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2022—2023学年度下学期八年级数学教学案 第4 周 第4节
课题 18.2.2 第1课时 菱形的性质
教学目标 知识与技能： 1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；2. 探索并证明菱形的性质定理；3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.过程与方法：情感态度与价值观：
重点 探索并证明菱形的性质定理.
难点 应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
教具 多媒体、教学案
教与学的过程 教与学的过程教与学的过程 教 与 学 的 内 容
菱形的性质前面我们学行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.思考：如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢 归纳总结定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。菱形是特殊的平行四边形.平行四边形不一定是菱形。活动1 ：如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？活动2 ：在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题:问题1：菱形是轴对称图形吗 如果是,指出它的对称轴.问题2：根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系 菱形的两对角线有什么关系 猜想1：______________________________________猜想2：___________________________________________________________证一证已知： 求证：归纳总结菱形的四条边都相等。菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．例2：如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF. 归纳菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角例3：如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.练一练如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB=5，则△ABD的周长是( )A.10 B.12 C.15 D.20 2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______.菱形的面积思考：前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗 菱形的面积 = 底（任意一边长）×高（两组对边的距离） = 对角线乘积的一半= 一个小直角三角形面积的4倍例4：如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h. 例5：如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2 ）.【变式题】如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．归纳：菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是60°时，菱形被分为以60°为顶角的两个等边三角形.练一练如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（ ）A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm 当堂练习 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于 （ ） A.18 B.16 C.15 D.143.根据下图填一填： （1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长是 ______.（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120 °，则∠BAC＝_______.（3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是_______. （4）菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11cm，菱形的周长为______.（5）菱形的面积为64cm2，两条对角线的比为1∶2 ,那么菱形最短的那条对角线长为_______.4.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求:(1)对角线AC的长度;(2)菱形ABCD的面积.5.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE．6.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.(1)求OC的长；(2)求四边形OBEC的面积．
课后小结
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18.2.2菱形的性质
人教版八年级下册
学习目标
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）
情景引入
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
平行
四边形
矩形
前面我们学行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.
有一个角是直角
菱形的性质
一
思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢
平行
四边形
定义：有一组邻边相等的平行四边形.
菱形
邻边相等
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
归纳总结
活动1 : 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题:
问题1 菱形是轴对称图形吗 如果是,指出它的对称轴.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上
有什么关系 菱形的两对角线有什么关系
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB = BC = CD =AD；
(2)AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
证一证
（2）∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，且每
条对角线平分一组对角.
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：相互平分.
归纳总结
例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
AO＝ AC，BO＝ BD.
∵AC＝6cm，BD＝12cm，
∴AO＝3cm，BO＝6cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理得
∴菱形的周长＝4AB＝4×3 ＝12 (cm)．
典例精析
例2 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
即∠BAC＝∠DAC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF.
∴AE＝AF.
菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
归纳
例3 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
A
B
C
D
O
E
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD=BA， ∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠ABC=∠DAE，
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.
又∵AD＝BA ，
∴△AOD≌△BEA ，
∴AO＝BE .
1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB=5，则△ABD的周长是 ( )
A.10 B.12 C.15 D.20
C
练一练
2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______.
第1题图
第2题图
6cm
菱形的面积
二
问题1 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢
能.过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
E
问题2 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
例4 如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，
∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
∵
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，
∴13h＝120，得h＝ .
菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．
归纳
例5 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2 ）.
A
B
C
D
O
解：∵花坛ABCD是菱形，
【变式题】 如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°.
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，
∴∠ABC= ×180°=60°，
∴∠ABO= ×∠ABC=30°，△ABC是等边三角形.
∵菱形ABCD的周长是8cm．
∴AB=2cm，
∴OA= AB=1cm，AC=AB=2cm，
∴BD=2OB= cm；
（2）S菱形ABCD= AC BD
= ×2× = （cm2）．
菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是60°时，菱形被分为以60°为顶角的两个等边三角形.
归纳
练一练
如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（ ）
A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm
B
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等
C.对角线互相垂直 D.对角线相等
C
2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于 （ ）
A.18 B.16 C.15 D.14
当堂练习
B
3.根据下图填一填：
（1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长是 ______.
（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120 °，则∠BAC＝_______.
（3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是_______.
3cm
30°
A
B
C
O
D
5cm
(4)菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11cm，菱形的周长为______.
44cm
(5)菱形的面积为64cm2，两条对角线的比为
1∶2 ,那么菱形最短的那条对角线长为_______.
8cm2
A
B
C
O
D
4.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.
求:(1)对角线AC的长度;
(2)菱形ABCD的面积.
解:(1)
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠AED=90°,
(2)菱形ABCD的面积
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
D
B
C
A
E
5.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD， CA平分∠BCD．
∴∠BCE=∠DCE．
又 CE=CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS）．
∴∠CBE=∠CDE．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠EDC.
∴∠AFD=∠CBE．
A
D
C
B
F
E
6.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长；
(2)求四边形OBEC的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.
在RT△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm；
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形.
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四边形OBEC为矩形.
∵OB＝OD＝3cm，
∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．
课堂小结
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角
谢谢
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