出的单调区间。
2002年江西
己知函数在与时均取得极值，(1)求值。(2)若对，恒成立，求
2004天津卷20．（本小题满分12分），的取值范围。
已知函数在处取得极值.
（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；
（2）过点作曲线的切线，求此切线方程.
2005福建卷19．（本小题满分12分）
已知函数的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.
（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.
6、 利用导数研究函数单调性，求单调区间
2004全国卷(吉林卷)10．函数在下面哪个区间内是增函数 （ ）
A． B． C． D．
2004湖南卷20．（本小题满分12分）
已知函数为自然对数的底数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）求函数在区间[0，1]上的最大值.
2004全国(河南卷)19．（本小题满分12分）
已知求函数的单调区间.
2003年国家卷(天津卷理科)
设，求函数，，的单调区间。
7、 求函数极值
2004湖北卷9．函数有极值的充要条件是 （ ）
A． B． C． D．
2005重庆卷（19）
已知，讨论函数的极值点的个数.
8、 求函数最值
2004江苏卷10．函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 （ ）
A．1，-1 B．1，-17 C．3，-17 D．9，-19
2004浙江卷（20）（本题满分12分）
设曲线≥0）在点M（t,e--t）处的切线与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t）.
（Ⅰ）求切线的方程；
（Ⅱ）求S（t）的最大值.
2004全国卷(甘)18．（本小题满分12分）
求函数在[0，2]上的最大值和最小值.
2005江苏卷22．（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）当a=2时，求使f（x）＝x成立的x的集合；
（Ⅱ）求函数y＝f (x)在区间[1,2]上的最小值.
9、 求函数值域（建议）
求函数的值域。
求函数的值域。
求函数的值域。
10、 求参数最值范围
2005湖北卷（17）
已知向量在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.
2005山东卷（19）
已知是函数的一个极值点，其中，
（I）求与的关系式；
（II）求的单调区间；
（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.
2004福建卷21．（本小题满分14分）
已知f(x)=(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.
（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.
2004 辽宁卷22．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的反函数的导数
（2）假设对任意成立，求实
数m的取值范围.
2005全国卷(2)22．（本小题满分14分）
已知
（Ⅰ）当x为何值时，f (x)取得最小值？证明你的结论；
（Ⅱ）设在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围.
2005全国卷(3)22．（本小题满分14分）
已知函数，
（Ⅰ）求的单调区间和值域；
（Ⅱ）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围
2005湖南卷22．（本小题满分14分）
已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0.
（Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
11、 证明不等式或等式
1983年高考卷
(1)己知为实数，且，其中为自然数，证明：
(2)如果正实数满足且，证明：。
2001年高考卷
已知是正整数，且，证明：。
2002年高考(天津卷)
已知，函数，设，记曲线在点处切线为。(1)求的方程。(2)设与轴交 点为证明： ， 若，则。
2004重庆卷20．（本小题满分12分）
设函数
（1）求导数; 并证明有两个不同的极值点;
（2）若不等式成立，求的取值范围.
2004全国卷(吉林)22．（本小题满分14分）
已知函数f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx.
（Ⅰ）求函数f(x)的最大值；
（Ⅱ）设0
2005全国卷(1)22．（本小题满分14分）
（1）设函数，求的最小值；
（2）设正数满足，
求证
2005湖南卷21．（本小题满分14分）
已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0.
（Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
12、 利用导数去处理应用问题
2004辽宁卷20．（本小题满分12分）
甲方是一农场，乙方是一工厂. 由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系.
若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格），
（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？
V
h高三年级四月调考数学试题
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1、已知平面向量，且和共线，则实数的值等于（ ）
A．或1 B． C．或 D．
2、函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3、（文），则值为（ ）
A． B． C． D．
（理）复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．1 B． C． D．0
4、数列满足是前项和，则的值为（ ）
A． B．6 C． D．10
5、曲线在处切线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
6、在中，，则面积为（ ）
A． B． C． D．
7、函数的反函数为，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
8、设两个独立事件A和B均不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是（ ）
A． B． C． D．
9、在双曲线且有一个点，是该曲线的两个焦点，且, 的三条边成等差数列，则双曲线离心率是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10、已知满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
11、5个人站在一排，甲、乙两人中间恰有一人的不同站法有（ ）
A．288 B．72 C．36 D．24
12、三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面与底面所成的二面角分别为45 、60 、
60 ，底面面积为1，则此三棱锥体积为（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
13、不等式的解集为_____________________________.
14、（文）掷两颗骰子，两颗均出现1点的概率是___________.
（理）某射手射击击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数为，则__________.
15、二项式的展开式中常数项为___________.
16、在中，是边上的高，若，则实数___________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演变步骤.
17、（本题满分12分）
（文）已知函数
（1）求的最小正周期；（2）在取得最大值时，求的值.
（理）在中，，且的角平分线将分成两段之比为，又.
（1）求三边长；（2）求角.
18、（本题满分12分）
设有由三个部件构成的两种型号产品甲和乙，当或是合格品并且是合格品时，甲是正品；当都是合格品或者是合格时，乙为正品。若合格的概率均是，这里合格性是互相独立的.
（1）产品甲为正品的概率是多少？
（2）产品乙为正品的概率是多少？
（3）与哪个大？
19、（本题满分12分）
已知平行六面体的底面是边长为2的菱形. , 又顶点在底面上射影恰好是边中点，而和底面所成角的正切值为2.
（1）求和底面所面角；
（2）（文）求到面之距；
（3）（理）问线段上是否存在一点，
使成立. 若存在求出线段之长. 否则，
说明理由.
20、（本题满分12分）
函数
（1）若函数在时取到极值，求实数a
（2）（文）若在上恒为减函数，求的取值范围
（3）（理）求在闭区间上最大值
21、（本题满分12分）
（文）已知数列的通项
（1）求数列前10项之和；（2）求数列项之和.
（理）已知直线及曲线上点，从上的点作以斜率为的直线交直线于点，再由点作平行于轴的直线交曲线于点，的横坐标构成数列，其中
（1）求与之间关系式；
（2）求通项；
（3）求和.
22、（本题满分14分）
过等轴双曲线上一点作两条相互垂直的直线分别交双曲线于两点.
（1）求证：直线的斜率为一定值；（2）若，求直线斜率.
高三年级数学试题参考答案
一、选择题
1、A 2、D 3、（文）A，（理）C 4、C 5、C 6、D
7、C 8、B 9、A 10、B 11、C 12、A
二、填空题
13、 14、（文），（理）
15、 16、
三、解答题
17、解：（文）（1）令且，则最小正周期为. …………………………（6分）
（2），在时，取最大值5，此时，
所求 …………………………（12分）
（理）（1）的平分线将分成两段比为，则，设，由可知：
…………………………（4分）
求得
由余弦定理求得 .…………（8分）
（2）又由余弦定理求，故. …………（12分）
18、解：（1）产品甲为正品的概率：
…（4分）
（2）产品乙为正品的概率：
…（8分）
（3）
当或时等号成立. …………………………（12分）
19、解：（1）过顶点作底面的垂线于足，依题意为中点，连接和，则为和底面所成的角.
是菱形，且
在中，即
又在中，，则
在中， …………………………（6分）
（2）（文）∥面，于是到平面之距离即到平面之距离，由棱柱的性质知，到平面的距离亦即到平面之距离.
从而转化为求点到平面之距离.
，则面，于是平面面.
过作于点，则面
在中， ………………（12分）
（3）（理）依题意面，又
如图建立空间直角坐标系，且已知点的坐标如下
在
上故设，于是，
设
于是有：即，，于是点
故线段上存在点，使成立. …………………………（12分）
20、解：（1）求导数得，由求得.
…………………………（4分）
（2）（文）在上恒递减，则在且恒成立.
在上恒成立，则. …………………………（12分）
（3）（理）在时知在上恒减，则最大值为，在时，，此时，由单调性可知在或可能产生最大值，又
①在时，，此时为最大值
②在时，，此时为最大值
因此，在时，最大值为；在时，最大值为；在时，最大值为. …………………………（12分）
21、（文）解：（1）前10项之和，为奇数时，.
…………………（6分）
（2）在为奇数，
…………………（12分）
（理）解：（1）过作斜率的直线，，并联立求.
由得其中,
，于是
…………………………（5分）
（2）由变形，于是，而
…………………………（8分）
（3）求
记则
两式相减得：
因此， …………………………（12分）
22、证明：过作分别交双曲线于，记斜率为，而，则斜率为. 将方程：代入中整理得：
由韦达定理知，其中，求得，同理求得
于是…………………………①
又，
于是 …………………………②
…………………………（9分）
（2）
求得或. 所求直线的斜率为或. …………………（14分）
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7三、湖北卷与全国及各地方试卷对照，比较、分析
1、与2003年全国传统课程卷知识点的比较及分析
2003年全国传统卷（理） 2004年湖北卷（理）
函数 主要考查内容 题号 分值 主要考查内容 题号 分值
分段函数性质函数单调性 （3）（19） 512 抽象函数解析式函数单调性求函数极值导数应用 （3）（7）（9）（16） 5554
三角函数 三角函数求值求三角函数最值求三角函数反函数三角函数应用题 （1）（4）（9） （20） 55512 三角函数图象性质应用三角函数求值 （12）（17） 512
不等式 简单指数和无理不等式含参数的绝对值不等式解超越不等式 （3）（19）（14） 5124 不等式的性质含参数的不等式解含参二次不等式解不等式数列不等式 （5） （9） （10） （20）Ⅰ （22）Ⅲ 55556
数列 等差数列性质数列极限数列通项 （7）（11）（22） 5512 数列通项与前n项和Sn关系数列求和递归数列通项求法及数列极限 （8）（13）（22） 5414
复数 复数的辐角和模 （17） 12 复数代数运算 （2） 5
排列组合二项式定理 组合数公式应用排列组合应用二项式定理 （11）（13）（14） 544 排列组合应用 （14） 4
立体几何 圆锥与圆柱结合体四面体和球结合体识图求线面角和点到面之距离 （6）（12）（16）（18） 55412 线面角应用判定线面关系及求二面角 （11）（18） 512
解析几何 直线和圆位置直线和双曲线对称性问题求点的轨迹方程 （5）（8）（10）（21） 55514 椭圆焦半径的应用直线与双曲线的位置 （6）（20） 512
向量 未考 向量运算性质向量运算在平面几何中应用向量在立体几何中应用 （4）（19）（18） 51212
概率与统计 未考 概率分布的应用概率统计的应用 （13）（21） 412
导数 利用导数求切线方程用导数求极值用导数求函数变化率 （9）（16） 54
通过比较发现：1、课改之后的新课卷的考试中，对新增内容中的主干知识如向量，概率统计，以及导数的应用的考查力度加强。分值达到64分之多，而对新增加内容中的非主干知识如线性规划，正态分布，线性回归直线方程的求法，以及欧拉分式的应用尚没有考查。
2、复数在传统教材中是主干知识，常和三角函数相结合出现在考试中，或与三角交替出现在解答题中，而现在复数在新新课程卷中只在理科试题中出现，且只作为选择题，考试要求只需掌握复数的代数运算。因此在复习中要注意其中复习要求，控制其难度及范围。
3、对函数的考查仍是考试的重点，今年湖北卷对函数的考查虽无解答题，但对其要求并没有降低。而且常和导数的应用以及不等式的证明相结合进行考查。这也是现在考试的新特点。
4、对三角函数的考查的力度比2003年全国传统卷的要求稍有降低。但三角函数作为解答题的地位基本确立。而且时常与向量相结合出现在考试中。
5、对不等式的考查虽然不象传统课程卷中以一个独立解答试题出现，但不等式作为主干知识的地位依然不变。不等式作为工具去处和解决问题的功能更强了。而且对不等式的掌握好坏直接反映出考生的思维层次。因此在以后的复习考试中，对不等式的要求不能降低。
6、数列依然是新课卷中的重点考查内容。和传统试卷中地位一样十分重要，数列是理科考生进入高校进行后继性学习中必备工具。其中递归数列一直是近几年高考的热点内容，而且递归数列常与解析几何或不等式相结合出现。在知识网络交汇处命题是考试的一个突出特点。数列在2004年湖北卷（理科）中是压轴题，和2003年全国传统卷中地位一致，不可替代。
7、对立体几何考查力度比2003年全国传统卷的考查要求有所降低，而且分值也有所下降，立体几何的解答题既可以用传统方法解决，亦可以通过建立适当的空间直角坐标系解决。这是立体几何命题的一个新特点。
8、对解析几何考查力度比2003年全国传统卷有明显降低。无论是分值，难度还是风格，基本上回到传统的解析几何知识的考查上。但对计算的要求依然没有降低。解析几何是一门很好的数学工具，是必须掌握好的学科。
2、全国及各地区高考解答题（理科）知识点分布表
题号试卷 （17） （18） （19） （20） （21） （22）
全国卷Ⅰ 三角函数求值 概率统计应用 函数与导数求单调区间 立体几何 解析几何与向量 递归数列求通项
全国卷Ⅱ 解斜三角形 求概率 数列中证明 立体几何求二面角 向量与解析几何 导数应用及证明不等式
全国卷Ⅲ（旧课程） 三角函数求值 解含绝对值的指数方程 函数应用题 三棱锥中求线线垂直及线面角 解析几何求参数范围及直线方程 递归数列求通项及证明不等式
全国卷Ⅳ 三角函数求值 导数求函数最大(小)值 求离散概率分布及期望 四棱锥中求体积及线线证垂直 双曲线中求离心率及取值范围 函数与不等式证明
湖北卷 三角函数求值 正方体中求线面关系及二面角 向量在平面几何中应用 直线与双曲线 概率统计的应用题 递归数列及不等式
江苏卷 三角函数求值 正方体中求线面角及点到面距离 线性规划应用题 数列性质的应用 向量与椭圆 函数与数列涉及导数
湖南卷 三角函数求值 求概率 四棱锥中求线面及二面角 导数求单调区间及最值 向量及抛物线 解析几何与递归数列
浙江卷 解斜三角形 求概率及期望 立体几何中求线面平行及二面角 求切线方程及面积最大值 双曲线 解析几何及递归数列
重庆卷 三角函数性质及恒等变换 求概率分布及期望 四棱锥中求线面关系 导数应用与不等式 直线与抛物线 数列与不等式
福建卷 向量与三角函数求值 求概率分布及期望 三棱锥中求二面角及点面距离 数列应用题，其中含递归数列 导数与函数求参数取值范围 直线与抛物线
天津卷 三角函数求值 求概率分布及数学期望 四棱锥中证明线面垂直，平行及求二面角 导数与函数 递归数列求通项及求极限 向量与解析几何
辽宁卷 四棱锥中证明面面垂直及求二面角 解含绝对值的参数不等式及三角方程 向量与椭圆 函数应用题 函数与数列不等式证明 函数导数及不等式
上海卷 复数 函数的应用题 解含参数不等式 函数与方程 立体几何的证明及求二面角 数列与解析几何综合应用
北京卷 解斜三角形 三棱柱中展开图及二面角的求法 直线与抛物线 函数与数列求和求极限 函数的应用题 探索性问题不等式
说明：除北京、上海两个地区外，全国新课程卷以及新加入独立命题的省份的数学试题的解答题均以主干知识为主进行命制，而且集中在三角函数，数列，不等式，导数与函数，向量，概率与统计，立体几何以及解析几何。而湖北理科卷和全国新课程卷中理科试题以及兄弟省份理科试题的命题模式风格基本相同，体现了国家考试中心在各省命题时的指导作用。而且各个省份命题人员对考试中心的命题精神把握得很好，同时亦有自己的特点，许多试题均非常优秀，而且很有创意。多数省市均以数列，不等式，导数与函数以及解析几何为压轴题。有的地点是几个知识点的综合，体现在知识网络交汇点处来命制试题。湖北理科卷中有一个以向量为背景的求向量内积的最大值向题，对学生的能力要求比较高。可以用纯向量运算亦可用建立坐标来处理，两者均需用到函数思想。除在小题中命制了函数与导数相结合的试题外，而在解答题中并在导数与函数相结合的综合试题，也体现在函数这一块知识上命题的灵活性。但整份试卷中对函数的考查并未降低要求。
3、2003年全国新课程卷（天津卷）知识点比较
2003年新课程卷（天津卷） 2004年湖北卷（理科）
知识主体 主要考查内容 题号 分值 主要考查内容 题号 分值
函数与导数 分段函数性质求反函数求曲线上某点切线方程利用导数求单调区间 （3） （5） （7） （19） 5512 求抽象函数解析式函数单调性应用函数不及值存在性导数的应用 （3） （7） （9） （16） 5554
三角函数 三角函数求值三角函数性质及图像 （2） （17） 512 三解函数图像性质应用三角函数求值 （12） （17） 512
不等式 简单指数或无理不等的解解不等式数列不等式 （3） （19） （22）Ⅲ 51217 不等式性质应用含参数不等式解含参数二次不等式求参数取值范围数列不等式 （5） （9） （10） （20）Ⅰ （22）Ⅱ 55556
数列 等差数列性质数列极限数例通项求法 （8） （11） （22） 5514 数列的性质数列求和递归数列通项求法及应用 （8） （13） （22） 5414
向 量 向量运算性质向量与立体几何由向量求轨迹 （4） （18） （21） 51212 向量运算性质向量与立体几何向量处理平面几何问题 （4）（18）（19） 51212
复数排列组合二项式定理 复数代数运算排列组合应用二项式定理组合公式应用 （1） （15） （13） （11） 5445 复数代数运算排列组合应用 （2） （14） 54
概率与统计 分层抽样离散型随机变量分布及期望 （14） （20） 412 概率分布性质概率统计在预防突发事件中应用 （13） （21） 412
立体几何 多面体的结合体四面体和球的结合体识图求线面角和点到面距离 （6） （12） （16） （18） 55412 线面角应用判定线面关系和求二面角 （11）（20） 512
解析几何 直线与比曲线点的对称性求参数方程及轨迹 （9） （10） （21） 5512 椭圆焦半径应用直和双曲线 （6）（20） 512
通过将2004年湖北理科试卷和2003年新课卷（天津卷）比较可以发现：
1、湖北卷的命题风格和2003年天津卷一致，基中包括试题的数量，题型，结构，知识点的分布及其范围。但总体难度有所降低。利于提高考生学习数学之兴趣。老师易于接受新的教学模式。
2、新增加内容和2004年天津卷的新增加内容大体一致，其中导数的考查力度和内容均有所减弱。而概率统计的应用加强了。对向量的应用及其运算的要求比以前更高了。对线性规划，正态分布，线性的直线方程之求法以及欧拉公式的考查安排依然未出现。
3、立体几何的考查难度明显降低，而且内容和分值也有所减少。
4、解析几何试题以前常和向量相结合而出现。而湖北卷则将解几试题回归到传统上进行考查。分值略有下降，起点题和解答题难度及分值也有所下降。
5、对三角函数的考查要求基本上保持稳定，试题均属中档题。
6、数列和不等式对考生的思维要求，推理能力，计算能力要求均很高，能反映出不同层次的考生个性特征。因此对这两个方面的要求在湖北卷中依然很高。
7、非主干知识，如复数，排列组合和二项式定理等内容考查的难度不大，分值略有下降。
8、在知识网络交汇处设计的试题的数量有所下降。综合难度不太大，而且试卷在设计上的结构难度也不大。基本上是由浅入深，因此试卷的整体难度比2003年天津卷低一些，考生感觉会更好！
4、2004年不同地区文理科压轴题分布情况及其说明
地区 文科（考查内容） 理科（考查内容）
全国卷Ⅰ 1、求随机事件概率2、求点到面距及二面角（传统综合法）3、直线和双曲线，其中有向量形式出现 1、立体几何：求点面距及二面角（只用综合法）2、直线与双曲线，其中有向量形式3、递归数列求通项
湖北 1、利用向量解决平面几何中最值问题2、概率在预防方案中应用3、函数的极值存在性问题 1、向量解决平面几何中最值2、概率在预防突发事件的决策作用的应用3、递增数列及数列不等式
江苏 1、等差数列性质及数列的存在性2、直线和椭圆的关系，其中含向量形式出现3、函数与不等式的证明 1、等差数列性质及数列的存在性2、直线和椭圆的关系，其中含向量形式出现3、函数与不等式的证明
湖南 1、数列性质的证明及数列求和2、利用导数研究函数单调性和求最大值，且以解析几何为背景3、向量与解析几何相结合的综合应用 1、利用导数研究函数单调性和求最值2、向量与解析几何的综合试题3、以解析几何为背景的递归数列的通项求法及数列不等式
福建 1、数列应用题（递归数列）2、直线与抛物线，其中求切线涉及到导数3、利用导数研究函数单调性及求参数取值范围 1、递归数列的应用题2、利用导数研究函数单调性及求参数取值范围3、直线与抛物线的综合题，涉及导数
浙江 1、概率的应用2、求函数导数，取值及参数取值范围3、求双曲线方程及参数取值范围 1、求曲线上点处切线方程及面积的最大值（导数）2、求双曲线方程及参数取值范围3、以解析几何为背景的递归数列的通项求法与证明。
天津 1、等差数列性质及数列中的数列通项求法2、导数研究多项式函数单调性最值及证明不等式3、以向量为背景研究椭圆离心率，及求直线方程 1、导数处理函数极值及求曲线上某点处切线方程2、递归数列通项及数列极限求法3、在向量背景下求椭圆离心率及向量等式
重庆 1、函数的应用题（利用导数）2、直线与抛物线3、由递归数列求通项及求数列前n项和 1、利用导数研究函数极值的存在情况与求参数取值范围2、直线与抛物线3、由递归数列去证明数列不等式
全国卷Ⅱ 1、直棱柱中线面与面面2、由多项式函数结合导数工具求参数范围3、向量与解析几何 1、直棱柱中线面与面面角2、向量与解析几何3、导数研究函数性质与证明不等式
辽宁 1、函数应用题2、数列不等式3、导数与函数的综合应用 1、函数应用题2、数列不等式3、导数与函数的综合应用
全国卷Ⅲ旧课程 1、函数的应用题2、三棱锥中求线线关系及线面角3、椭圆性质及直线与椭圆关系 1、三棱锥中求线线关系及求线面角2、椭圆性质及直线与椭圆关系3、递归数列及应用
全国卷Ⅳ 1、求概率2、四棱锥中求体积及线线关系3、求双曲线离心率范围 1、四棱锥中求体积及线线关系2、求双曲线离心率范围3、函数、导数、数列综合题
地区 文科（考查内容） 理科（考查内容）
上海 1、直线与抛物线2、证明一个四面体是正四面体；求二面角及证明一个平行四面体的存在性3、在解析几何的背景下研究数列及数列求和与数列的存在情况 1、求函数解析式及证根的存在个数问题2、在正三棱锥中研究几何体的性质3、在解析几何背景下研究数列及数列求和与数列的存在情况
北京 1、数列通项，数列求和及数列极限，体现微积分思想2、含绝对值函数的应用题3、数的分组，不等式探索性问题 1、数列通项、数列求和及数列极限，体现微积分思想2、含绝对值函数的应用3、数的分组、不等式证明的探索
将全国的新课程卷、上海卷、北京卷及今年由教育部授权独立命题的九个省份的数学试题中压轴题进行对照和分析，发现无论是文科还是理科，对重点知识的考查比较集中，文理科差距并不十分明显。其湖北省解答题中仅一题差别，其他试题几乎相同，北京市后三个综合题文理科完全一样，而江苏省文理科同卷，且后面三个压轴题难度较大。文理差距在缩小。这是今年的一个问题特点。是否是今后的一个发展趋势，有待进一步观察。全国新课程卷和各省份试题中压轴题（拉开学生差距及档次的综合性试题）所考查内容集中在如下几个方面：
1、数列的综合应用，其中递归数列在每一个省份理科试卷中出现，且难度较大，而且像湖南、浙江、上海将数列与解析几何相结合。增强了知识的综合性。湖北、湖南、辽宁、重庆将数列与不等式相结合。
2、解析几何中圆锥曲线与直线的关系仍然是关注最多的知识点，对思维及计算的考查要求颇高。多数省份解析几何试题与向量相结合出现。
3、借助于导数作为工具来研究函数性质或证明不等式综合性试题在各省份中出现频率也较高，湖北理科解答试题中未出现其综合题，但文科仍将函数试题作为压轴题。江苏省2003年对导数的应用提出了较高要求，这次虽然降低了对导数的考查，但其最后一项涉及函数与不等式的试题仍是今年所有试题中对思维要求最高的。
4、概率统计试题出现在压轴题中也有几个省份。多数是结合实际背景的应用题，有较好的应用价值。湖北卷中就出现了这样的一道用概率统计知识来处理突发事件中预防措施的选取方案试题。成功地将理论和应用结合。
5、立体几何作为压轴题的省份极少，除考试中心试题和上海市试题外。
总之，多数省份理科试题均以数列，解几，函数与导数为主来命制压轴题，这里几乎均含对不等式的证明或解不等式的考查，且要求较高。文科试题中压轴题多以函数与导数，解析几何为主，辅之以概率，或数列或立体几何。
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8数列、不等式、函数等知识交汇处
1、2005国家（1）卷 （19）
设等比数列的公比为q，前n项和Sn>0（n=1，2，…）
（1）求q的取值范围；
（2）设记的前n项和为Tn，试比较Sn和Tn的大小.
2、2005国家（1）卷 （22）
（1）设函数，求的最小值；
（2）设正数满足，
求证
3、2005国家（2）卷 （18）
已知是各项均为正数的等差数列，、、成等差数列.又
（Ⅰ）证明为等比数列；
（Ⅱ）如果无穷等比数列各项的和，求数列的首项a1和公差d.
（注：无穷数列各项的和即当时数列前n项和的极限）
4、2005国家（3）卷 （20）
在等差数列中，公差，是与的等比中项，已知数列
成等比数列，求数列的通项
5、2005天津卷 （18）
已知.
（Ⅰ）当时，求数列的前n项和；
（Ⅱ）求.
6、2005天津卷 （20）
设函数.
（Ⅰ）证明,其中k为整数；
（Ⅱ）设为的一个极值点，证明；
（Ⅲ）设在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列,证明.
7、2005辽宁卷 （19）
已知函数设数列}满足，数列}满足
（Ⅰ）用数学归纳法证明；
（Ⅱ）证明
8、2005江苏卷 （23）
设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且
其中A,B为常数.
（Ⅰ）求A与B的值；
（Ⅱ）证明数列{an}为等差数列；
（Ⅲ）证明不等式对任何正整数m、n都成立.
9、2005浙江卷 （22）
设点(，0)，和抛物线：y＝x2＋an x＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－，由以下方法得到：
x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y＝x2＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点在抛物线：y＝x2＋an x＋bn上，点(，0)到的距离是 到 上点的最短距离．
(Ⅰ)求x2及C1的方程．
(Ⅱ)证明{}是等差数列．
10、2005福建卷 （22）
已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：
（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；
（Ⅱ）设数列{bn }满足b1=－1, bn+1=，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}；
（Ⅲ）若，求a的取值范围.
11、2005湖北卷 （22）
已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有
12、2005湖南卷 （20）
自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.
（Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不
要求证明）
（Ⅱ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的
最大允许值是多少？证明你的结论.
13、2005重庆卷 （22）
数列{an}满足.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：；
（Ⅱ）已知不等式，其中无理数
e=2.71828….
14、2005山东卷 （21）
已知数列的首项前项和为，且
（I）证明数列是等比数列；
（II）令，求函数在点处的导数并比较与的大小.
15、2005江西卷 （21）
已知数列
（1）证明
（2）求数列的通项公式an.2005年高考数学试题(湖北等 )的分析及评价
武汉市教育科学研究院 孔峰
一、总体评价：
2005年高考数学试题（湖北卷）严格依据教育部《数学科考试大纲》的各项要求，在遵循“有利于高校选拔人才、有助于中学实施素质教育、有助于高校扩大办学自主权”原则的基础上，融入了新课程新大纲的理念，试题立意新颖，选材不拘一格。与2004年全国其他独立命题省市试卷相比，试卷的结构、采用的题型和配备的题量，题型的分值比例等方面保持相对稳定。与2004年全国新课程卷及2004年湖北卷的结构及考查内容更吻合一些，且比2004年湖北卷对新课程新大纲的整体把握与理解更加成熟，整份试卷从数学知识、思想方法、学科能力出发，多层次多角度地考查了学生的数学素养和学习潜能，对考生能力、知识灵活运用及综合运用提出了比较高的要求，尤其值得注意的是，对新增加内容的知识的考查、知识的灵活运用考查，以及在运用新增加内容知识去处理实际问题的实践能力的考查均提出了较高的要求，因此我们考生在高考复习中需引起足够重视和研究，订做到与时俱进。
二、2005年高考数学试题的特点
今年，我省高考数学命题在2004年平稳过渡的基础上，站在新课程评价理念的高度，稳中求新、稳中求活。在继续深化能力立意、倡导通性通法、坚持数学应用、加大新增知识的考查力度等各个方面又作了进一步的实践、探索、深化与创新。审视试卷，笔者感悟到白纸黑字间的灵性的跳动，令人回味，试题命题呈现出诸多亮点，对我们高考复习有很多有益的启示。
１、立足基础，突出能力，考查思维的灵活性
无论在选择题、填空题，还是解答题中均有许多试题突出对基础知识的考查。但其中一些基础试题在强调基础知识的同时，试题对能力的考查也十分突出，可以从多方面去思考，体现了思维的灵活性。不同能力的学生处理方式不同，体现了不同的思维水平和数学思维品质。
例1 （高考理科第7题文科第10题）若sinα+cosα=tanα (0<α<),则α
A. B. C. D.
本题以方程的形式出现，似乎应该求出角α，但这只是一种表象，透过现象看本质，选择支是角α的范围，于是只需角α的一个三角不等式，由此联想大家熟知的基本结论：当α是锐角时，sinα+cosα>1.于是tanα>1,答案选C。
本题立足一个基本结论，思维容量较大，蕴含转化思想，能有效展示考生的思维水平和灵活性。启示我们平时的训练需要思考的时间和空间，仅仅依靠“题海战术”和大量的操练是难以奏效的，这是高考命题的一个亮点。
例2 （湖北高考理科第9题）若，则2x与3sinx的大小关系：
A.2x>3sinx B.2x<3sinx C.2x=3sinx D.与x的取值有关，
要比较2x与3sinx的大小，只需比较与sinx的大小，如果不加思索地认为和基本结论“当时x>sinx”一样，就会选择错误答案A，如果反思与x的异同，用特殊值检验，问题将迎韧而解：x=时，本题在看似不可能处考查极限思想，是命题的又一亮点。平时一味死记硬背的考生是学不好数学的，应克服一味地定向思维、习惯思维毛病，养成深入钻研与思考的习惯。本题亦可用数形结合的思想方法解决。
例3 2005辽宁卷（12）
一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是 （ ）
例4 2005辽宁卷（10）
已知是定义在R上的单调函数，实数，，若，则 （ ）
A． B． C． D．
例5 2005天津卷（9）
设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
例6 2005天津卷（10）
若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
每年高考试题中均有大量的试题直接源于课本，是课本中例题或习题的改编，而今年亦不例外。
例7 （高考理科第19题）某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9 .求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率.
本题源于高中数学第三册（选修Ⅱ）第11页例3，只不过把课本题中的“抽取产品的试验”改成了“机动车驾照考试”，“每次抽取一件检查取出次品的概率相同”改成了“每次参加考试通过的概率不同”，考查内容由课本题的相互独立重复试验变为相互独立试验，可以说课本题成为了高考题，正如许多命题专家所认为：课本是试题的基本来源，决定着我们在高考复习时对课本的基本态度。
例8 2005湖南卷（12）
在（1＋x）＋（1＋x）2＋……＋（1＋x）6的展开式中，x 2项的系数是 .（用数字作答）
还有高考（湖北）理科第11、12题，尽管课本上没有原型题，但两题考查的主要内容都是对基本概念的本质的理解，第11题考查的是分层抽样、系统抽样的基本概念，第12题考查的是概率的基本定义，但第11题对阅读能力有较高要求，第12题对空间想象能力、分类讨论能力的要求较高。这种考查方式对新教材的学习起到了促进和正确引导的作用。启示我们对课本例习题应经常回顾与反思，回顾解题思路、过程与方法，反思问题的实质，从而达到“秀枝一株，嫁接成林”的功效。我们在平时学习和复习中重视教材的使用，在综合复习时，避免“高起点、高目标、高要求”，注重课本内容的复习巩固，做到温故而知新，举一反三，触类旁通，注重知识的变形及灵活运用。要学会用“迁移”的方法及类比去处理问题。
2﹑推陈出新，渗透新课程理念，考查思维的深刻性
高考试题的命制总是以主干知识为主进行命制，其中对一些重点内容更是每年必考，但即使是同一个知识点，在命题者手中，均能使其推陈出新，散发出更新鲜的魅力，使人耳目一新，更使我们感觉到命题者独具匠心，对知识点的挖掘更具有深刻性，许多知识常考常新，因此我们教师在复习时，要教学生去挖掘出深刻内涵，学会利用发散思维和联想思维去认识传统知识，从而提升能力，形成良好的思维品质和数学行为习惯。
例9 （高考文理科第1题）设P、Q为两个非空集合，定义集合P+Q={a+b|aP,bQ},若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q中元素的个数是
A.9 B.8 C.7 D.6
本题从考生非常熟知的具体集合出发，给出一个集合的加法定义，考查集合元素的互异性、分类讨论思想和考生的学习能力，对考生获取新知识的能力有一定的区分度。集合元素的互异性是考生容易疏忽的地方。
例10 （湖北高考理科第14题）的展开式中整理后的常数项为
如果将原式直接展开，则运算较繁，极易出错。事实上，通过直观思维，可知：在时，= ,由此易得答案.
本题源于2004年安徽春季高考题：若的展开式中常数项为 -20，则自然数n= , 主要考查观察能力和运算能力，包括探究运算方向，选择运算公式，确定运算程序等一系列过程中的思维能力。历年的高考题都是命题专家的智慧和结晶，高考复习时认真研究高考题是非常有必要的。
一般地：的展开式中通项为：，其中，总结利用这一结论更加方便解题作答，且思维层次更高
例11 2005江苏卷（18）
（18）在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则的最小值是 .
例12 （高考理科第6题文科第7题）在这四个函数中，当0<<<1时，使恒成立的函数个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
本题的背景是高等数学中函数图象的凸凹性，在往年高考题中出现多次，在各地的高考模拟题中也经常出现，为广大考生所熟悉，背景公平，而在所有以此为背景的题中，以三角函数为研究对象的出现得不多，事实上，y=cos2x的图象在上是凸函数，在上是凹函数，因此不恒成立，这也是考生作此题的易错点。
本题亮点是以高等数学知识为背景，本质是考查四个初等函数（特别是三角函数）图象的凸凹性，只需考生对已经学过的中学数学知识有一个本质、深刻的理解，对考生在新情景下能灵活运用基础知识的能力提出了较高要求。
以函数的凸凹性为背景的试题在以往的高考中出现的较为频繁。如⑴2004年的北京卷的选择题，
94年高考题：是，，求证:
2005年的湖北卷的选择题(6)
在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
2004年全国卷（云、贵、川、吉、黑）（22）题：
已知函数f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx.
（Ⅰ）求函数f(x)的最大值；
（Ⅱ）设02005年全国卷（河南、河北、山西）（22）题：
（1）设函数，求的最小值；
（2）设正数满足，
求证
例9、例10、例11还表明：无论解决何种背景的题目，夯实基础是前提，提高能力是关键。
3﹑解法多样，体现能力层次，考查思维的广阔性
许多高考试题都要求能灵活运用所学基础知识进行解答，一些综合性试题更生快速调动基础知识和方法，融会贯通以求解答。这些题设计解法丰富多彩，不同程度的学生选择不同的解法，如果解题方向明确，过程简洁明快，合理设计计算的程序，则反映出数学能力就越高。否则数学能力就较差，不同的解法过程反映出学生的能力差异，提高了选拔功能。高考试卷中的解答题都能一题多解，能力区分度高。
例12 （浙江高考理科第10题）
已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则
(A) ⊥ (B) ⊥(－) (C) ⊥(－) (D) (＋)⊥(－)
例13 （福建高考理科第11题）
设的最小值是 （ ）
A． B． C．－3 D．
例14 （湖北高考理科第18题）在中，已知AB=，cosB=，AC边上的中线BD=.，求sinA的值.
此题参考答案提供了三种解法，下面本着三角题用三角知识解决的思路再提供三种解法: 解法1 （构造方程组）
设AD=x BC=y
在ADB中，cosADB== (1)
在CDB中，cosCDB== (2)
注意到cosADB= - cosCDB，由（1）+（2）可得：
2 （3）
在ABC中，
可得 （4）
联立（3）、（4）解得：y=2 (y= -舍), x=
即BC=2， AC=2
在ABC中，利用正弦定理得：
又sinB=，解得 sinA=
解法2 （利用平面解析几何知识）
以B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，且不妨设A位于第一象限
由sinB=，则A点坐标为，即A（
设C（x,0）,则D（）
利用两点间的距离公式得：
BD== x=2 即BC=2
从而C（2，0） AC==2。以下同解法1
解法3 （构造平行四边形，将条件化归到一个三角形中）
延长BD到E，使BD=DE，连接AE、EC，则ABCE是平行四边形
BCE=ABC ，BE=2BD=，CE=AB=
在BCE中，
解得BC=2 （BC=舍）
在ABC中，，解得AC=
以下同解法1。
第三种方法可以总结如下规律：在中，边上的中线长：；直接利用此结论便于求出边之长，再去求。因此学会将复杂问题简单化，自已去分层设问降低难度，这是数学中一种重要能力的体现。本题联想发散：三角形内角平分线定理及斯特瓦尔定理的应用。
上述三种不同解法反映三个不同的能力层次：第一个层次是设未知数，找等量关系，建立方程组求解，此法思路自然，但运算量较大，考生极易出现计算错误而事倍功半；第二个层次是利用平面解析几何思想，需考生的思维有一定的灵活性；第三个层次是利用平面几何知识，构造对称图形，对考生的观察和创造能力提出了更高的要求。
这样的考查方式注意到了考生的实际情况，突出了共性，反映了个性，体现出了能力层次，实现了高考的选拔功能。启示我们在高考复习时应注重数学思想方法的提炼与渗透，注重一题多思，一题多变，一题多解，横向联系，纵向发散，在理性思维中培养和提高数学思维能力。
2005年湖南卷 （19）
已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线
l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ.
（Ⅰ）证明：λ＝1－e2；
（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.
（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是.
所以点M的坐标是（）. 由
即
证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是
所以 因为点M在椭圆上，所以
即
解得
2005重庆卷（22）
数列{an}满足.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：；
（Ⅱ）已知不等式，其中无理数，e=2.71828….
2005湖北卷（22）
设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
（Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.
（此题不要求在答题卡上画图）
4﹑突出对应用能力的考查，既符合中学生的认知特点，又体现了考查的公平性
以一定的知识为载体，努力培养学生去应用数学知识去处理实际问题的能力，是数学教育的另一个重要目的。实践能力要求考生能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中数学问题；能阅读、理解对问题进行陈述的材料，将实际问题抽象为数学问题，建立相关数学模型，应用相关的数学方法解决问题并加以验证，且能用数学语言正确表达说明。
实践能力在考试中表现为解答应用问题。2005年高考湖北卷文理科各有三道应用题。文科试题涉及到简单线性规划应用、简单随机抽样、系统抽样与分层抽样以及概率知识在决策性问题中应用，理科试题涉及到简单线性规划应用，简单随机抽样、系统抽样与分层抽样应用以及概率与统计知识在决策性问题中应用。其中文科的第12题和理科第11题既涉及抽样的基本概念，同时还涉及具体抽取方法，对知识的考查十分全面且到位。文理科第16题简单线性规划试题涉及问题通俗易懂，只需要转化为解析几何问题，利用数形相结合便可得到解决。理科第19题背景和处理方法直截源于课本，和几何学分布既有联系以有区别，需学生对知识的活学活用。文科第21题是概率的综合应用，涉及到二项分布、分类讨论等诸多方面的概率知识，需要仔细阅读，认真分析，找到和课本中一致的当数学模型，还是不难解决的。这些应用题的情景适当、难度与运算量控制较好，有很好的实用价值。背景材料贴近生活且对每一位考生是公平的，涉及到的数学工具容易联想和利用。
5﹑体现了对创新思维和创新意识的考查
注意对学生的数学创新意识的培养是《数学科考试大纲》的要求。创新意识需要我们学生对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学知识、思想和方法，进行独立思考，创造性地解决问题。
例15 （辽宁理科7题）
在R上定义运算若不等式对任意实数成立， 则 （ ）
A． B． C． D．
例16 （湖南理科10题）
设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1＝， λ2＝，
λ3＝，定义f(P)=(λ1, λ, λ3),若G是△ABC的重心，f(Q)＝（，，），则 （ ）
A．点Q在△GAB内 B．点Q在△GBC内
C．点Q在△GCA内 D．点Q与点G重合
例17 （湖北理科11题）
某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段。如果抽得号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；
关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ）
A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样
例18 （湖北理科12题）:以平行六边体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为（ ）
本题是在立体几何中以一个正方体为背景去研究两个不共面的三角形的取法问题。在若干个点中取两个三角形不同于在一群人中去寻找两个人那么简单。先需将问简具体化：从个点中如何去找两个不同的三角形？先去找第一个三角形是直截从 n个点中取3个点，共有 个三角形，再找第二个三角形时，需将n个点分为两大类，第一类点是已取的第一个三角形中的3个点，第二类点是余下的n-3个点，这样才便于去找第二个三角的个数为：，通过这种方法可找正方体的第一和第二三角形的个数为：，在同一个平面四边形内，亦可使用这样类似的方法找到第一、第二这样的两个三角形：，从而两个三角形共面概率为：，于是对立事件概率为：。
本题的处理方法是平时学习中不常使用的，需要我们在认识问题之前先要抓住主要矛盾是要若干个点中寻找两个不同的三角形。然后以四边形、五边形为例去简化问题，再利用类比、迁移的思维方法去寻找一般性的解决问题的方法。这一试题在设计处理方法上别具一格，在方法上进行大胆的创新和尝试，对老师的命题起到很好的示范作用，对学生的创新意识的考查很有力度，是一个优秀的试题。
理（11）题和文科（12）题是同一个题。这一试题将几种抽样方法的概念以及具体抽取方法融合在一起，是以往高考和调考中不曾出现过的，将数学的概念与计算结合得十分完美，这种在命题形式的突破与创新也是我们教师值得关注的。总而言之，没有创新就不会有生命力，没有创新，我们的学科就没有希望，没有创新，我们民族也就会失去前进的动力。
6﹑出奇不意，又在情理之中，考查意志品质
与去年相比，适当增加选择题的难度，控制解答题的难度，打破传统的多道解答题把关，“出奇不意，但又在情理之中”是今年我省试题命题的一大特点。
如选择题理科第6、7、9、10、11、12题，文科第2、7、8、10、12题（其中第2、8题属“多选题”）都是考生的易错题，尽管立足点都是基础知识，但对考生的思维能力要求较高，一旦解题方向有偏或考虑不周全，就可能成为前进路上的拦路虎，对考生的意志品质是极大的考验，体现了新课程改革对考生的个性品质要求：要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神。那些猜题压题的作法是幼稚的，功夫应下在平时。
7．体现了对文理科学生的不同要求，命制试卷中体现差异性
文理两科不同的试题共有11个，理科中的第1、2、4、5、6、7、11、13、16、17、22题，共11个试题出现在文科试题中，文科试题在整体上比理科试题低许多，主要体现在立体几何、数列、不等式以及三角函数的计算上，但文科的概率试题比理科还难一些。
三、对高中数学教学的启示
由于2004年湖北省首次获得高考的命题资格，命题者对高考试题的命制的把握需要有一个摸索、探索与完善的过程，在2006年高考的准备中，除了要求命题人能充分考虑到中学数学的教学实际和目前课程改革的力度，来确定试题的难度以外，更重要的要求我们广大教师去分析学生出现的问题，找到教学中的成功经验，反思教学中的弊端，不断地学习新的知识，更新教育观念。不断提高教学艺术和水平。充分调动学生学习的积极性，使之明确学习目的，发展能力。从而使学生身心得到全面的发展。下面具体说明需注意事项：
1、依据新的《考试大纲》，改变旧观念，适应新考试
今年全国绝大多教育市均进行新课卷的考试。新课程卷在命题的观念，考试内容，考试要求，考试思想和方法上均有较大的调整。使原有的知识板块发生了变化，在教学时和复习阶段，要把握这些变化，调整和改进原有的复习模式，夯实基础。特别是新增加内容知识的落实，形成知识的纵横系统的网络，加强与传统知识的联系和渗透。
2、应重视基础知识的理解和基本技能的训练
2005年高考试卷湖北卷，无论是文科，还是理科，在选择题、填空题和解答题的起始题设计上，均控制其绝对难度，立足考查基础知识和技能，即使是一些综合题，在设问上亦注意到由浅入深循序渐进，也就是说“入口易，深入难”。因此在复习时，基本训练一定要以课本中一些例题和习题为素材，一定要克服“眼高手低”的毛病，不根据自己的客观实际，一味追求“高起点，高目标，高要求”。最终将会失去牢固的基本功。如果一味去做难题，好高骛远，片面去搞综合提高，肯定不会有好的结果。因而，即使在复习冲刺阶段，在处理综合性试题时，也要不断联系基础知识进行训练。在学习过程中，要不断总结规律，要学会研究知识的发生，发展延伸的过程，注意知识间的联系。对知识要进行分类，整理，综合加工从而形成一个有序的知识体系，例如：①求数列前项之和时，通常会用到的方法有：错位相减法，裂项相加法，倒序求和法，分解法，导数法以及数学归纳法等。同时对数列求和可能出现的形式进行分类，会出现 通项是整式，分式，分段数列，群数列以及三角数列的数列求和形式。对于不同类型的求和方法进行总结归类。从而形成一个完整的知识体系。②由递归数列去求数列通项，老师应该将常见的几种递归数列列举出来，在通常情况它们均可通过适当变形，化归转化为型数列。如果给出递归数列且给出通项公式，而要进行论证时，还可以使用数学归纳法。递归数列在近几年高考中时常作为压轴题出现。在复习时需系统且全面。③不等式的证明方法有许多，如比较法，公式法，放缩法，构造法，数学归纳法，它们出现的形式是分析法或综合法。而新增内容中导数作为工具去证明不等式有时会更简便的解决途径。④增加新的知识点——向量作为一种数学工具的功能极强，向量可以证明三角函数中许多定理如正弦定理、余弦定理，向量可以证明平面几何中许多几何命题，向量还可以与立体几何相结合去研究空间的距离和角。向量也可以与解析几何相结合。向量还可以和函数相结合去证明一些重要的不等式。当然向量在物理学中和今后的数学学习中提供更加有力的工具。因此要总结向量的全面应用功能，增强对向量更全面的了解和认识。由于教学上某种疏忽和轻视，造成了学生知识的空向和技能的缺陷。如2004年湖北卷理科（16）题中出现距离对时间的变化率，由于对这一概念缺乏理解和认识，直接影响到学生对该题的作答。
3、抓主干知识，重视知识结构，加强知识网之间的联系
近几年高考数学试题的命制，强化了“从学科整体高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题”，高考改革的宗旨是加强能力和素质的考查，反映在试题中单一考查某一个知识的题已很少，解答这些试题需要多个知识点的综合应用。
例如1999年高考试题（21）题：已知函数图像是向原点出发的一条拆线，当时，该图像是斜率为的线段（其中正常数），设数列由定义。
（1）求和表达式
（2）求表达式，且给出其定义域
（3）证明：图像与的图像没有横坐标大于1的交点
本试题将函数，数列，不等式，解析几何，集合运算以及数列极限等诸多知识有机联系在一起，主要考查考生归纳，推理，认识新知识与综合处理的能力。像这样的综合面广的试题，还不少见，像2003年江苏卷的数列试题，2004年浙江卷（22）题湖南卷理（22）题以及2004年上海卷中（22）题均涉及到数列和解析几何多方面的综合。而2004年湖南卷文（21）题是解析几何与导数的完善结合的应用。2005年浙江卷（22）是导数、数列、抛物线及数学归纳的结合，2004年湖北卷理（22）、重庆卷理（22）题及2005年全国（河南）卷（22）题、天津卷、重庆卷、福建卷、湖南卷、湖北卷、江西卷、山东卷、江苏卷、辽宁卷涉及到递归数列与不等式的解或证明相结合，通过统计对比发现，许多高考综合试题中均出现多个知识点的综合，而且主要以主干知识来进行命题，因此在教学和复习中，重视主干知识的学习。抓住基础注意各部分知识在各自发展过程中的纵向深入与联系，同时注重部各部分知识之间的横向联系和沟通，理清脉络，突出重点和主干，构建知识网络。
4、摆脱题海战术，提高解题速度和解题的正确率
《考试大纲》中对知识的要求分为三个层次，依次是了解、理解和掌握、灵活和综合运用。且高一级的层次要求包含低一级层次的要求。其中灵活和综合运用就是要求系统掌握知识的内在联系，能运用所列知识分析和解决较为复杂和综合性的问题。要达到第三个层次的要求，那么复习阶段老师需引导和帮助学生不断总结解题规律以提高学生的自身素养。尚需从以下几个方面加以引导。
（1）在复习中强调一题多解
如2004年湖北卷理科（19）题中求向量内积的值最大值？本题即可直接进行向量运算，也可建立直角坐标系转化为坐标运算，利用函数或重要不等式去求值亦行。由此可知，利用不同的方法，可培养学生思维的发散性和广阔性。2005年湖北卷（18）的解三角形题及（21）题的解析几何也均可以多角度的去思考。有意识地加强“一题多解”的训练，可逐步培养学生多层面，多角度的分析问题与解决问题的能力。使解题方法不断优化。
（2）在复习中需对同一问题从不同侧面加以分析，要用联系和发展观点认识
武汉大学数学系教授余家荣曾给他的研究生讲授课时，提出一个数学命题在得到解决后，不断变更条件（加强或削弱条件），问命题是否仍然成立呢？再者就是使条件不变而使结论加强或削弱，命题是否仍然成立？一个原命题成立，其逆命题，否命题是否又是成立呢？总之通过一个题的变式使学生对知识的理解和认识十分全面。他的授课风格十分灵活，深受学生的喜爱，教学效果非常好。这种课就是研究型、探索型的示范课。因此我们在复习时需要用联系和发展的观点去认识和处理相关知识，这样我们则会系统掌握知识的内在联系，从而在处理和解决问题时更为灵活。
用联系和发展的观点去分析和认识问题，可以抓住事物本质，从而全面提高处理和认识问题的能力。
如：已知恒成立，则关于对称，联系可变为：①恒成立，则关于对称；②恒成立，则关于点对称；③恒成立，则关于中心对称。
而且函数的对称性可导致函数的周期性，如2001年高考最后一题：是偶函数且关于对称，证明：是周期函数亦可利用联系和发展观点得到一些相应的结论。
①有两对称轴
则是周期函数且
②有两个对称中心
，则是周期函数且
③有一个对称轴，又有一个对称点，则亦是周期函数，
理由：，
结合：含，则，故。
因此多加强知识面的联系，使知识形成网络体系，不仅利于掌握知识，更利于利用它去处理一些实际问题。如广东卷（19）
设函数，且在闭区间[0，7]上，只有
（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.
5、有意识地提高运算能力，增强自信心
在高考命题时一再强调“多思考一点，少写一点”，但丝毫没有削弱对运算、能力的考查，事实上强调以逻辑思维能力为核心，通过逻辑思维指导计算。运算能力是思维能力与运算技巧能相结合，它不仅包括数的运算，还包括式的运算，对考生运算能力的考查主要是以含字母的式的运算为主，同时要兼顾对算理和逻辑推理的考查。每年由于运算能力差而导致失分的现象是触目惊心的。在考试中思维到位了，但由于计算水平不高，而导致不能成功解题的大有人在。
在2005年高考湖北卷理（18）题的处理过程涉及到较为复杂的计算和思考过程。因此，要提高运算能力需从以下几个方面引起重视：
（1）要牢固掌握最基本的数学概念、公式、定理、法则，要将其讲透讲清楚，比如说在运用等比数列求和公式时，却忽视了时的情形。
（2）要引导学生牢固地掌握一些最基本方法，在解决某些规律性较强的问题时，形成一定的思维定势。
比如说：构造法、数学归纳法等。在对数列求和时，要联想到错位相减法、裂项法、倒序求和法以及分解法。同时对通项是整式、分式、分段形式、群数列等一些常见类型的数列求和，对它们求和方法进行总结归类。在处理问题时做到心中有数，有的放矢。
（3）要培养学生的心算能力与估算水平，以提高他们的应试水平。
在平时的训练中，要加强对学生的心算能力培养。只有心算能力得到提高，才能使计算的速度更快，计算的结果正确率就高。在计算时，要求学生养成沉着冷静，轻松放开的心态，养成边计算边检验的习惯。只有平时的计算准确率越高，学生才会对自己充满自信，才能以正常心态来面对紧张的考试，从而取得优异成绩。
6、重视对中学数学中基本方法和基本思想的学习
《考试大纲》强调：数学思想和方法数学是知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识的发生、发展和应用的过程中，因此对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过对数学知识的考查反映考生对数学思想和方法的理解和掌握的程度。在数学基本思想和方法指导下，解题方向将会更明确，思维层次会更高，解题更快捷。是否掌握常用的数学思想方法是衡量一个学生是否具有较高的教学素质和解题能力的重要标志。如果，该数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识。高考试题一直重视对数形结相结合思想、函数与方程思想，分类讨论思想化归与转化思想的考查。解决数学问题需要将数学对象以多种形式（如数学的，符号的，式子的，图形或图像形式）来表示，然后联系大脑中已储存的数学信息，进行观察，分析，综合比较。将求值范围等问题用函数或方程方法来处理。将抽象的问题利用数形结合解决，将复杂的问题利用化归与转化思想等价变换为简单问题。有时一步解决不了的问题还需通过分类讨论去简化。总之，利用数学思想来武装自己，可以启迪思维，开拓思路。在复习备考中，要把数学思想方法渗透到每一章、每一节、每一课、每一套试题中去，任何一精心编拟的数学试题，均蕴涵了极其丰富的数学思想方法，如果注意渗透适时讲解、反复强调，学生会深入于心,形成良好的思维品格，考试时才会思如泉涌、驾轻就熟，数学思想方法贯穿于整个高中数学的始终，因此在进入高三复习时就需不断利用这些思想方法去处理实际问题，而并非只在高三复习将结束时去讲一两个专题了事。
7、不断发展数学能力，培养数学意识，提高利用数学知识去处理实际问题的自觉性。
（1）千方百计提高理性思维能力
数学能力尤其是理性思维能力可以在形成数学知识和解答数学问题的过程中自发地形成和发展。但是这个过程是无序缓慢的。如果能自觉地加以培养，那么就可以大大地加快其发展。数学能力的培养和发展以数学知识为载体，而发挥数学能力的指导作用又能加速解决数学问题的进程。这是一个“知识——能力——知识——能力”的良性循环。要想在高考中取得较好的成绩，没有能力的提升是难以实现的。因此学生在学习中更要克服重视结果而轻视过程的倾向，应重视解题过程，不断总结解题规律，不断优化解题过程，从而优化解题思路，提高理性思维层次。逻辑思维能力在解题中表现在以下三个方面：①能正确领会题意，明确解题目标；②寻找实现解题目标的方向和合适的解题步骤；③能通过合乎逻辑的推理和计算，正确表述解题过程。对逻辑思维能力的考查是高考的一项主要任务。提高逻辑思维需注意如下几点：
①应弱化概念的记忆和背诵，强化对概念的理解和应用（比如“反函数”的概念）
②弱化公式的直接代入与套用，强化公式的变形与活用（如其中）
③弱化对定理的机械搬用，强化对定理条件的把握
④关注生活和时事，提高处理实际应用数学问题的能力
高考试卷中应用题，贴近课本、贴近生活，密切联系生活实际，有强烈的时代气息。考查应用数学的意识建立数学模型的能力。数学应用题在高考复习阶段是考生着力注意的地方，在高考中应用题一般不易得分。原因有如下几个方面：（1）阅读信息量大，一些名词和术语不为学生所理解。比如99年“轧辊减薄率”“疵点问题”以及99年保送生考题“鱼塘鱼群空闲率”。（2）应用题的背景均比较新，将实际问题或情境“翻译”成用数学语言表达的数学问题。学生阅读理解意转化数学问题均需费一番周折。（3）应用题涉及的知识点多。建立数学模型有难度，要善于借助数学知识去处理转化后的数学问题，这也是学生的灵活处理问题能力的体现。如2001年选择题12题单位时间传递的最大信息量，许多同学不知道选择所学的什么知识来解决。2002年文科（22）题中折纸问题，是利用什么方法思考。要提高学生的建模能力，要从以下几个方面和努力；①认真对待教材中出现的每一道应用题。充分发挥课本应用题的示范作用；②要从数学在各科中的利用中挖掘题源；③要关心生活、关心时事，要养成生活、生产实际中“用数学”的习惯。时时要有数学思想和意识与思考一些日常生活中人们关心的问题。比如环境污染问题，泥石流问题，森林采伐和维护问题，贷款购房问题，产品降低或提价问题。信息量问题以及上网。如何合理利用材料问题，市场供求关系问题，高低产业与生态建设问题等等这一些均是关注问题。④积极参加“研究性学习”。研究性学习是“高中课程改革试验”中一项重要内容。“研究性学习”突出了强调通过研究实际问题而获取数学知识，应用知识的重要性。数学源于实践，最终服务于实践之中，只有这样，所学的数学知识才真正融合于实践之中，才能认识到数学的价值。加强数学知识的应用也为我们在高考中获取高分打下坚实基础。
8、狠抓自己的薄弱环节，突破弱点
（1）了解知识的弱点，从知识的内涵（本质属性）、外延（使用范围）和发生、发展过程中提高认识水平。比如不等式的性质是考生的共同薄弱环节，许多同学不懂每条性质的使用条件，乱用误用，造成解题失败。
（2）了解方法上的弱点，从联系、对比和一题多解中，提高运用数学思想方法和代数推理方法解题能力。
在证明不等式的问题中，有许多的证明方法，在复习中，需细心体会各种证明方法的优点缺点及表达的规范格式、归纳各个例题、习题所提供的模式，再通过对近年高考解答题的演练、分析、对比、总结得失，逐步形成临场根据题目条件，优选证法的意识和能力。使之更容易在考试中得分。
（3）了解思维弱点。从变换视角，逆向思维和求异思维中，提高思维的灵活性、创造性。
随着高考对思维能力考查加强，分析思维，逆向思维和求异思维的地位更为重要，尤其是证明不等式，不能总想用综合法，应主动转换思维角度，从欲证不等式出发，不妨考虑运用分析法，或从结论的反面出发，运用反证法，或化抽象为具体，通过取特值，运用归纳法、递推法或数学归纳法等。解含参数的不等式，应分情况讨论，化整为零，各个击破，求已知不等式中参数范围，常常要逆向思维化为新的不等式（组）求解。有时，还需运用对比联想等思维方式，恰当运用函数与方程思想，换元思想去寻找解题突破口。
9、培养创新思维意识，改革教学方式和学习方式，提升应试水平
教师需不断加强专业知识的学习，不断提高理论水平，对中学教学研究不应仅停留在现有的应试水平上。现在一些教师课堂教学观念陈旧教学方法单一。中学数学的课堂教学，基本上还是采用教师讲，学生听的单一教学模式，其特点是机械记忆和反复模仿。这种培养模式只能培养应试的低层次能力，只会照搬模型，遇到新问题，新情景就束手无策（如99年高考应用题）。这种培养模式抑制了学生的创造力，影响了学习能力的进一步发展。熟能生巧只能处理已有的现在问题，但对新的问题处理不利，在教学中，应提倡“问题解决模式”和“研究性学习”，让学生亲身经历数学问题的发现过程和解决方法的探索过程，教师适时的启发，点拨，从而提高学生的悟性——创新意识。
10、重视对学生学习数学自信心的建立和培养，让学生学会克服困难的习惯，培养迎难而上的党作风，在学习的同时，学会考试，总结备考的经验。
四、对高考命题工作的思考和建议
1、积极支持课改，深入挖掘教材
今年的高考数学试卷（湖北卷）在整体结构和2004年湖北卷基本一致，突出了对基础知识的考查，强调了数学主干知识的考查。在突出新增加知识考查的同时，还强调了其应用功能的考查。湖北卷充分体现了教材改革的特点，将新增加内容和传统教材中的内容有机结合，其中新增加内容有很大的比例，且高于其在课时中所占比例，这就要求广大教师尽快适应新形势下的教学模式，尽快熟悉和钻研新教材，探索新的教学方法。
2、强调知识，强化数学思想，注重实践应用能力
整份试卷在突出对知识考查同时，还引导中学强化数学思想方法数学以及实践应用能力的培养。在中学教学课堂教学中
意识地进行数学思想方法的教学，对推动数学教学研究，提高教师素养，培养学生的创新意识，促进数学知识的应用，均有着十分积极的意义。只有将数学知识与思想方法并重，使知识与思想方法相互促时，才能使我们学生更深刻地理解数学和把握数学，从而更好地运用数学知识与方法去解决有关问题。
3、考试难度过大 ，尤其是文科试题过难，不利于中学教
今年的湖北试题在注重对能力考查同时，亦注意到试卷的创新，但其难度与2003年全国卷（传统卷）及新课程卷（天津卷）相当，而且理科试卷难度稍易，文科试卷难度稍偏难。教师不易于掌握其试卷特点，不于利教学工作中做出正确合理的安排，同时对学生 的学习数学自信心是一个打击。
4、命题还是要充分考虑文理科的差异性，重点知识的考查要兼顾周全
近几年高考命题全国卷不断探索文科试卷的考试要求，文科试卷难度得到合理控制。在能力考查中充分考虑到文理科考生的实际情况，体现层次差别，有利于文科数学教学，也有利于文科考生的选拔。而今年湖北省份文理两科考题区别不是太大。文理科的试题在设制上有差异，但尚未体现充分，命题者还需认真考虑到文科的层次。 文理科试卷的相同题太多，理科中的第1、2、4、5、6、7、11、13、16、17、22、题，共11个试题出现在文科试题中，这无形中增加了文科试题的难度，不大适合文科学生的特点，也许还应减少相同题的个数，再降文科试题的难度。这样无疑增加了文科考试的难度，对文科学生学习数学知识积极性造成一定程度的伤害。需要决策者及命题人员认真权衡其利弊。
5、进一步注重思想方法，灵活考查理性思维，合理地控制运算量
湖北省在数学试题命制上有许多新的创新尝试，将概率运用到立体几何中去命题，将概率与统计、线性规刬等新增知识运用到日常生活中去。既强调其应用，又有现实意义。而且合理地控制了其试题难度，有较好的导向性。全卷整体运算量过大，中等水平的考生一般很难在2小时内完成全卷，很多考生对于理科21题（文科22题）会做但没时间做。
高考数学《考试大纲》提出“以能力立意命题”。正是为了更好地考查数学思想方法，促进学生理性思维的发展。因此要加强“如何更好地考查数学思想”研究。命题时尽可能宽角度地考查考生的思维方法，使学生做题时入口更宽且其中一部分深入有一定难度。力求做到不同题型不同内容试题的构思均有利于不同层面对理性思维能力的考查。
6、严格以《考试大纲》为依据，按大纲要求来进行命题，有利于中学数学教学
文科第12题中的“系统抽样”不属文科考生的考查范畴。理科第22题的取整函数对许多学生来说，有超纲之嫌，且背景是不公平的。力争试题有较好的区分度，能区别不同思维层次的学生，但命题时在材料的选取以及背景的选取应尽量回避资料，以更新面貌出现，做到对每一位考生是公正和公平。
7、注重整套试卷的难度合理安排与布局，不要给学生造成太大的心理负担
整套试卷的难度分布显得头重脚轻，前面选择中部分试题难度过大，而后面压轴试题的终极难度又没有上去。在整体结构对上难度的分布还应该是循序渐进，否则会给学生造成很多心理负担，不利于选拔合格人材。
8、新增加的内容挖掘太深
2005年湖北试题闫新增加的内容的考查力度比2004年以及2005年的许多省市的命题高，与向量相关的试题有13 ，17，18 ,20,21共52分；与导数相关的试题有6,8，9，17共27分；与概率统计相关的试题有11,12,19共22分概率与统计部分的考查
1、 古典概型（等可能性概型）的概率计算
这类型试题主要考查学生运用加法原理，乘法原理以及排列组合数公式解决实际问题。
例1、 2004年河南Ⅱ卷文（20）：从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验，每位女同学通过测验的概率均为，每位男同学能通过测验的概率均为，试求：
（1） 选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率
（2） 10位同学中女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率
例2、 2004年Ⅲ卷文科（吉）理科：已知8支球队中有3支弱队，以抽鉴方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支，
求（1）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率。
（2）A组中至少有两支弱子队的概率
例3、 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生人数
（1） 求的分布列
（2） 求的数学期望
（3） 求“所选3人中女生人数”的概率
例4、（2000年天津（17））
甲乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同题目，其中选择题6个，判断题4个，甲乙两 人依次各抽题
（1） 甲抽到选择题、乙抽到叛断题的概率是多少？
（2） 甲乙二人至少有一人抽到选择题的概率是多少？
2、 互斥事件有一发生的概率
高考对这一知识的考查常以解答题形式出现，且与相互独立事件同时发生的概率计算问题综合起来进行考查，求解这类问题的一般思想方法是，先分析出所述事件能否分解为彼此互斥的一些简单事件的和，如果能的话，可先求出这些简单事件的概率，然后再利用概率的加法公式求出所求事件的概率。
例 某产品检验员在检验某一种产品时，将正品错误地鉴定为次品的概率为0.1，将次品错误地鉴定为正品的概率为0.2，如果要鉴定的4件产品中有3件正品，1件是次品，试求检验员鉴定出正品与次品各有2件的概率。
A1事件记为：将1件次品鉴定为次品，1件正品鉴定为次品
A2事件记为：将一次鉴定为正品，3件正品中2件鉴定为次品
3、 相互独立事件同时为生的概率
高考对这一知识点的考查是以解答题的形式出现，且与互斥事件有一发生的概率计算问题综合起来进行考查。
例1、 2004年湖南卷（18）
甲乙丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工零件不是一等品的概率是，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率是，甲丙机床加工零件都是一等品的概率是。
（1） 求甲乙丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
（2） 从甲乙丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率。
例1、 2001年（18）如图1，用A、B、C三类不同的元件连接两个系统，当元件A、B、C均为正常工作时系统正常工作，当元件A正常工作，B、C至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知A、B、C正常工作的概率，依次是，，。分别求系统正常工作的概率
例2、 2003年（文）20
有三种产品，合格率分别是和，各抽取一件进行检验
（1） 求恰有一件不合格的概率
（2） 求至少有两件不合格的概率
例4 2005年(3)卷 17（本小题满分12分）
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为多少；
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率
4、 独立重复试验的概率
此常与互斥事件有一发生的概率和独立事件同时发生的概率综合起来进行考查
例1：2004年江苏卷（9）：
将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现6点向上的概率是（ ）
例2：2002年（文、理）（19）题
某单位6个员工借助互联网开发工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）
（1） 求至少3人同时上网的概率；
（2） 至少几人同时上网的概率小于0.3？
例3 ：2005年国家(2)卷19．（本小题满分12分）
1、 乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令为本场比赛的局数,求的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）
例4 ：2005年江苏卷19．（本小题满分12分）
甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.
（Ⅰ）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
（Ⅱ）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
（Ⅲ）假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
5、 离散型随机变量的概率分布，数学期望和方差
高考理科对此部分的考查常以填空和解答题形式出现，其试题背景通常取向生产，生活中实际问题，要求考生从实际问题的情境中分析抽象出概率模型，然后运用这个模型和相关的排列组合知识去求解问题
例1：2000年（天津卷）（13）
某厂生不电子元件，其产品的次品率是5％，现从一批中任意地连续抽出2件，其中次品数的概率分布是
例2：2001年（14）理科
一个袋子里有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，其中含红球个数的数学期望是
例3：2003年（20））理
A，B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是，，，B队队员是，，，按以往各次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
A队队员胜的概率 A队队员负的概率
对
对
对
现按表中对阵方式出现，每场胜队得1分，负队得0分，设A队B队最后所得总分分别为。
（1）求的概率分布；（2）求
例4：2004年福建卷（18）
甲乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的几道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格
（1） 求甲答对试题数的概率分布及数学期望
（2） 求甲乙两至少有一人考试合格的概率
18.本小题主要考查概率统计的基础知识，运用数学知识解决问题的能力.满分12分.
解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：
P(B)===.
ξ 0 1 2 3
P
甲答对试题数ξ的数学期望
Eξ=0×+1×+2×+3×=.
（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则
P(A)===，
因为事件A、B相互独立，
方法一：
∴甲、乙两人考试均不合格的概率为
P()=P()P()=1－)(1－)=.
∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P=1－P()=1－=.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.
方法二：
∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为
P=P(A·)+P(·B)+P(A·B)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)
=×+×+×=.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.
例5： 2005年国家(1)卷 20（本小题满分12分）
9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用表示补种费用，写出的分布列并求的数学期望.（精确到0.01）
例6： 2005年浙江卷 19（本小题满分12分）
19．袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．
(Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布率及数学期望E．
(Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．
例7： 2005年福建卷 18（本小题满分12分）
甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分.
（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；
例8： 2005年湖北卷 19（本小题满分12分）
某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列和的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率.
例9 2004年湖南卷理科18．（本小题满分12分）
某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.
（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；
（Ⅱ）记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞上单调递增”为事件A，求事件A的概率.
6、 概率统计知识在实际生产、生活中应用
例1 2004年湖北卷理科21．（本小题满分12分）
某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成
400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施
所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9
和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防
方案使总费用最少.
（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）
解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；
②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为
1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）
③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；
④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.
综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.2004年全国及各地区数学试卷中知识点
的分布情况及其说明
1、函数与导数
2、三角函数
3、不等式
4、数列
5、立体几何
6、向量与解析几何
7、概率与统计
1、函数及导数在各类理科试卷中分布情况及说明
课题类型 主要考查内容 题号 分值 所占比例
全国卷Ⅰ河南等 1、函数的奇偶性2、求函数的反函数3、集合运算4、利用导数求单调区间 （2）（4）（6）（18） 55512 18%
全国卷Ⅱ吉、黑、云、贵、川 1、集合运算2、函数极限3、函数的对称性4、利用导数求最大值 （1）（2）（6）（22） 55514 19.3%
全国卷Ⅲ广西等（旧课程） 1、集合运算2、求函数的定义域3、分段函数的图像4、求反函数的值5、解含对数和绝对值符号方程 （1）（5）（11）（15）（18） 555412 20.7%
全国卷Ⅳ甘肃等 1、集合运算2、求反函数3、抽象函数求值4、利用导数求最值5、对函数求导数 （1）（2）（12）（18）（22）Ⅰ 555126 22%
湖北卷 1、求抽象函数解析式2、求函数单调性3、求函数极值4、利用导数求函数变化率 （3）（7）（9）（16） 5554 12.7%
湖南卷 1、反函数性质的应用2、分段函数的性质3、集合运算4、函数奇偶性应用5、利用导数求单调区间和最值 （3）（6）（9）（12）（20） 555512 21.3%
江苏卷 1、集合运算2、对数函数图像及性质3、利用导数求最值4、反函数性质5、函数与集合运算6、函数与不等式 （1）（8）（10）（11）（12）（22）Ⅰ 555555 20%
浙江卷 1、集合运算2、导数与函数图像3、函数与方程4、利用导数求切线方程及最值 （1）（11）（12）（20） 55512 18%
课题类型 主要考查内容 题号 分值 所占比例
广东卷 1、集合运算2、函数的连续性3、求反函数4、利用导数求切线方程5、利用导数研究方程的根 （2）（3）（16）（19）（21） 5541212 25.3%
福建卷 1、求函数的定义域2、函数及反函数图像关系3、函数对称性应用4、函数连续性应用5、利用导数求单调性 （3）（7）（11）（14）（21） 5551212 22%
辽宁卷 1、求函数极限2、函数应用题3、求函数最值4、求导数、反函数以及解函数不等式 （14）（20）（21）（22） 4121412 28%
天津卷 1、对数函数在闭区间上最值求法2、求反函数3、求二次函数中参数范围4、利用导数方程求函数极值及切线方程 （5）（11）（14）（20） 55412 17.3%
重庆卷 1、求函数定义域2、二次方程根的分布3、求曲线上某点切线方程及其夹角4、求三次函数极值点与解不等式 （1）（7）（14）（20） 55412 17.3%
北京卷 1、求集合运算2、二次函数求参数范围3、函数性质4、指数方程求解5、求函数最大值6、函数与数列综合题7、含绝对值的函数应用 （1）（5）（8）（10）（13）（18）（19） 555551412 34%
上海卷 1、集合运算2、函数图像与不等式3、含绝对值函数的单调性4、求函数解析式5、研究函数定义域间关系6、二次函数与反比例函数的综合应用 （3）（5）（10）（15）（19）（20） 44441414 29.3%
说明：
1、函数在高考试卷中所占比例：函数在国家考试中心命制的四套试卷中比例稳定在20%左右，而其他省市试卷中基本上也是以20%的比例进行命题，湖北卷理科试题中函数所占比例相对较少只有12.7%，而上海卷、北京卷、广东卷、辽宁卷均超过25%，其中北京卷达到最高比例34%，上海卷也达到29.3%。
2、对函数知识的考查面比较宽：许多省市对函数的考查较为全面，如基础知识点中集合运算。利用基本性质解题涉及到求函数的定义域、值域、函数值、反函数、函数解析式。同时亦有关于函数去处理方程中有关应用题。而且还有借助导数作为工具去研究函数的单调性，求极值，最值以及求曲线上某点处的切线方程来命题。对综合性和灵活性要求更强的就是将函数与数列，函数与不等式相结合来命制压轴题。
3、对函数的考查既检验考生对知识的掌握又突出对能力的考查：几乎每一套试题中均有三至四道选择题或填空题，这主要强调对基础知识的考查。同时也至少出现一道解答题，有的省市试卷中出现两到三道解答题，如广东卷、北京卷、上海卷有两道解答题，而辽宁卷中出现三大题均与函数相关。解答题对理性思维能力以及运算能力均提出较高的要求。
4、复习建议：在对函数这一知识点复习时，既要重视基本概念和基本计算的复习巩固，同时还需进行综合训练。函数是学习其他知识的基础，同时又是一门重要工具。它对于三角函数学习，以及对于学习和研究数列，不等式均能提供必要的工具和指导。是命题者有兴趣命制优秀试题之处。因此习时须投入较大的工作量。
2、三角函数在各类理科试卷中分布情况及说明
课题类型 主要考查内容 题号 分值 所占比例
全国卷Ⅰ河南 1、三角函数图像2、三角函数性质 （9）（17） 512 11.3%
全国卷Ⅱ云、贵、川、吉、黑 1、三角函数图像2、三角函数单调性（导数）3、三角函数周期性4、解斜三角形 （5）（10）（11）（17） 55512 18%
全国卷Ⅲ广西等（旧课程） 1、求三角函数周期2、解斜三角形3、求三解函数最小值4、三角函数变换求值 （2）（10）（14）（17） 55412 17.3%
全国卷Ⅳ甘肃等 1、解斜三角形2、求三角函数最大值3、三角函数恒等变换求值 （11）（15）（17） 5412 14%
湖北卷 1、三角函数图像应用2、三角函数恒等变换求值 （12）（17） 412 10.7%
湖南卷 1、求三角函数最值2、三角函数恒等变换求值 （13）（17） 412 10.7%
江苏卷 1、求三角函数最小正周期2、三角函数恒等变换求值 （2）（17） 512 11.3%
浙江卷 1、简单三角不等式2、解斜三角形 （8）（17） 512 11.3%
广东卷 1、三角函数周期性与奇偶性2、求三角函数最小值3、三角函数比较大小4、三角函数与等比数列 （5）（9）（11）（17） 55512 18%
福建卷 1、三角函数求值2、三角函数应用3、三角函数恒等变换与向量 （2）（12）（17） 5512 14.7%
辽宁卷 1、简单三角不等式2、三角函数图像3、三角函数求值 （1）（11）（18） 5512 14.7%
天津卷 1、求正弦函数单调区间2、由三角函数性质求值3、三角函数恒等变换求值 （9）（12）（17） 5512 14.7%
重庆卷 1、三角函数求值2、三角恒等变换与求单调区间 （5）（17） 512 11.3%
北京卷 1、求三角函数周期2、利用三角函数求参数取值范围3、解斜三角形 （9）（12）（15） 5513 15.3%
上海卷 1、三角函数求值2、简单三角方程 （1）（14） 44 5.3%
说明：
1、三角函数在高考试卷中所占比例：通过观察各省市试题以及国家考试中心试题发现，绝大多数省市试题中三角函数所占分值比例在12%~14.5%之间，一般是一个或两个小题另外加一个解答题。而其中国家考试中心命制第Ⅱ、Ⅲ套试卷及广东试卷均有三道小题和一道解答题，比例占到18%。而湖北卷有一道选择题和一道解答题，比例为10.7%。分数所占比例适中。上海试题中只出现两个小题，分值只有8分，比例为5.3%，为所有试题中最低比例。
2、对三角函数考查内容涉及知识点较为稳定：三角函数的内容主要有三个部分，即三角函数的图象及性质，三角函数恒等变换以及求值，求解斜三角形。其中三角恒等变换内容比传统教材中的内容少一些，且考试要求也有所降低。在传统教材中，三角函数往往和复数相结合或交替出现在解答题中，而现在考试时三角函数作为主干知识总在解答题中出现。
3、对三角函数的考查在能力上要求不太高：三角函数在数学中主要是一门重要工具。考试中常常是两个选择题或者是一个选择题和一个填空题外加一个解答题，解答题多数在第（17）题位置，居于中档题，对能力要求不太高。2004年考试中绝大多数省市三角试题的解答题是三角恒等变换求值，少数省市的考题是研究三角函数性质或解斜三角形。但总的来说恒等变换对于考试是缺一不可的内容。
4、复习建议：重视基础知识学习，特别是一些基本公式的理解和记忆。现在考试中三角函数考试要求比传统教材中考试要求低一些。相反学生记忆公式和理解公式的能力仍然不乐观。三角作为数学必备工具，它对于函数、数列、不等式、复数、向量、立体几何以及解析几何的学习产生重要影响。因此三角公式和性质仍需记忆和使用。三角函数知识除独立考查外，还会和向量或数列等知识相结合出现在试题中。这也是三角考查的一大特点。
3、不等式在各类理科试卷中分布情况及说明
课题类型 主要考查内容 题号 分值 所占比例
全国卷Ⅰ河南等 1、利用不等式求最小值2、解含绝对值不等式3、解含参数的不等式（研究单调区间） （12）（13）（19） 5412 14%
全国卷Ⅱ云贵川等 1、解二次不等式2、证明不等式3、不等式组的应用 （1）（22）（14） 5144 15.3%
全国卷Ⅲ广西 1、解含绝对值不等式2、求分段函数中自变量范围3、不等式的应用4、数列不等式的证明 （8）（11）（19）（22）Ⅲ 55126 18.6%
全国卷Ⅳ甘肃 1、解分式、高次不等式2、不等式组的应用3、求函数最值时解不等式4、解析几何题中求解无理不等式 （5）（16）（18）（21） 541212 22%
湖北卷 1、不等式性质应用2、解含参二次不等式3、解不等式组（求k值范围）4、数列不等式求解 （5）（10）（20）Ⅰ（22）Ⅲ 5546 13.3%
湖南卷 1、基本不等式性质2、解抽象函数的不等式3、解含参不等式4、比较大小（数列不等式） （7）（12）（20）（22）Ⅲ 55126 18.7%
江苏卷 1、解二次不等式2、不等式组的应用3、证明不等式 （13）（19）（22） 41214 20%
浙江卷 1、不等式组的应用2、解分段式的不等式3、解不等式4、求取值范围 （5）（13）（20）Ⅱ（21）Ⅰ 5466 14%
广东卷 1、解二次和含绝对值不等式2、不等式组的应用3、证明不等式4、解和证明不等式 （2）（10）（19）Ⅰ（21） 55612 18.7%
福建卷 1、绝对值不等式性质2、不等式的应用题3、解不等式和求参数取值范围 （3）（16）（21） 5414 15.3%
课题类型 主要考查内容 题号 分值 所占比例
辽宁卷 1、由不等式的性质比较大小2、解含绝对值和参数的不等式3、解不等式，确定出范围4、解不等式和证明数列不等式5、求解不等式确定参数范围 （2）（18）Ⅰ（20）Ⅱ（21）（22） 5661412 28.7%
天津卷 1、解分式不等式2、解不等式确定参数范围 （2）（14） 54 6%
重庆卷 1、解分式不等式2、利用不等式证明根的存在情况及求参数取值范围3、利用不等式求最小值（第二问）4、数列不等式证明 （4）（20）（21）（22） 512414 23.3%
北京卷 1、不等式的性质2、解含绝对值的不等式3、证明不等式 （6）（19）Ⅱ（20） 5813 17.3%
上海卷 1、不等式应用题2、解分式及含参二次不等式3、求最小值 （18）（19）（22）Ⅱ 12148 22.7%
说明：
1、不等式在高考中所占比例：不等式在国家考试中心命制的四套试卷中比例跨度比较大，在14%~22%之间。其他省市试卷中对不等式的考查分值所占比例基本上是15%。而比例超过20%的省市有江苏卷、辽宁卷、重庆卷以及上海卷。其中辽宁卷的比例为最高28.7%，上海卷达到22.7%。湖北省试题比例为13.3%，而天津比例只有6%，是所有试卷中最低的比例。
2、对不等式考查的题型：各省市试题及国家考试中心试题中对不等式考查题型不太稳定，有的省份是两个小题和一个大题，有的是两个小题和两个大题。涉及的知识既有解不等式，也有证明不等式，还有以不等式作为工具去处理函数、数列、解析几何的综合题，有的地方还出现不等式应用题。
3、对能力的要求：对不等式的考查也分两个层次，如较低的要求有：解一些简单的不等式或不等式组，以及解含参数的不等式，有的还有利用不等式去求最值。而较高要求有：证明不等式，不等式的应用等以及利用不等式去处理函数和数列的综合问题等。总之，不等式对能力要求较高。许多不等式综合题是压轴题，是拉开距离的。如江苏试卷的最后一题证明题对能力的要求很高。
4、复习建议：重视对一次、二次、分式及高次不等式等不等式的解法，在此基础上还需强调对数指数不等式以及含绝对值不等式的求解，其中含参数的不等式要学会分类讨论。而证明不等式的常用方法有：比较法、公式法、放缩法、构造法、换元法、反证法、数学归纳法。还需学会以不等式为工具去处理数列及函数中综合题。总之，在学习和复习中不断总结解题规律和技巧，提升处理问题的能力。
4、数列在各类理科试卷中分布情况及说明
课题类型 主要考查内容 题号 分值 所占比例
全国卷Ⅰ河南 1、由递归数列求通项2、由两个递归数列求通项 （15）（22） 414 12%
全国卷Ⅱ云、贵、川、吉、黑 1、由递归数列进行数列不等式证明 （19） 12 8%
全国卷Ⅲ广西等（旧课程） 1、等差数列性质2、由递归数列求通项及数列不等式证明 （3）（22） 514 12.7%
全国卷Ⅳ甘肃等 1、等差数列的性质2、数列证明和求数列极限 （6）（22） 514 12.7%
湖北卷 1、数列性质2、数列求和3、递归数列求通项及数列不等式 （8）（13）（22） 5414 15.3%
湖南卷 1、求数列极限2、数列求和应用3、数列与解析几何4、数列与解析几何综合应用其中涉及不等式 （8）（11）（16）（22） 54414 18.7%
江苏卷 1、由数列前n项和Sn与通项an关系求首项a12、由递归数列求值 （15）（20） 512 10.7%
浙江卷 1、等差比数列性质2、数列与解析几何综合题 （3）（22） 514 12.7%
广东卷 1、求数列极限2、三角数列 （4）（17） 512 11.3%
福建卷 1、数列极限2、数列应用题 （9）（20） 512 11.3%
辽宁卷 1、数列求和与概率2、数列不等式的证明 （8）（21） 514 12.7%
天津卷 1、等差数列性质2、递归数列求通项和求极限 （8）（21） 512 11.3%
重庆卷 1、等差数列性质2、数列求和3、由递归数列证明数列不等式 （9）（15）（22） 5414 15.3%
北京卷 1、数列性质2、函数与数列综合题3、数列与不等式 （14）（18）（20） 51413 21.3%
上海卷 1、求数列极限2、数列性质3、数列与解析几何综合题 （4）（12）（22） 4418 17.3%
说明：
1、数列在高考试卷中所占比例：数列这一知识点在国家考试中心命制试题中所点比例基本上是稳定在12%，其他省市试卷中所占比例也在12%左右变化。在新课程卷考试中，湖南卷所占比例最高达到18.7%，湖北卷和重庆卷紧随其后，比例为15.3%。非新课程卷的北京卷及上海卷比例稍高一点。
2、对数列的考查的题型稳定；数列在考试中出现多为一或两个的小题，有的有三个小题，另外加一个解答题。其中小题多多数涉及到等差或等比数列的基本性质，数列求和或数列通项的求法。有时还会涉及到求数列极限。而解答题中许多题涉及到递归数列求通项及研究其他性质。
3、对数列的考查在能力上要求比较高：尽数列在高考中所占比例只有12%左右，但每一份试卷中至少有一道解答题，而且分值多数为14分，而且数列往往和不等式，函数或解析几何相结合而出现。多数作为压轴题，是能拉开学生分数的试题，对学生的思维能力以及运算能力要求均要求很高。而且数列知识作为理科学生升入大学进行后继性学习的重要工具，是命题者产生优秀试题的源地。
4、复习建议：重要对等差数列及等比数列的性质的复习和记忆。以等差数列求和公式为基础，学会对通项公式是整式形式，分式形式，分段形式或三角形式的数列用倒序相加法，裂项法等方法求和。结合迭代法和叠加法对给出的递归数的递推式进行适当的变形去求通项，而且有些试题中递归数列是由解析几何式函数形式给出的，尚需正确求出递归式。总之数列的考查对能力要求比较高，注意总结解题规律。
5、立体几何在各类理科试卷中分布情况及分析说明
课题类型 主要考查内容 题号 分值 所占比例
全国卷Ⅰ河南 1、多面体表面积求法2、异面直线的性质3、因棱锥中求点面距离及二面角 （10）（16）（20） 5412 14%
全国卷Ⅱ云、贵、川、吉、黑 1、球和三棱锥结合体中点到面距离2、四棱柱的性质3、直三棱柱中求证线面垂直及求二面角 （7）（16）（20） 5412 14%
全国卷Ⅲ广西等（旧课程） 1、求正三棱锥体积2、球表面积的求法3、在三棱锥中求线线角和线面角 （9）（13）（20） 5412 14%
全国卷Ⅳ甘肃等 1、线面关系判断2、球中求点到面距离3、四棱锥中求体积及证明线线垂直 （7）（10）（20） 5512 14.7%
湖北卷 1、线面关系判断2、正方体中求线面垂直关系以及求二面角 （11）（18） 512 11.3%
湖南卷 1、求折叠问题中线面角2、四棱锥中证明线面垂直，线面角以及存在性讨论与证明 （4）（19） 512 11.3%
江苏卷 1、球的体积的求法2、正方体中求线面角以及点到面之距离 （4）（18） 512 11.3%
浙江卷 1、正三棱柱求线面角2、求点到面距离3、多面体中证明面平行，二面角以及点到面距离 （10）（16）（19） 5412 14%
广东卷 1、割补法求体积2、三棱锥体积之比3、长方体中求二面角及异面角 （7）（15）（18） 5412 11.3%
福建卷 1、球体中求线面角2、三棱锥中证明线线垂直，求二面角以及求点到面距离 （10）（19） 512 11.3%
辽宁卷 1、线面关系判断2、求球的体积3、求线面夹角4、四棱锥中证明面面垂直和二面角 （3）（10）（15）（17） 55412 17.3%
天津卷 1、正方体中求异面角2、长方体求截面面积3、四棱锥中证明线面平行与垂直，以及求二面角 （6）（10）（19） 5512 14.7%
重庆卷 1、二面角内求线段之长2、三棱锥中求切点运动轨迹3、四棱锥中证明异面直线公垂线以及求线面角 （8）（12）（19） 5512 14.7%
课题类型 主要考查内容 题号 分值 所占比例
北京卷 1、线面关系判断2、正方体中求动点轨迹3、求球表面积4、正三棱柱中研究展开图及二面角大小 （3）（4）（11）（16） 55514 19.3%
上海卷 1、线面关系判断2、正三棱锥中证明一个四面体为正四面体，求二面角，研究存在性问题 （13）（21） 416 13.3%
说明：
1、立体几何在高考试题中所占比例：立体几何知识在高考的各份试卷中所占比重比较稳定，比例为14%。多数试卷中均是两个小题和一个解答题。新课程试卷中只有辽宁试卷多一个小题，三个小题附加一个解答题，比例为最高17.3%，传统试卷中北京试题的立体几何所占比重为19.3%，也是所有试卷中比例最高的。湖北卷是一个小题和一个解答题，比多数试卷少一个小题，比例为11.3%，和湖南卷、江苏卷、福建卷一致。
2、对立体几何考查内容涉及知识点比较广：各个省市和国家考试中心对立体几何试题命制不尽相同。有的研究多面体中点线面之间的位置关系，其中涉及到距离及角的求法。有的涉及到多面体或旋转体的表面积或体积的求法。其中解答题中求二面角及点到面的距离者偏多，许多省市为了支持课程改革，命制立体几何试题时兼顾A、B两种要求，也就是说既可以用传统综合法解决，也可利用向量结合建立空间坐标系来进行证明和求值。而国家考试中心的试题和其中一些省市试题中立体几何题只能用传统方法解决。
3、对立体几何的考查在能力上要求不太高：今年（2004）各省市试卷中立体几何题比2003年全国卷中立体几何考题在能力上要求有所降低。难度为中档难度，立体几何试题对于空间问题想象能力，识图、画图、图的分解与组合要求较高。如果能建立坐标系利用向量处理，那么公式的记忆，理解以及运算能力的要求亦比较高。
4、复习建议：对传统立体几何中性质，定理，知识，方法需掌握好。同时在复习阶段将向量知识渗透进立体几何中，以解析法来处理几何问题，作到双管齐下。A、B两种要求兼顾。这样一来就可以兵来将挡，水来土淹。灵活选取恰当方法解决问题。从而丰富知识，提升数学能力。为进入大学学习空间解析几何，画法几何以及工程制图等知识打下坚实基础。
6、向量及解析几何在各类理科试卷中分布情况及说明
课题类型 主要考查内容 题号 分值 所占比例
全国卷Ⅰ河南 1、在椭圆中求向量之长度2、直线与抛物线关系3、向量运算4、求点的轨迹方程5、直线与双曲线关系中求参数范围，同时涉及向量运算 （7）（8）（3）（14）（21） 555412 20.7%
全国卷Ⅱ云、贵、川、吉、黑 1、圆关于直线对称的圆方程2、点与直线位置关系判断3、向量运算性质4、线性规划5、求椭圆方程6、直线与抛物线关系，其中涉及向量运算 （4）（8）（9）（14）（15）（21） 5554412 23.7%
全国卷Ⅲ广西等（旧课程） 1、圆和抛物线关系2、求圆的切线方程3、求双曲线方程4、在抛物线上的点有关最值求解问题5、直线与椭圆的关系中求参数范围以及直线方程 （1）（4）（7）（16）（21） 555412 20.7%
全国卷Ⅳ甘肃等 1、求和定直线垂直的直线方程2、求椭圆方程3、向量运算4、简单线性规划5、直线和双曲线关系 （3）（8）（14）（16）（21） 554412 20%
湖北卷 1、向量运算2、椭圆中求点到线距离3、直线和抛物线关系4、向量与解析几何5、直线与双曲线关系 （4）（6）（1）（19）（20） 5551212 26%
湖南卷 1、双曲线中焦半径与第二定义2、区域关系3、向量运算4、椭圆中焦半径的运算5、直线与抛物线之间关系其中涉及到向量的证明 （2）（9）（13）（16）（21） 554412 20%
江苏卷 1、双曲线与抛物线关系2、直线所围区域面积求法3、直线与圆相切主要条件4、向量运算5、直线与椭圆的关系，其中涉及向量运算 （5）（11）（14）（16）（21） 554412 20%
浙江卷 1、圆中求点的坐标2、求抛物线关于直线对称的方程3、简单线性规划4、求椭圆的离心率5、向量运算6、求双曲线方程7、解析几何与数列综合题 （2）（4）（5）（9）（14）（21）（22） 555541214 33.3%
课题类型 主要考查内容 题号 分值 所占比例
广东卷 1、向量运算2、双曲线中焦准距计算3、简单线性规划4、直线与直线交点5、解析几何应用题6、直线与椭圆、双曲线之间关系 （1）（8）（10）（12）（20）（22） 55551214 30.7%
福建卷 1、求椭圆离心率2、向量运算3、求圆的弦长4、求向量运算5、直线与抛物线 （4）（8）（13）（17）（22） 5541212 24%
辽宁卷 1、由向量运算求点轨迹2、双曲线定义应用3、直线与圆相切4、直线与椭圆，其中涉及向量运算 （6）（9）（13）（19） 55412 17.3%
天津卷 1、向量运算2、求焦半径3、直线与圆4、直线与抛物线关系5、直线与椭圆关系，涉及到向量运算及证明 （3）（4）（7）（14）（22） 555414 22%
重庆卷 1、求点到直线距离2、向量运算3、求双曲线离心率e最大值4、直线与椭圆关系5、直线与抛物线 （3）（6）（10）（16）（21） 555412 20.7%
北京卷 1、求切点轨迹2、求直线与曲线有公共交点时参数范围3、直线与抛物线 （4）（12）（17） 5514 16%
上海卷 1、求抛物线焦点坐标2、向量运算3、极坐标系中点到直线距离4、求圆的方程5、“解析几何”本质6、椭圆中点列的计算与探索性问题研究 （2）（6）（7）（8）（11）（22） 444448 25.3%
说明：
1、向量及解析几何在高考试卷中所占比例：国家考试中心的四套试卷中向量及解析几何所占比例全部超过20%。各省市试卷中对向量与解析几何的考查也基本上稳定在20%。新课程卷中浙江试卷中比例为最高为33.3%，广东试卷中比例为30.7%，湖北卷中比例为26%。而辽宁卷中所占比例为最低，只有17.3%。
2、对向量及解析几何考查内容涉及的知识点多而广：向量一般只有一小题或在解答题中作为工具去处理解几题。而解析几何涉及的知识点既有直线与图象一些基础知识，同时亦考查到直线与圆锥曲线的综合知识应用。其中有些试题涉及到简单线性规划，有的用到导数去求曲线上某点的切线方程，这也是新课卷的新特点。试卷中一般有四至五小题和一道解答题，也有省市试卷中出现四个小题和两个解答题。而解答题中三种曲线椭圆，双曲线和抛物线在不同试卷中均出现过。
3、对向量及解析几何的考查在能力上的要求较高。向量和解析几何是数学中一门重要的工具。而且本身的知识点多，对理性思维的要求以及运算能力上的要求均比较高。解析几何试题中选择题和填空题一般来说还是比较基础，但也有些小题对平时总结解题规律提出较高的要求，对思维能力提出高要求，它们的解决需要设计合理的运算程序和方向。而解答题多数为压轴题。对数形相结合思想，分类讨论思想，函数与方程思想的要求均是必不可少的。在数学思想的指导下，设计的计算程序会更合理，解题方向会更明确，更易解决问题。
4、复习建议：重视基础知识的学习，对直线、圆、圆锥曲线的基本性质以及相互位置关系要了解和掌握。一些解析几何中公式要加记忆。将解析几何作为工具运用到解题中去解决函数、不等式、数列等方面问题。不要将解析几何和其他数学分支知识割裂开。要充分发挥解析几何和向量的工具功能。在数形相结合思想指导下，解析几何在数学中功能会不断强大起来。
7、概率与统计在各类试卷中分布情况及说明
课题类型 主要考查内容 题号 分值 所占比例
全国卷Ⅰ河南 1、求概率2、求离散型随机事件的概率分布及其期望 （11）（18） 512 11.3%
全国卷Ⅱ云、贵、川、吉、黑 1、求概率分布2、求概率 （13）（18） 412 10.7%
全国卷Ⅲ广西等（旧课程） 未考
全国卷Ⅳ甘肃等 1、求离散型随机变量的概率分布、数学期望 （19） 12 8%
湖北卷 1、概率分布计算2、数学期望应用 （13）（21） 412 10.7%
湖南卷 1、抽样的应用2、求概率、期望3、求概率应用 （5）（14）（18） 5412 14%
江苏卷 1、统计应用2、求概率 （6）（9） 55 6.7%
浙江卷 1、求概率分布列及随机变量期望 （18） 12 8%
广东卷 1、求概率2、求概率 （6）（13） 55 6.7%
福建卷 1、求概率2、求概率分布及数学期望 （15）（18） 412 10.7%
辽宁卷 1、概率分布应用2、求概率 （8）（16） 54 6%
天津卷 1、统计知识应用2、求概率分布及数学期望 （13）（18） 412 10.7%
重庆卷 1、求概率2、求概率分布及数学期望 （11）（18） 512 11.3%
北京卷 未考
上海卷 未考
说明：
1、概率与统计在高考试卷中所占比例：2004年的考试中，除北京卷、上海卷和全国卷Ⅲ未曾有概率与统计知识外，其他试卷均考查到概率与统计，但所占比例不多。多数省市试题比例为10%，其中一个小题和一个解答题。而湖南卷所占比例为最高14%，其中有两个小题和一个解答题。部分省市试卷只有一个解答题只有两个小题，其所占比例只在6%~8%之间。
2、对概率与统计知识的考查面不太宽：因为在中学中概率与统计知识本身不太难，但其应用要求比较高，考生将知识运用到实际问题中去进行合理计算有相当的难度。因此命题若过于复杂，那么对考生的理性思维要求太高。就会失去甄别学生能力的差异性功能，达不到考查目的。因此概率与统计试题多数集中在求离散型随机事件的概率或概率分布，由概率分布去求其期望或方差。或者考查抽样方法等。而正态分布和线性回归等知识涉及到计算器的使用。在考试中不好操作，因此考得少或没有考。
3、对概率与统计知识的考查既突出对知识的考查又突出对能力的考查：概率与统计知识在高二和高三年级学习中均涉及到。其中概念、原理、数学型以及计算公式均比较多。一些数学模型还比较抽象。在中学学习概率统计知识并不复杂，但若能灵活运用概率与统计知识去处理实际问题则对思维能力要求极高。对概率与统计的学习特点是入手容易，而深入难。总之概率与统计试题对分析和解决问题的能力以及计算能力要求都比较高。
4、复习建议：要认真阅读教材，认真搞清概率与统计知识点中的概念，数学原理以及一些重要数学模型。对教材中的每一个例题和习题进行认真学习和研究。学会用举一反三或迁移的方法，运用概率知识去求离散型随机变量的概率。不断总结规律，认真阅读和理解文字的叙述和表达，理论联系实际，树立必胜概念，那么学习“概率与统计”的效果会上更高的台阶。
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14关于“向量”这一知识点在高考中考查说明
向量在高考中出现主要是以工具形式出现，而功能体现得越来越充分。向量既有自身运算和性质的熟练程度的考查，更重要的是向量可以提示数量关系。通过数列相结合，使定性问题定量化，使一些较为复杂的思维问题变化为简单的计算问题。下面列举一些例子，说明一下高考中向量是以何种形式出现在考题中。
1、 强调对向量基本性质及基本运算的考核：对于这一部分知识多为选择题和填空题，而2004年湖北卷（19）题以解答题形式出现，而且充分与函数知识相结合来处理。湖北卷中(19)题在广大的考生中考查的结果不理想，原因这一是老师对这一部分新增内容重视程度不够，而且学生对向量运算性质掌握不够熟练。
1、2000年新课程卷：设是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①②
③不与垂直④中是真命题的有 ①②，②③，③④，②④
2、2001年新课程卷：若向量，，，则
，，，
3、2004年Ⅱ（河南、山东、山西、江西、安徽）⑶
3．已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|= （ ）
A． B． C．
4、2004年Ⅲ（云贵川、吉林、哈）⑼
9．已知平面上直线l的方向向量e=点O（0，0）和A（1，－2）在l上的射影分别是O′和A′，则e，其中= （ ）
A． B． C．2 D．－2
5、2004年Ⅳ（甘肃、宁夏）⒁
14．向量a、b满足（a－b）·（2a+b）=－4，且|a|=2，|b|=4，则a与b夹角的余弦值等于
.
6、2004年广东卷⑴
1．已知平面向量=（3，1），=（x，–3），且，则x= （ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
7、2004年江苏卷⒃
16．平面向量a，b中，已知a=(4，-3)，=1，且a·b=5，则向量b=__________.
8、2004年重庆卷⑹
6．若向量的夹角为，,则向量的模为 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
9、2004年天津卷⑶
3．若平面向量与向量的夹角是，且，则 （ ）
A． B． C． D．
10、2005天津卷(14)
14．在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且||=2,则=
11、2005江苏卷（18）
在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则的最小值是
12、2005浙江卷（10）
10．已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则
(A) ⊥ (B) ⊥(－) (C) ⊥(－) (D) (＋)⊥(－)
13、2004年湖北卷⒆
19．（本小题满分12分）
如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问
的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.
二、利用向量研究和探讨轨迹和轨迹方程
对于这一部分知识的考查亦多为选择题，有时亦出现为解答题
例1． 2002年新课程卷：
平面直角坐标系中，是坐标原点，己知两点，，若点满足其中是实数，且，则点的轨迹方程为( )
例2． 2003年新课程卷：
为平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点満 足，则点的轨迹一定通过三角形ABC的
外心 ，内心，垂心，重心
例3 辽宁2004年⑹
6．已知点、，动点，则点P的轨迹是
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
例4辽宁2004年⒆
19．（本小题满分12分）
设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，
点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最小值与最大值.
三、利用向量处理平面几何或三角中的问题
例1．2004年浙江卷⒁
14）已知平面上三点A、B、C满足 则AB· BC+BC·CA+CA·AB的值等于 .
例2．2004年湖南卷⒀
13．已知向量a=，向量b=，则|2a－b|的最大值是 .
例3．2005年湖南卷(15)
15．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m= .
例3．2004年福建卷⒄
17．（本小题满分12分）
设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx， sin2x)，x∈R.
（Ⅰ）若f(x)=1－且x∈[－，]，求x；
（Ⅱ）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|<)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值.
四、利用向量处理立体几何中夹角问题。如异面角、线面角以及面面所成的二面角。
此类问题在高考中出现多为解答题。既可以利用传统的方法来求解，亦可以通过建立恰当的直角坐标系，利用向量来处理。优点在于不需作复杂的辅助线或面，对空间的想象能力不太高。其中异面直线所成角只需找到两直线的方向向量，线面而转化求线与面的法向量的夹角，而两个平面的夹角转化为研究两个法向量的夹角。从今年的九个省市的命题来看，立体几何中图形多为直棱柱(三棱柱或四棱柱)或有一条侧棱垂直于底面的棱锥，因此在建立直角坐标时相对而言较为容易，而国家考试中心的试卷(河南卷)的几何图形不太规则，需要思考和计算这后，才能去建立坐标系，使用两种方法的思维量相当。
例1．2004年Ⅱ河南卷⒇
20．（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.
（I）求点P到平面ABCD的距离，
（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.
例2．2004年Ⅲ（吉、哈）⒇
20．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M.
（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；
（Ⅱ）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.
例3．2004年江苏卷
18．在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.
(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；
(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.
5、2004年广东卷⒅
18． 如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.
(1) 求二面角C—DE—C1的正切值;
(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.
6、2004年重庆卷⒆
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，
（1）明MF是异面直线AB与PC的公垂线；
（2）若,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值。
7、2004年天津卷⒆
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
（1）证明PA//平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C—PB—D的大小.
8、2004年辽宁卷⒄
17．（本小题满分12分）
已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，
点E为AB中点，点F为PD中点.
（1）证明平面PED⊥平面PAB；
（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值.
五、利用向量知识处理立体几何中距离问题
此类问题在高考中出现多为解答题。在解答过程中亦需建立恰当的空间直角坐标系，确定空间点的坐标，其中点面距离是最重要的，而异面直角线距离以及线面距离均可转化为点面距离，而求立面距离的关键点在于求平面的法向量，然后求向量在法向量上的射影即可。2003年高考试题涉及到此类问题，属难度较大试题
福建卷19．（本小题满分12分）
在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N—CM—B的大小；
（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.
1、 2004年浙江卷⒆
（19）（本题满分12分）
如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=，AF=1，M是线段EF的中点.
（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；
（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.
六、利用向量在立体几何中探索一些存在性问题
2、 2004年湖北卷⒅
18．（本小题满分12分）
如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱
CD上的动点.
（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；
（II）当D 1E⊥平面AB1F时，求二面角C1—EF—A的大小（结果用反三角函数值表示）.
3、 2004年湖南卷⒆
19．（本小题满分12分）
如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1.
（I）证明PA⊥平面ABCD；
（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.
20、国家(1)卷． 2005年（本小题满分12分）
已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面 ABCD，且PA=AD=DE=AB=1，M是PB的中点.
（1） 证明：面PAD⊥面PCD；
（2）
（2）求AC与PB所成的角；
（3）求面AMC与面BMC所成二面角的大小
.
21、2005年国家(1)卷(20) （本小题满分12分
如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点.
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB；
（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小.
关于立体几何中存在性问题，利用传统综合法而言，无论对思维能力的要求，还是空间想象能力的要求均很高，在考试中得分十分不易，而采用向量方式，则仅仅在计算上掌握一些必要的方法就行了。
七、向量作为工具来处理解析几何问题
此类问题多数为解答题，有时亦出现在选择题中，前几年的解析几何中出现向量时，多以形式为主，而本内容仍然是解析几何中最本质的东西，而从2004年开始无论是国家考试中心命题的试题，或是由几个独立命题的省市命题时，均出现了利用向量作为必不可缺少的工具来处理解析问题。向量无论从形式上，还是在其应用上，随课改的深入，已经充分融合在解析几何之中。
1、2000年新课程卷（天津卷）
2、2003年新课程卷（天津卷）
4、 2004年Ⅲ卷（吉林等）
21．（本小题满分12分）
给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点。
（Ⅰ）设l的斜率为1，求与的夹角的大小；
（Ⅱ）设，若λ∈[4,9]，求l在y轴上截距的变化范围
5、 2004年Ⅱ卷（河南）
21．（本小题满分12分）
设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.
（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：
（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.
5、2004年江苏卷（21）
21．已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数).
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若，求直线的斜率.
6、 2004年湖南卷（21）
21．（本小题满分12分）
如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.
（I）设点P分有向线段所成的比为，证明:；
（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.
7、2004年天津卷（22）
22．（本小题满分14分）
椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若，求直线PQ的方程；
（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明.
8、2004年广东卷（22）
22．(14分)设直线与椭圆相交于A、B两点，又与双曲线x2–y2=1相交于C、D两点， C、D三等分线段AB． 求直线的方程.
9、2005国家(1)卷(22)
已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值
10、2005国家(2)卷(21)
P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.
·
B1
P
A
C
D
A1
C1
D1
B
O
H
·
P
E
A
D
C
B2005年高考数学全国卷评析与思考
1、 总体评价
《2005年普通高等学校招生全国统一考试大纲》（数学）中明确指出：数学科考试按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想。教育部考试中心命制的[全国卷Ⅰ]、[全国卷Ⅱ] 、[全国卷Ⅲ]三套试卷文、理六份试题，正是按照上述原则和指导思想命制的。试题注意了数学学科的特点，突出了知识的基础性和综合性，以主干知识为主体，注意在知识网络交汇点设计试题，着力体现概念性、思辨性、量化的灵活性、解法的多样性及应用的广泛性，在数学思想方法及数学理性思维方面作了比较深入的考查。
试题“温和平缓”，既似曾相识，又推陈出新；既符合考生实际，又符合高考对选拔的要求，相比之下，[全国卷Ⅲ]比 [全国卷Ⅰ]、[全国卷Ⅱ] 两卷稍难，但没有使学生望而生畏的题目，新题不难，难题不怪，“纯净淡雅”，平易近人，既全面考查了基础知识，又突出了对重点内容的考查；既关注了考查数学的方法和技巧，又注重了对能力的考查和思维水平的提升，所有这些，对中学数学教学都具有很好的导向作用。
2、 试题特点
1、全面考查 重点突出
2005年教育部考试中心命制的三套试卷文、理共六份试题，涉及了高中数学的各个章节内容。理科[全国卷Ⅰ]第（6）、（16）、（22）题，[全国卷Ⅱ]第（3）、（9）、（17）、（22）题，[全国卷Ⅲ]第（8）、（9）、（13）、（22）等题，着重考查了函数与反函数的概念、函数的单调性、函数的最大值与最小值、函数的图象及其变换、导数的概念及其几何意义、不等式的性质与解法等重要知识。理科[全国卷Ⅰ]第（1）、（7）、（8）、（19）题，[全国卷Ⅱ]第（1）、（4）、（7）、（14）题，[全国卷Ⅲ]第（7）、（11）、（17）题，文科[全国卷Ⅰ]第（1）、（7）、（8）、（17）题，[全国卷Ⅱ]第（1）、（4）、（12）、（17）题，[全国卷Ⅲ]第（7）、（11）、（17）题，主要考查了三角函数及三角变换的基本知识；理科[全国卷Ⅰ]第（20）题，[全国卷Ⅱ]第（11）、（18）题，[全国卷Ⅲ]第（19）题，考查数列的通项与前n项和、等差数列和等比数列的性质。
每份试题中都有3、4道立体几何问题，涉及几何元素之间位置关系和数量关系、多面体的体积、球的表面积的计算，立体几何解答题的求解一般都能“一题两法”，既可以用传统的逻辑推理，又可以以空间向量为工具，显然，这对推进数学课程改革具有积极的导向作用。
六份试题共有24道解析几何题，着重考查直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线概念和性质以及参数之间的关系，有些试题还将线性规划和平面向量与解析几何知识有机结合，既体现了知识之间交汇融合，又突出了对能力考查。
六份试题中共有8道概率与统计问题，每份试题都有一道大题，涉及相互独立事件同时发生的概念、互斥事件有一个发生的概率、随机变量的概率分布、数学期望等基础知识。理科[全国卷Ⅰ]第（15）题还将概率与直线方程相结合，文科[全国卷Ⅰ]第（13）题以全体考生熟悉的材料为背景考查统计中的分层抽样方法。
所有这些，既是基础知识又是重点内容，对这类知识的考查，是符合“重点知识构成试题主体”这一考纲精神的。
2．贴近课本 适度延伸
六份试题中有不少源于课本的题目。
例如，理科[全国卷Ⅰ] 第（1）题
1、 已知为第三象限的角，则所在的象限是( )
A 第一或第二象限 B 第二或第三象限 C第一或第三象限 D 第二或第四象限
与课本（指全日制普通高级中学教科书，下同）第一册（下）7习题4.1 第5题基本一样。
[全国卷Ⅱ]文、理第（3）题
函数的反函数是 （ ）
A． B．
C． D．
与课本第一册（上）第64页第2题类似；
[全国卷Ⅱ]理第（9）题、文第）（10）题
已知集合M={x|x2－3x－28≤0}, N={x|x2－x－6>0}，则M∩N为 （ ）
A．{x|－4≤x<－2或3C．{x|x≤－2或x>3} D．{x|x<－2或x≥3}
与课本第一册（上）22页第7题（1）基本相同，都是以求两个集合的交集为表现形式，实际考查一元二次不等式的解法；
[全国卷Ⅱ]理第（13）题、文第（14）题
圆心为（1，2）且与直线5x－12y－7=0相切的圆的方程为 .
与课本第二册（上）第82页第2（1）题，[全国卷Ⅰ]第（21）题与课本第三册（选修Ⅰ）第44页例2都只是具体数字不同其余完全相同；[全国卷Ⅱ]文、理第（15）题是课本第二册（下）第116页第4题的简单变式；[全国卷Ⅲ]文、理第（14）题与课本第二册（下）第115页第12题中的（2）除数字不同外没有本质区别；[全国卷Ⅰ]文科第（15）题与课本第三册（选修Ⅰ）第38页习题2.3第3题所涉及的函数完全相同，课本题是求导数，而考题是求切线；[全国卷Ⅱ]文科第（6）题是课本第二册（上）第110页例1中的一部分；文科[全国卷Ⅱ]第（17）题是课本第一册（下）第37页例2的引申。
还有一些试题也源于课本或是课本中例题、习题的组合、类比、引申和拓展，教材丰富的内涵是命制高考试题的不竭源泉，一定量源于课本的试题有利于遏制“题海战术”，有利于积极引导教师和学生回归课本，历实基础，以不变应万变。
3．强化数学思想 注重能力考查
《考试大纲》明确指出数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，他蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，对重要数学思想方法的考查是考查学生的必由之路。
六份试题突出了数学学科的特点，以数学知识为载体，以学科整体意义和思想价值立意，对数学思想和方法作了深入的考查。
（1） 函数与方程的思想
函数是方程与不等式的“中介”，他们既有区别，又联系紧密，
六份试题既通过客观试题考查函数与方程思想的基本应用，又利用解答题从深层次上对函数与方程思想进行了综合考查。
例1（[全国卷Ⅰ]，文、理（16）题略）
(16)已知在中，，是上的点，则点到的距离乘积的最大值是
本题是以平面几何知识为载体的条件不等式问题，反映了不等式与函数的自然交汇，解答过程中体现了函数思想的灵活应用。
例2 （[全国卷Ⅰ]，文、理（9）题略）
已知双曲线的焦点为，点在双曲线上且，则点到轴的距离为（ ）
A B C D
上述两种求解思路中，充分利用了方程的思想，这里，我们瞄准目标，利用双曲线和定义和勾股定理，快速、简捷地找到了各量间的关系，求解时既有“设而不求”，又有整体代换，体现了对方程思想的深层次考查。
例3 （[全国卷Ⅰ]，文、理（17）题）
设函数图象的一条对称轴是直线
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函数的单调增区间；
（Ⅲ）证明直线与函数的图象不相切.
分析 本题考查三角函数的性质及其图象的基本知识，突出考
查函数与方程的思想、推理运算能力。
关于（Ⅰ）的以上四种思路，虽然入手角度不同，解题的难易程度和思维层次也各不相同，但却都毫无例外地应用了方程思想，而第（Ⅲ）问涉及的曲线不是常规的二次曲线，利用导数的几何意义求解显得十分自然，构造导函数，根据导函数的值域判断直线 与函数 的图象不相切，体现了函数思想的巧妙运用。导数作为高中数学新增内容，为研究函数的性态提供了一般方法，其几何意义又为研究曲线的切线问题开辟了新的途径。
此外，[全国卷Ⅰ]，文、理（10）、（14）；文（21）题、理（17）题，[全国卷Ⅱ]理（21）、文（22）题，[全国卷Ⅲ]文（1）、（4）题，文、理科（6）、（14）题，及各试卷中的数列问题、导数问题和解析几何问题也都涉及了函数与方程的思想方法。有些试题从表现形式上很难看出与函数有关，但在具体求解中离不开函数思想的运用，如[全国卷Ⅰ]理（17）题考查概率的基本知识，但采用逆向设问方式，体现了对方程思想的考查；
[全国卷Ⅱ]理（21）、文（22）题
P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.
在求四边形PMQN的面积的最值时，利用了函数的单调性，将函数与方程思想融入非函数问题中考查，这一命题思路进一步说明了函数在中学数学中地位的重要性。
（2）数形结合的思想
数学是研究数量与空间形式的科学，“数”与“形”及它们泊联系与转化是数学研究的永恒主题，以坐标系为纽带使函数的解析式与函数图象、方程与曲线建立了一一对应的关系，从而对数量关系的研究可以转化为对图形性质的研究，反之也可以将对图形性质的研究转化为数量关系的研究，在解题中从数、形两个方面对问题进行分析，既充分发挥形的直观性，又注重数的严谨性。这种解决数学问题过程中“数”与“形”相互转化、交互使用的策略，就是数形结合的思想。
各试卷的许多客观性试题，都富有鲜明的几何意义，解题时若数形联想、以形助数，可迅速作出正确判断与选择。这里仅举一例以予说明。
例4 （[全国卷1]，理（8）题）
设，二次函数的图象下列之一：
则a的值为 （ ）
A．1 B．－1
C． D．
本题是一道较新颖的考题，在从“数”和“形”两个方面给出了相关信息的条件下，求其中某一参数的值。首先由二次函数的一次项系数 ，得该函数图象的对称轴不是Y轴，由此即可知该二次函数的图象不是前两个图象中的任何一个，这是由“数”到“形”的思维过程；由后两个图象知，二次函数的常数项等于0，所以 ，并且二次函数的对称轴在Y轴右侧，而 ，所以 故
这是由“形”到“数”的思维过程。显然，本题对数形结合思想的考查既深入又灵活，是一道考查到位的好题。
（3） 分类与整合的思想
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种不同情况，需要对各种情况加以
分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类与整合既是一种逻辑方法，又是一种重要的数学思想，高考对分类与整合思想考查的一个重要目的是检测学生的理性思维。
[全国卷Ⅱ]理（17）题
设函数取值范围.
考查指数函数的性质和绝对值不等式的解法，当根据指数函数的单调性将不等式转化为绝对值不等式 后，最基本的想法就是分类求解，再整合作答； [全国卷Ⅰ]理（19）题不仅要在 和 的不同情况下，求Q取值范围，而且 的大小也依赖Q的取值，对分类与整合的考查达到了较高的层次。
（4） 转化与化归的思想
许多问题的解答都离不开转化与化归思想，解题过程实际上是一个不断转化的过程。
[全国卷Ⅰ]文、理第（5）题
如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF//AB，EF=2，则该多面体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
是一个不规则多面体的体积问题，显然应该利
用割补法将其转化为规则多面体（如图）再求解。
[全国卷Ⅰ]理（17）、文（18）题
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为多少；
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率
考查相互独立事件同时发生或对立事件有一个发生的概率的计算，对于（Ⅱ），求“计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率”，如果正面考虑，有三类七种情况，复杂程度可想而知。正难则反，将问题转化为求该事件的对立事件的概率，复杂程度大大降低，既体现了转化思想的优越性，又体现出“算”中考“想”的命题思想。
（5） 特殊与一般思想
由特殊到一般再由一般到特殊是人们认识客观世界的基本过程之一。由于特殊与一般思想的运用水平，能反映出考生的数学素养和一般能力，所以考查特殊与一般的思想在高考中占有重要的位置。
[全国卷3]文、理（12）题，
12、计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则（ ）
A 6E B 72 C 5F D B0
以计算机中常用的十六进制与常规的十进制对应数表为背景，从一个具体的运算结果出发，要求考生以此抽象出一般规律：将十六进制的计算转化为十进制的相应运算，再用所得结果除于16，即转化为十六进制的数，这里特殊为一般提供了规律：“前商后余”，使问题得以解决，本题是一道阅读理解、信息加工题，考查了学生的学习潜能和创新意识。
[全国卷Ⅱ]理（7）
．已知点A（，1），B（0，0）C（，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有等于 （ ）
A．2 B． C．－3 D．－
是三角形中的条件等式问题，若按常规方法，则推演较繁，且易出错，但若将问题特殊化，取 则既满足已知条件，又能排队（B）、（C）、（D）。
（6） 有限与无限思想
客观世界是有限与无限的统一体，我们既可以通过有限来把握无限，也可
以借助无限来确定有限，既“从与对立面的统一去把握对立面”。数学归纳法、数列极限、函数极限等都是由有限把握无限的极好例证，随着高中数学课程改革的逐步深入，对有限与无限思想的考查力度会不断加大，这是高考命题的一个新趋势。
[全国卷3]文、理（4）题，考查了不规则几何体的体积，由于 都是动点，直接求解不易把握，但若取其极限状态：让点P与点A重合，则点Q与点C1重合，此时，四棱锥 变为三棱锥 ，显然它的体积是
选（C）。解题过程干净、漂亮！他的计算量竟如此之小，仅用简单的口算即可完成，然而，极限思想却发挥得淋漓尽致。
[全国卷3]理（5）题考查函数极限问题，但是当X趋近于1时，函数中的两个分式都趋向于无穷大，无法得到该函数的极限值。改变思维方向，从整体入手，先化简函数式，约去分子、分母中的“零因子”，即得所求的极限值，这是无限向有限的转化，是无限与有限思想的体现。
另外，[全国卷Ⅱ]理（18）涉及到数列前n项和的极限问题，[全国卷Ⅲ]理（22）首先利用导数证明了一个在 时成立的命题，再由数学归纳法原理证明n是任意正整数时命题也成立，都实现了由有限向无限的飞跃。
（7） 或然与必然思想
面对随机现象的不确定性（或然性），人们更想掌握其中的规律性（必然性）。近年来，高考突出了对概率内容的考查，是符合实际需要的。
六份试题中[全国卷Ⅰ]理（15）、（17）、文（13）、（18）题，[全国卷Ⅱ]理（19）、文（18）题，[全国卷Ⅲ]文、理（20）题都涉及了概率及概率与统计知识；体现了对或然与必然思想的考查，使学生亲历了于“或然”中抓住“必然”的实践、限于篇幅，这里就不一一分析了。
4．重视创新思维和意识的培养
Ⅰ卷（12）向量；
Ⅰ卷（15）向量；
△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m= .
Ⅰ卷（21）解析几何。
已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.
Ⅱ卷（12）四个球置于一个四面体中。
将半径都为1的4个铅球完全装人形状为正四面体的容品里，这个正四面体的高最小值为 （ ）
A． B． C． D．
Ⅲ卷（11）平面空间，二维三维；
、不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（ ）
A 3个 B 4个 C 6个 D 7个
Ⅲ卷（12）16进制
计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则（ ）
A 6E B 72 C 5F D B0
Ⅲ卷（15）数学期望概念应用；
设为平面上过点的直线，的斜率等可能地取，用表示坐标原点到的距离，则随机变量的数学期望 。
Ⅲ卷（21）变异思维，
设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。
（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；
（Ⅱ）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。
Ⅲ卷（22）对概念的理解。
已知函数，
（Ⅰ）求的单调区间和值域；
（Ⅱ）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围
5、重视知识交汇 突出理性思维
六份试题紧扣大纲，在全国考查基础知识的同时，对支撑学科体系的重点内容作了重点考查，注重了知识的“交汇点”，如涉及函数、导数、数列、方程与不等式，三角函数与三角变换，平面向量、函数图象与方程的曲线，空间图形与平面图形，简单计数、概率与统计等重要板块知识的试题在试卷中占有较高比例，这些试题概念性强，充满思辩性、量化突出，“多考一点想，少考一点算”，以此考查学生的理性思维能力。
如[全国卷Ⅲ]文、理第（6）题，
、若，则( )
A B C D
如果设 那么 是该函数的三个函数值，利用导数可得到 在区间 上是增函数，而在区间 上是减函数，而2，3，5不在同一单调区间内，并且又都不是极大值点，不能三个同时比较（思维受阻！），及时调整思维，由 得 又易算出 所以 。从而结合选择作出正确选择，此题虽小，但内涵隽永，将导数、函数性质、不等式等知识交汇一体，对考生估算、猜想以及综合运用知识解决问题的能力作了较为深入的考查，体现了较高的理性思维价值。
5．凸现课改理念 倡导素质教育
随着新课程改革的实施和不断深入，数学教学应进一步倡导学生的主体参与性，关注学生创造意识、实践能力的培养和综合素质的提高。研究性学习是新课程理念下的重要学习方式，因而备受命题专家的关注。如[全国卷1]文（22）、理（21）题运用向量的情景和语言，研究了斜率为1的直线与椭圆在特定位置关系下的椭圆的离心率及定值问题，本题有更一般的情形，发展空间大，它为研究学习提供了良好的素材，这对于培养学生的创新意识和实践能力，提高学生的综合素质是十分有益的。
3、 对中学数学教学的启示
1．全面落实双基 着力突出重点
数学基础知识、基本技能是解决数学问题的基础，数学重点内容是数学知识的主体。一些学生学习成绩（包括考试成绩）不理想，尽管原因是多方面的，但“双基”未落实、重点知识未掌握无疑是主要原因。因此，在高中数学教学中，技能和基本方法的形成、应用和发展的过程，努力使学生通过自身的情感体验尽快将新知识纳入自己已有的认知系统，并着力引导学生做好重点知识的梳理和总结。
2．提炼数学思想 发展理性思维
数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力的催化剂。因此，在高中数学教学中，我们应当有意识地引导学生挖掘和提炼数学知识本身所蕴涵着的丰富的数学思想和方法，并能恰当地运用它们解决问题，使学生逐步学会用函数与方程思想建立知识与知识之间的相互联系，用数形结合的思想落实局部与局部之间的相互融合，用化归思想完成问题与问题之间的相互思维，用有限与无限的思想实现量变向质变的伟大跨越，用或然与必然的思想提示随机现象内部所蕴涵的规律。与此同时，逐步培养学生逻辑推理、演绎证明、运算求解、直觉猜想、归纳抽象等思维方式，发展学生的理性思维能力。
3．增强应用意识 重视能力培养
这里所说的能力，《考试大纲》中指出他包括思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识。在全面落实“双基”的同时，我们应当善于引导学生在知识的探索和问题的求解中逐步培养自己的能力。例如，关于思维能力（能力的核心）的培养，我们可以通过一题多解或多题一解培养思维的灵活和发散性；通过命题的推广或一题多变培养思维的深刻性和广阔性；通过探究发现或特值检测培养思维的敏捷性和严密性；通过公式鉴赏或错例辨析培养思维的科学性和批判性，又如，对实践能力的培养，我们应当重视数学与社会实践的联系，引导和鼓励学生关注身边的数学问题以及社会热点问题，支持学生用数学的眼光观察和分析问题，筛选和提取有用的信息和数据，研究它们的数量关系，将实际问题数学化，并用数学知识加以解决，以此培养学生的数学应用意识和实践能力，对于运算能力，重点应放在培养学生怎样恰当选择法则、公式进行式子变形和数据处理，怎样寻找和设计合理、简捷的运算途径，应使学生不但会精确计算，而且还会估算和近似计算，对于空间想象能力，主要培养学生识图、画图和对图形的想象能力，通过有图想图和无图想图，即心中有个图，以此实现文字语言、符号语言和图形语言的相互转译，此外，我们应当有意识地培养学生的自主学习能力和创新意识，使学生敢于用学过的知识试着解决从未见过的新问题，或用即刻学到的知识解决从未见的新问题。
4．改革教学方式 倡导返璞归真
目前高中数学课堂教学的主要方式仍是以教师讲授为主，高三更是如此，这种方式，无法提示数学的本质，阻碍了学生思维的发展，不利于学生能力的提高。因此，我们应当努力营造民主、开放的课堂教学氛围，引导学生自主探索，合作交流，遵循数学的学科规律，返璞归真，着意在知识的产生和发展上作研究，在知识的深刻理解、全面掌握上下功夫，不要把数学教学变为解题教学和题型训练，注意知识的纵向发展和横向联系，理清脉络，完善体系，努力使所学知识整体化、网络化。
5．钻研大纲教材 发挥课本功能
《教学大纲》和《考试大纲》是实施课堂教学、规范考试的纲领性、权威性文件，必须遵照执行，而课本一般说来是最科学、最规范的教学蓝本。因此，无论是新课还是复习课，都应遵照大纲要求，紧扣教材内容，既要使学生掌握课本的知识内容，又要使学生掌握解决课本例题、习题过程中所用的方法和技巧，有效发挥课本的功能，无疑，那种扔掉教材另搞一套的做法是不可取的，即便是高三，也是如此，上文提及的六份试题中众多试题源于课本就是一个很好的诠释。
四、对命题的建议
1．为确保高考尽可能做到对每一个学生公平，建议不出陈题，尤其是复习资料上常见的题应坚决避免。当然，个别推陈出新的题还是有益的。
2．建议降低入口试题的难度，在排序上以前易后难为宜。
3．随着高考改革的不断深入，自主命题的省市已增至十四个，各省币的试卷在题型、题量上不尽相同，我们认为，教育部考试中心卷中的题型、题量及其比例是适宜的，应继续支持这一试卷结构。