湖北省黄冈市部分学校2021-2022学年九年级下学期入学数学试卷
一、单选题
1．（2022九下·黄冈开学考）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．实心铁球投入水中会沉入水底
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．打开电视，正在播放《大国工匠》
D．抛掷一枚硬币，正面向上
2．（2022九下·长沙开学考）若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
3．（2022九下·黄冈开学考）如图，已知点在反比例函数上，轴，垂足为点，且的面积为4，则的值为（ ）
A．8 B．4 C．-8 D．-4
4．（2022九下·黄冈开学考）二次函数y＝2x2-1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（-1，0） B．（1，0） C．（0，1） D．（0，-1）
5．（2021九上·瑞安月考）如图AB是半圆 的直径C，D是半圆上的两点，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·禹州模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝138°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'.若点B刚好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C的度数为（ ）
A．16° B．15° C．14° D．13°
7．（2020九上·蓬莱期末）如图，将边长为3的正方形铁丝框ABCD，变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ADB的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．3π
8．（2022九下·黄冈开学考）平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2-3ax+c（a≠0）与直线y＝2x+1上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），如果n＝x1+x2+x3，那么m和n的关系是（ ）
A．m＝2n-3 B．m＝n2-3 C．m＝2n-5 D．m＝n2-5
二、填空题
9．（2022九下·黄冈开学考）将一元二次方程x（x-2）＝5化为二次项系数为“1”的一般形式是 .
10．（2022九下·黄冈开学考）从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、菱形、矩形、圆的五张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为 .
11．（2022九下·黄冈开学考）双曲线y＝（n≠0）与直线y＝-x+3的一个交点横坐标为-1，则n＝ .
12．（2018九上·前郭期末）已知P（m+2，3）和Q（2，n﹣4）关于原点对称，则m+n= ．
13．（2022九下·黄冈开学考）已知二次函数自变量x的值和它对应的函数值y如下表所示：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 m …
那么上表中m的值为 .
14．（2022九下·黄冈开学考）如图，在矩形ABCD中，F是边AD上的点，经过A，B，F三点的⊙O与CD相切于点E.若AB=6，FD=2，则⊙O的半径是 .
15．（2022九下·黄冈开学考）如图，圆锥的底面直径，母线的中点处有一食物，一只小蚂蚁从点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为
16．（2022九下·黄冈开学考）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，抛物线的顶点P在线段上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分别为、，且.若的最小值是-2，则的最大值是 .
三、解答题
17．（2022九下·黄冈开学考）解方程：
（1）（x-3）2＝25；
（2）x2-4x＋3＝0
18．（2021九上·合肥月考）如图，一次函数y= kx+b与反比例函数y= 的图象交于A(-2，1)、B(1，a)两点．
（1）分别求出反比例函数与一次函数的关系式；
（2）观察图象，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围；
19．（2021九上·汕尾期末）关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）请问是否存在实数 k，使得 x1+x2＝1﹣x1x2 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在， 说明理由．
20．（2021九上·南充期末） 2021年教育部出台了关于中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质五个方面的管理，简称“五项管理”，这是推进立德树人，促进学生全面发展的重大举措.某班为培养学生的阅读习惯，利用课外时间开展以“走近名著”为主题的读书活动，有6名学生喜欢四大名著，其中2人（记为 ， ）喜欢《西游记），2人（记为 ， ）喜欢《红楼梦》，1人（记为C）喜欢《水浒传》，1人（记为D）喜欢《三国演义》.
（1）如果从这6名学生中随机抽取1人担任读书活动宣传员，求抽到的学生恰好喜欢《西游记》的概率.
（2）如果从这6名学生中随机抽取2人担任读书活动宣传员，求抽到的学生恰好1人喜欢《西游记》1人喜欢《红楼梦》的概率.
21．（2021九上·长沙期末）如图，在矩形ABCD中，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与对角线AC相交于点E，连接BE， .
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若当点E为AC的中点时，⊙O的半径为1，求矩形ABCD的面积.
22．（2022九下·黄冈开学考）某小区发现一名新型冠状病毒无症状感染者，政府决定对该小区所有居民进行核酸检测.从上午8：00起第x分钟等候检测的居民人数为y人，且y与x成二次函数关系（如图所示），已知在第10分钟时，等候检测的人数达到最大值150人.
（1）求0～10分钟内，y与x的函数解析式.
（2）若8：00起检测人员开始工作，共设两个检测岗，已知每岗每分钟可让检测完毕的5个居民离开，问检测开始后，第几分钟等候检测的居民人数最多，是多少人？
23．（2021九上·呼和浩特期末）如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四边形EFGH是正方形，EH与BD重合，将图①中的正方形EFGH绕着点D逆时针旋转．
（1）旋转至如图②位置，使点G落在BC的延长线上，DE交BC于点L．已知旋转开始时，即图①位置∠CDG＝37°，求正方形EFGH从图①位置旋转至图②位置时，旋转角的度数．
（2）旋转至如图③位置，DE交BC于点L．延长BC交FG于点M，延长DC交EF于点N．试判断DL、EN、GM之间满足的数量关系，并给予证明．
24．（2022九下·黄冈开学考）如图，已知关于x的二次函数y＝-x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M.
（1）求出二次函数的关系式；
（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D.若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：A、实心铁球投入水中会沉入水底，是必然事件，该选项符合题意；
B、车辆随机到达一个路口，遇到红灯，是随机事件，该选项不合题意；
C、打开电视，正在播放《大国工匠》，是随机事件，该选项不合题意；
D、抛掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，该选项不合题意；
故答案为：A.
【分析】必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件，简称必然事件；
不可能事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件，简称不可能事件；
随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：
是关于
的一元二次方程
的一个解，
，解得
.
故答案为：D.
【分析】将x=1代入 x2﹣3x+m＝0 中，即可求出m值.
3．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数，的面积为4
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义结合题意可得|k|=8，结合反比例函数图象所在的象限可得k的值.
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数y＝2x2-1的图象的顶点坐标是（0，-1）.
故答案为：D.
【分析】二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k）.
5．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=125°，
∴∠A=180°-∠C=55°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°-∠A=35°.
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，由圆周角定理求出∠ADB=90°，然后根据直角三角形的性质求∠ABD即可.
6．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵AB'=CB'，
∴∠C=∠CAB'，
∴∠AB'B=∠C+∠CAB'=2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C=∠C'，AB=AB'，
∴∠B=∠AB'B=2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB=180°，
∴3∠C=180° 138°，
∴∠C=14°，
∴∠C'=∠C=14°，
故答案为：C.
【分析】本题考查旋转的性质，得到△ABC≌△AB'C'，进而利用对应边相等、对应角相等，进而求出 ∠C的度数 .
7．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为3，
∴AB=BC=CD=AD=3，
即 的长是3+3=6，
∴扇形DAB的面积是 6×3=9，
故答案为：C．
【分析】根据正方形的性质得出AB=BC=CD=AD=3，求出 的长，再根据扇形的面积公式求出即可。
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵y＝ax2-3ax+c，
∴对称轴为直线x＝-，
如图，在抛物线上的两点A和B，关于直线x＝对称，则C点在直线y＝2x+1上，
∴x1+x2＝3，
∵n＝x1+x2+x3，
∴n＝3+x3，
∴x3＝n-3，
∴m＝2（n-3）+1，
∴m＝2n-5，故C正确.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=，在抛物线上的两点A和B，关于直线x＝对称，则C点在直线y＝2x+1上，根据根与系数的关系可得x1+x2＝3，则x3＝n-3，代入直线解析式中可得m与n的关系.
9．【答案】x2-2x-15＝0
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：将一元二次方程x（x-2）＝5化为二次项系数为“1”的一般形式是：x2-2x-15＝0.
故答案为：x2-2x-15＝0.
【分析】给方程两边同时乘以3，然后将其化为一般形式即可.
10．【答案】
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形；概率公式
【解析】【解答】解：在等腰三角形、平行四边形、菱形、矩形、圆中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有菱形，矩形和圆，
故随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是，
故答案为：.
【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的概念可得菱形、矩形和圆既是中心对称图形又是轴对称图形，然后利用概率公式进行计算.
11．【答案】-4
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：把x = 1代入y=x + 3，得y= 4，
∴交点坐标为（1，4），
将（1，4）代入y=，得4=n
∴n=4.
故答案为：4.
【分析】将x=-1代入y=-x+3中求出y的值，得到交点坐标，然后代入y=中进行计算可得n的值.
12．【答案】-3
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】∵P（m+2，3）和Q（2，n﹣4）关于原点对称，
∴ ，解得： ，
∴m+n=-4+1=-3.
故答案为：-3.
【分析】两个点关于原点对称，两个点的横坐标和纵坐标都互为相反数，相加等于零，列式求出m、n的值。
13．【答案】0
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由表中数据可得：与的函数值均为，
∴抛物线的对称轴为：，
∴与的函数值相同，均为，
∴.
故答案为：0.
【分析】根据表格中的数据可得：x=0与x=2的函数值相等，则对称轴为直线x=1，根据对称性可得x=3与x=-1的函数值相等，据此可得m的值.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接EO并延长，交AB于G，过点O作OH⊥AD于H，连接AO，
∵⊙O与CD相切于点E，
∴OE⊥CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD，，
∴四边形ADEG是矩形，
∴GE=AD，OG⊥AB，
∴AG=BG=3，
∵OH⊥AD，
∴AH=FH，四边形AHOG是矩形，四边形HDEO是矩形，
∴OG=AH，HD=OE=OA，
∴OG=OA-2，
在Rt△AGO中，，
∴，
解得OA=.
故答案为：.
【分析】连接EO并延长，交AB于G，过点O作OH⊥AD于H，连接AO，根据切线的性质得OE⊥CD，由矩形的性质可得AB∥CD，∠BAC=∠D=∠OED=90°，GE=AD，OG⊥AB，则AG=BG=3，易得四边形AHOG、HDEO是矩形，则OG=AH，HD=OE=OA，OG=OA-2，然后在Rt△AGO中，利用勾股定理进行计算.
15．【答案】
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：圆锥的侧面展开图如下图：
∵圆锥的底面直径
∴底面周长为
设
则有
解得
又
∴为等边三角形
为PB中点
∴蚂蚁从点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为
故答案为：.
【分析】画出圆锥的侧面展开图，根据底面圆的直径可得周长，设∠APA′=n°，根据弧长公式可得圆心角的度数，然后求出∠APB的度数，推出△APB为等边三角形，根据三角函数的概念可得AD，据此解答.
16．【答案】3
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：如图，当P与A点重合时，取得最小值-2，
此时，设抛物线的解析式为，
根据题意知A(-1，-1)是该抛物线的顶点，且经过点(-2，0)，
∴，
解得：，
∴此时抛物线的解析式为，
当P与B点重合时，取得最大值，如图：
根据题意知B (2，-1)是该抛物线的顶点，
∴此时抛物线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴的最大值为3.
故答案为：3.
【分析】当P与A点重合时，x1取得最小值-2，设抛物线的解析式为y=a(x-x0)2+y0，根据题意知A(-1，-1)是该抛物线的顶点，且经过点(-2，0)，代入求出a的值，可得对应的函数解析式；当P与B点重合时，x2取得最大值，此时抛物线的解析式为y=(x-2)2-1，令y=0，求出x的值，据此可得x2的最大值.
17．【答案】（1）解：∵（x-3）2=25，
∴x-3=±5，
∴x1=8，x2=-2
（2）解：∵x2-4x+3=0，
∴（x-1）（x-3）=0，
则x-1=0或x-3=0，
解得x1=1，x2=3
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）两边同时开平方可得x-3=±5，求解可得x的值；
（2）对方程分解因式可得(x-1)(x-3)=0，据此求解.
18．【答案】（1）解：将点 代入 得： ，
则反比例函数的解析式为 ，
将点 代入 得： ，即 ，
将点 代入 得： ，解得 ，
则一次函数的解析式为
（2）解：当反比例函数值大于一次函数值时， 的取值范围是 或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据函数图象求取值范围即可。
19．【答案】（1）解：∵关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0 有两个实数根
根据题意得，
解得
（2）解：存在．
根据根与系数关系，，
∵x1+x2＝1﹣x1x2，
∴，
解得，
∵．
∴存在实数k=-3，使得x1+x2＝1﹣x1x2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得，，再根据x1+x2＝1﹣x1x2，列出方程求解即可。
20．【答案】（1）解：由题意得：抽到的学生恰好喜欢《西游记》的概率为
（2）解：由题意可得列表如下：
C D
/ √ √ √ √ √
√ / √ √ √ √
√ √ / √ √ √
√ √ √ / √ √
C √ √ √ √ / √
D √ √ √ √ √ /
∴由表格可知共有30种等可能的情况，其中恰好1人喜欢《西游记》1人喜欢《红楼梦》的可能性有8种，
∴抽到的学生恰好1人喜欢《西游记》1人喜欢《红楼梦》的概率为 .
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】（1）利用喜欢《西游记》 的人数除以总人数即可求出对应的概率；
（2）列出表格，找出总情况数以及恰好1人喜欢《西游记》1人喜欢《红楼梦》的可能性，然后利用概率公式进行计算.
21．【答案】（1）解：如图，连接OE.
∵ ，
∴ .
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∴ ，即 .
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴BE为⊙O的切线；
（2）解：∵点E为AC的中点，
∴点E为矩形ABCD对角线的交点，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ .
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质可得∠BCE=∠BEC，∠OAE=∠OEA，根据矩形的性质可得∠ABC=90°，推出∠OEA+∠BEC=90°，利用平角的概念可得∠OEB=90°，据此证明；
（2）根据矩形的性质可得BE=AE=CE=
AC，结合已知条件可得BE=BC=CE，推出△BCE为等边三角形，得到∠CBE=60°，则∠OBE=30°，OB=2OE=2，AB=3，利用勾股定理求出BE，然后借助矩形的面积公式进行计算.
22．【答案】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为（10，150），
∴设0～10分钟内，y与x的函数解析式为y＝a（x-10）2+150，
将（0，50）代入，得：
50＝a（0-10）2+150，
解得a＝-1，
∴y＝-（x-10）2+150
＝-x2+20x+50，
∴0～10分钟内，y与x的函数解析式为y＝-x2+20x+50.
（2）解：∵两个检测岗，每岗每分钟可让检测完毕的5个居民离开，
∴每分钟共可检测10人，
∴第x分钟等候检测的居民人数为：
y＝-x2+20x+50-10x
＝-x2+10x+50
＝-（x-5）2+75，
∴当x＝5时，y有最大值，最大值为75.
∴检测开始后，第5分钟等候检测的居民人数最多，为75人.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意可知：抛物线的顶点坐标为（10，150），故可设0～10分钟内，y与x的函数解析式为y＝a(x-10)2+150，将（0，50）代入求出a的值，据此可得对应的函数关系式；
（2）由题意可得：每分钟共可检测10人，则第x分钟等候检测的居民人数为y＝-x2+20x+50-10x，将其化为顶点式，进而可得最大值以及对应的x的值.
23．【答案】（1）解：由图①知，，
如图②，连接BD，
根据旋转和正方形性质可知，．
∴，
∴，
∴，
∴旋转角为16°；
（2）解：DL＝EN+GM，理由如下：
如图③，过点G作，交DE于K，
∵四边形EFGD是正方形，
∴∠DEF＝∠GDE，DE＝DG．
∵，，
∴，
∴，
∴∠EDN＝∠DGK，
∴△DKG≌△END(ASA)，
∴EN＝DK，
∵
∴四边形KLMG是平行四边形，
∴GM＝KL，
∴DL=DK+KL=EN+GM．
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）连接BD，根据旋转和正方形的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得，即可得到旋转角为16°；
（2）过点G作，交DE于K，先利用“ASA”证明△DKG≌△END，可得EN=DK，再证出四边形KLMG是平行四边形，可得GM=KL，再利用线段的和差及等量代换可得DL=DK+KL=EN+GM。
24．【答案】（1）解：∵OB＝OC＝3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴，
解得
∴二次函数的解析式为
（2）解：由（1）可得函数解析式为：，
∴M（1，4）
设直线MB的解析式为y＝kx+n，将点M（1，4），点B（3，0）代入可得：
则有，
解得：，
∴直线MB的解析式为；
∵PD⊥x轴，OD＝m，
∴点P的坐标为（m，）
∴；
又∵点P为线段MB上的一个动点，且当点P与点B重合时，点P和点D重合，PCD不能构成三角形，
∴；
∴
（3）解：∵若∠PDC是直角，则点C在x轴上，由函数图象可知点C在y轴的正半轴上，
∴∠PDC≠90°，
如图，在△PCD中，当∠DPC＝90°时，
当CPAB时，
∵PD⊥AB，
∴CP⊥PD，
∴PD＝OC＝3，
∴P点纵坐标为：3，代入，
得：，此时.
∴线段BM上存在点使△PCD为直角三角形.
如图，当时，△COD′∽△D′CP′，
此时CD′2＝CO P′D′，
即，
∴
解得：，
∵，
∴，
∴P′
综上所述：P点坐标为：（，3），.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由OB=OC=3可得点B、C的坐标，然后代入y=-x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得二次函数的解析式；
（2）根据函数解析式可得顶点M的坐标，利用待定系数法求出直线MB的解析式，得到P（m，-2m+6），由三角形的面积公式表示出S△PCD，据此解答；
（3）由题意可得∠PDC≠90°，当∠DPC＝90°时，PD＝OC＝3，则P点纵坐标为-3，代入y=-2x+6中求出x的值，据此可得点P的坐标；当∠P′CD′=90°时，△COD′∽△D′CP′，根据相似三角形的性质可得m的值，进而可得点P′的坐标.
1 / 1湖北省黄冈市部分学校2021-2022学年九年级下学期入学数学试卷
一、单选题
1．（2022九下·黄冈开学考）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．实心铁球投入水中会沉入水底
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．打开电视，正在播放《大国工匠》
D．抛掷一枚硬币，正面向上
【答案】A
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：A、实心铁球投入水中会沉入水底，是必然事件，该选项符合题意；
B、车辆随机到达一个路口，遇到红灯，是随机事件，该选项不合题意；
C、打开电视，正在播放《大国工匠》，是随机事件，该选项不合题意；
D、抛掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，该选项不合题意；
故答案为：A.
【分析】必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件，简称必然事件；
不可能事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件，简称不可能事件；
随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件.
2．（2022九下·长沙开学考）若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：
是关于
的一元二次方程
的一个解，
，解得
.
故答案为：D.
【分析】将x=1代入 x2﹣3x+m＝0 中，即可求出m值.
3．（2022九下·黄冈开学考）如图，已知点在反比例函数上，轴，垂足为点，且的面积为4，则的值为（ ）
A．8 B．4 C．-8 D．-4
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数，的面积为4
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义结合题意可得|k|=8，结合反比例函数图象所在的象限可得k的值.
4．（2022九下·黄冈开学考）二次函数y＝2x2-1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（-1，0） B．（1，0） C．（0，1） D．（0，-1）
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数y＝2x2-1的图象的顶点坐标是（0，-1）.
故答案为：D.
【分析】二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k）.
5．（2021九上·瑞安月考）如图AB是半圆 的直径C，D是半圆上的两点，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=125°，
∴∠A=180°-∠C=55°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°-∠A=35°.
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，由圆周角定理求出∠ADB=90°，然后根据直角三角形的性质求∠ABD即可.
6．（2021·禹州模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝138°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'.若点B刚好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C的度数为（ ）
A．16° B．15° C．14° D．13°
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵AB'=CB'，
∴∠C=∠CAB'，
∴∠AB'B=∠C+∠CAB'=2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C=∠C'，AB=AB'，
∴∠B=∠AB'B=2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB=180°，
∴3∠C=180° 138°，
∴∠C=14°，
∴∠C'=∠C=14°，
故答案为：C.
【分析】本题考查旋转的性质，得到△ABC≌△AB'C'，进而利用对应边相等、对应角相等，进而求出 ∠C的度数 .
7．（2020九上·蓬莱期末）如图，将边长为3的正方形铁丝框ABCD，变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ADB的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．3π
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为3，
∴AB=BC=CD=AD=3，
即 的长是3+3=6，
∴扇形DAB的面积是 6×3=9，
故答案为：C．
【分析】根据正方形的性质得出AB=BC=CD=AD=3，求出 的长，再根据扇形的面积公式求出即可。
8．（2022九下·黄冈开学考）平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2-3ax+c（a≠0）与直线y＝2x+1上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），如果n＝x1+x2+x3，那么m和n的关系是（ ）
A．m＝2n-3 B．m＝n2-3 C．m＝2n-5 D．m＝n2-5
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵y＝ax2-3ax+c，
∴对称轴为直线x＝-，
如图，在抛物线上的两点A和B，关于直线x＝对称，则C点在直线y＝2x+1上，
∴x1+x2＝3，
∵n＝x1+x2+x3，
∴n＝3+x3，
∴x3＝n-3，
∴m＝2（n-3）+1，
∴m＝2n-5，故C正确.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=，在抛物线上的两点A和B，关于直线x＝对称，则C点在直线y＝2x+1上，根据根与系数的关系可得x1+x2＝3，则x3＝n-3，代入直线解析式中可得m与n的关系.
二、填空题
9．（2022九下·黄冈开学考）将一元二次方程x（x-2）＝5化为二次项系数为“1”的一般形式是 .
【答案】x2-2x-15＝0
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：将一元二次方程x（x-2）＝5化为二次项系数为“1”的一般形式是：x2-2x-15＝0.
故答案为：x2-2x-15＝0.
【分析】给方程两边同时乘以3，然后将其化为一般形式即可.
10．（2022九下·黄冈开学考）从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、菱形、矩形、圆的五张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为 .
【答案】
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形；概率公式
【解析】【解答】解：在等腰三角形、平行四边形、菱形、矩形、圆中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有菱形，矩形和圆，
故随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是，
故答案为：.
【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的概念可得菱形、矩形和圆既是中心对称图形又是轴对称图形，然后利用概率公式进行计算.
11．（2022九下·黄冈开学考）双曲线y＝（n≠0）与直线y＝-x+3的一个交点横坐标为-1，则n＝ .
【答案】-4
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：把x = 1代入y=x + 3，得y= 4，
∴交点坐标为（1，4），
将（1，4）代入y=，得4=n
∴n=4.
故答案为：4.
【分析】将x=-1代入y=-x+3中求出y的值，得到交点坐标，然后代入y=中进行计算可得n的值.
12．（2018九上·前郭期末）已知P（m+2，3）和Q（2，n﹣4）关于原点对称，则m+n= ．
【答案】-3
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】∵P（m+2，3）和Q（2，n﹣4）关于原点对称，
∴ ，解得： ，
∴m+n=-4+1=-3.
故答案为：-3.
【分析】两个点关于原点对称，两个点的横坐标和纵坐标都互为相反数，相加等于零，列式求出m、n的值。
13．（2022九下·黄冈开学考）已知二次函数自变量x的值和它对应的函数值y如下表所示：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 m …
那么上表中m的值为 .
【答案】0
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由表中数据可得：与的函数值均为，
∴抛物线的对称轴为：，
∴与的函数值相同，均为，
∴.
故答案为：0.
【分析】根据表格中的数据可得：x=0与x=2的函数值相等，则对称轴为直线x=1，根据对称性可得x=3与x=-1的函数值相等，据此可得m的值.
14．（2022九下·黄冈开学考）如图，在矩形ABCD中，F是边AD上的点，经过A，B，F三点的⊙O与CD相切于点E.若AB=6，FD=2，则⊙O的半径是 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接EO并延长，交AB于G，过点O作OH⊥AD于H，连接AO，
∵⊙O与CD相切于点E，
∴OE⊥CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD，，
∴四边形ADEG是矩形，
∴GE=AD，OG⊥AB，
∴AG=BG=3，
∵OH⊥AD，
∴AH=FH，四边形AHOG是矩形，四边形HDEO是矩形，
∴OG=AH，HD=OE=OA，
∴OG=OA-2，
在Rt△AGO中，，
∴，
解得OA=.
故答案为：.
【分析】连接EO并延长，交AB于G，过点O作OH⊥AD于H，连接AO，根据切线的性质得OE⊥CD，由矩形的性质可得AB∥CD，∠BAC=∠D=∠OED=90°，GE=AD，OG⊥AB，则AG=BG=3，易得四边形AHOG、HDEO是矩形，则OG=AH，HD=OE=OA，OG=OA-2，然后在Rt△AGO中，利用勾股定理进行计算.
15．（2022九下·黄冈开学考）如图，圆锥的底面直径，母线的中点处有一食物，一只小蚂蚁从点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为
【答案】
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：圆锥的侧面展开图如下图：
∵圆锥的底面直径
∴底面周长为
设
则有
解得
又
∴为等边三角形
为PB中点
∴蚂蚁从点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为
故答案为：.
【分析】画出圆锥的侧面展开图，根据底面圆的直径可得周长，设∠APA′=n°，根据弧长公式可得圆心角的度数，然后求出∠APB的度数，推出△APB为等边三角形，根据三角函数的概念可得AD，据此解答.
16．（2022九下·黄冈开学考）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，抛物线的顶点P在线段上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分别为、，且.若的最小值是-2，则的最大值是 .
【答案】3
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：如图，当P与A点重合时，取得最小值-2，
此时，设抛物线的解析式为，
根据题意知A(-1，-1)是该抛物线的顶点，且经过点(-2，0)，
∴，
解得：，
∴此时抛物线的解析式为，
当P与B点重合时，取得最大值，如图：
根据题意知B (2，-1)是该抛物线的顶点，
∴此时抛物线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴的最大值为3.
故答案为：3.
【分析】当P与A点重合时，x1取得最小值-2，设抛物线的解析式为y=a(x-x0)2+y0，根据题意知A(-1，-1)是该抛物线的顶点，且经过点(-2，0)，代入求出a的值，可得对应的函数解析式；当P与B点重合时，x2取得最大值，此时抛物线的解析式为y=(x-2)2-1，令y=0，求出x的值，据此可得x2的最大值.
三、解答题
17．（2022九下·黄冈开学考）解方程：
（1）（x-3）2＝25；
（2）x2-4x＋3＝0
【答案】（1）解：∵（x-3）2=25，
∴x-3=±5，
∴x1=8，x2=-2
（2）解：∵x2-4x+3=0，
∴（x-1）（x-3）=0，
则x-1=0或x-3=0，
解得x1=1，x2=3
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）两边同时开平方可得x-3=±5，求解可得x的值；
（2）对方程分解因式可得(x-1)(x-3)=0，据此求解.
18．（2021九上·合肥月考）如图，一次函数y= kx+b与反比例函数y= 的图象交于A(-2，1)、B(1，a)两点．
（1）分别求出反比例函数与一次函数的关系式；
（2）观察图象，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围；
【答案】（1）解：将点 代入 得： ，
则反比例函数的解析式为 ，
将点 代入 得： ，即 ，
将点 代入 得： ，解得 ，
则一次函数的解析式为
（2）解：当反比例函数值大于一次函数值时， 的取值范围是 或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据函数图象求取值范围即可。
19．（2021九上·汕尾期末）关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）请问是否存在实数 k，使得 x1+x2＝1﹣x1x2 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在， 说明理由．
【答案】（1）解：∵关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0 有两个实数根
根据题意得，
解得
（2）解：存在．
根据根与系数关系，，
∵x1+x2＝1﹣x1x2，
∴，
解得，
∵．
∴存在实数k=-3，使得x1+x2＝1﹣x1x2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得，，再根据x1+x2＝1﹣x1x2，列出方程求解即可。
20．（2021九上·南充期末） 2021年教育部出台了关于中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质五个方面的管理，简称“五项管理”，这是推进立德树人，促进学生全面发展的重大举措.某班为培养学生的阅读习惯，利用课外时间开展以“走近名著”为主题的读书活动，有6名学生喜欢四大名著，其中2人（记为 ， ）喜欢《西游记），2人（记为 ， ）喜欢《红楼梦》，1人（记为C）喜欢《水浒传》，1人（记为D）喜欢《三国演义》.
（1）如果从这6名学生中随机抽取1人担任读书活动宣传员，求抽到的学生恰好喜欢《西游记》的概率.
（2）如果从这6名学生中随机抽取2人担任读书活动宣传员，求抽到的学生恰好1人喜欢《西游记》1人喜欢《红楼梦》的概率.
【答案】（1）解：由题意得：抽到的学生恰好喜欢《西游记》的概率为
（2）解：由题意可得列表如下：
C D
/ √ √ √ √ √
√ / √ √ √ √
√ √ / √ √ √
√ √ √ / √ √
C √ √ √ √ / √
D √ √ √ √ √ /
∴由表格可知共有30种等可能的情况，其中恰好1人喜欢《西游记》1人喜欢《红楼梦》的可能性有8种，
∴抽到的学生恰好1人喜欢《西游记》1人喜欢《红楼梦》的概率为 .
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】（1）利用喜欢《西游记》 的人数除以总人数即可求出对应的概率；
（2）列出表格，找出总情况数以及恰好1人喜欢《西游记》1人喜欢《红楼梦》的可能性，然后利用概率公式进行计算.
21．（2021九上·长沙期末）如图，在矩形ABCD中，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与对角线AC相交于点E，连接BE， .
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若当点E为AC的中点时，⊙O的半径为1，求矩形ABCD的面积.
【答案】（1）解：如图，连接OE.
∵ ，
∴ .
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∴ ，即 .
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴BE为⊙O的切线；
（2）解：∵点E为AC的中点，
∴点E为矩形ABCD对角线的交点，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ .
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质可得∠BCE=∠BEC，∠OAE=∠OEA，根据矩形的性质可得∠ABC=90°，推出∠OEA+∠BEC=90°，利用平角的概念可得∠OEB=90°，据此证明；
（2）根据矩形的性质可得BE=AE=CE=
AC，结合已知条件可得BE=BC=CE，推出△BCE为等边三角形，得到∠CBE=60°，则∠OBE=30°，OB=2OE=2，AB=3，利用勾股定理求出BE，然后借助矩形的面积公式进行计算.
22．（2022九下·黄冈开学考）某小区发现一名新型冠状病毒无症状感染者，政府决定对该小区所有居民进行核酸检测.从上午8：00起第x分钟等候检测的居民人数为y人，且y与x成二次函数关系（如图所示），已知在第10分钟时，等候检测的人数达到最大值150人.
（1）求0～10分钟内，y与x的函数解析式.
（2）若8：00起检测人员开始工作，共设两个检测岗，已知每岗每分钟可让检测完毕的5个居民离开，问检测开始后，第几分钟等候检测的居民人数最多，是多少人？
【答案】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为（10，150），
∴设0～10分钟内，y与x的函数解析式为y＝a（x-10）2+150，
将（0，50）代入，得：
50＝a（0-10）2+150，
解得a＝-1，
∴y＝-（x-10）2+150
＝-x2+20x+50，
∴0～10分钟内，y与x的函数解析式为y＝-x2+20x+50.
（2）解：∵两个检测岗，每岗每分钟可让检测完毕的5个居民离开，
∴每分钟共可检测10人，
∴第x分钟等候检测的居民人数为：
y＝-x2+20x+50-10x
＝-x2+10x+50
＝-（x-5）2+75，
∴当x＝5时，y有最大值，最大值为75.
∴检测开始后，第5分钟等候检测的居民人数最多，为75人.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意可知：抛物线的顶点坐标为（10，150），故可设0～10分钟内，y与x的函数解析式为y＝a(x-10)2+150，将（0，50）代入求出a的值，据此可得对应的函数关系式；
（2）由题意可得：每分钟共可检测10人，则第x分钟等候检测的居民人数为y＝-x2+20x+50-10x，将其化为顶点式，进而可得最大值以及对应的x的值.
23．（2021九上·呼和浩特期末）如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四边形EFGH是正方形，EH与BD重合，将图①中的正方形EFGH绕着点D逆时针旋转．
（1）旋转至如图②位置，使点G落在BC的延长线上，DE交BC于点L．已知旋转开始时，即图①位置∠CDG＝37°，求正方形EFGH从图①位置旋转至图②位置时，旋转角的度数．
（2）旋转至如图③位置，DE交BC于点L．延长BC交FG于点M，延长DC交EF于点N．试判断DL、EN、GM之间满足的数量关系，并给予证明．
【答案】（1）解：由图①知，，
如图②，连接BD，
根据旋转和正方形性质可知，．
∴，
∴，
∴，
∴旋转角为16°；
（2）解：DL＝EN+GM，理由如下：
如图③，过点G作，交DE于K，
∵四边形EFGD是正方形，
∴∠DEF＝∠GDE，DE＝DG．
∵，，
∴，
∴，
∴∠EDN＝∠DGK，
∴△DKG≌△END(ASA)，
∴EN＝DK，
∵
∴四边形KLMG是平行四边形，
∴GM＝KL，
∴DL=DK+KL=EN+GM．
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）连接BD，根据旋转和正方形的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得，即可得到旋转角为16°；
（2）过点G作，交DE于K，先利用“ASA”证明△DKG≌△END，可得EN=DK，再证出四边形KLMG是平行四边形，可得GM=KL，再利用线段的和差及等量代换可得DL=DK+KL=EN+GM。
24．（2022九下·黄冈开学考）如图，已知关于x的二次函数y＝-x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M.
（1）求出二次函数的关系式；
（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D.若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵OB＝OC＝3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴，
解得
∴二次函数的解析式为
（2）解：由（1）可得函数解析式为：，
∴M（1，4）
设直线MB的解析式为y＝kx+n，将点M（1，4），点B（3，0）代入可得：
则有，
解得：，
∴直线MB的解析式为；
∵PD⊥x轴，OD＝m，
∴点P的坐标为（m，）
∴；
又∵点P为线段MB上的一个动点，且当点P与点B重合时，点P和点D重合，PCD不能构成三角形，
∴；
∴
（3）解：∵若∠PDC是直角，则点C在x轴上，由函数图象可知点C在y轴的正半轴上，
∴∠PDC≠90°，
如图，在△PCD中，当∠DPC＝90°时，
当CPAB时，
∵PD⊥AB，
∴CP⊥PD，
∴PD＝OC＝3，
∴P点纵坐标为：3，代入，
得：，此时.
∴线段BM上存在点使△PCD为直角三角形.
如图，当时，△COD′∽△D′CP′，
此时CD′2＝CO P′D′，
即，
∴
解得：，
∵，
∴，
∴P′
综上所述：P点坐标为：（，3），.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由OB=OC=3可得点B、C的坐标，然后代入y=-x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得二次函数的解析式；
（2）根据函数解析式可得顶点M的坐标，利用待定系数法求出直线MB的解析式，得到P（m，-2m+6），由三角形的面积公式表示出S△PCD，据此解答；
（3）由题意可得∠PDC≠90°，当∠DPC＝90°时，PD＝OC＝3，则P点纵坐标为-3，代入y=-2x+6中求出x的值，据此可得点P的坐标；当∠P′CD′=90°时，△COD′∽△D′CP′，根据相似三角形的性质可得m的值，进而可得点P′的坐标.
1 / 1
